2020-2021学年河南省郑州四中八年级（下）期中数学试卷(1)

这是一份2020-2021学年河南省郑州四中八年级（下）期中数学试卷(1)，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）将下列多项式分解因式，结果中不含因式x﹣1的是（ ）
A．x2﹣1B．x（x﹣2）+（2﹣x）
C．x2﹣2x+1D．x2+2x+1
3．（3分）一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）若关于x的分式方程﹣＝0有增根，则a的值是（ ）
A．a＝﹣1B．a＝1C．a＝﹣2D．a＝2
5．（3分）下列选项中，平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．两组对边分别平行B．两组对边分别相等
C．对角线互相平分D．对角线相等
6．（3分）若分式有意义且它的值为零，其中a、b、c为三角形的三条边，则此三角形一定为（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形
C．各边都不相等的三角形D．直角三角形
7．（3分）两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工3个月，这时增加了乙队，两队又共同工作了2个月，总工程全部完成，已知甲队单独完成全部工程比乙队单独完成全部工程多用2个月，设甲队单独完成全部工程需x个月，则根据题意可列方程中错误的是（ ）
A．+＝1B．++＝1
C．+＝1D．+2（+）＝1
8．（3分）如图，△ABC的面积为8cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P，则△PBC的面积为（ ）
A．2cm2B．3cm2C．4cm2D．5cm2
9．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E是边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F，若∠B＝52°，∠DAE＝20°，则∠FED′的度数为（ ）
A．40°B．36°C．50°D．45°
10．（3分）如果关于x的分式方程＝1+有正整数解，且关于y的一元一次不等式组的解集为y≤a，则所有满足条件的整数a的和为（ ）
A．8B．7C．3D．2
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）若成立，则x的取值范围是 ．
12．（3分）已知a，b是一个等腰三角形的两边长，且满足a2+b2﹣6a﹣8b+25＝0，则这个等腰三角形的周长为 ．
13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC＝30°，AC＝6，将△ABC沿BC向右平移得到△DEF．若四边形ACFD的面积等于，则EC的长为 ．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C．且B′恰好落在AB上，连接AA′，取AA′的中点D，连接B′D，则B′D的为 ．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，点E、F分别是AB、AC上的动点，∠EDF＝90°，M、N分别是EF、AC的中点，连接AM、MN，若AC＝6，AB＝5，则AM﹣MN的最大值为 ．
三、解答题（共7小题55分）
16．（8分）（1）解分式方程：．
（2）化简求值：（+a﹣3）÷，a＝﹣1．
17．（8分）图1是某公交公司1路车从起点站A站途经B站和C站，最终到达终点站D站的格点站路线图．（8×8的格点图是由边长为1的小正方形组成）
（1）求1路车从A站到D站所走的路程（精确到0.1）；
（2）在图2、图3和图4的网格中各画出一种从A站到D站的路线图．（要求：①与图1路线不同、路程相同；②途中必须经过两个格点站；③所画路线图不重复）
18．（7分）已知：线段AB，BC．求作：平行四边形ABCD．以下是甲、乙两同学的作业．
甲：
①以点C为圆心，AB长为半径作弧；
②以点A为圆心，BC长为半径作弧；
③两弧在BC上方交于点D，连接AD，CD．
四边形ABCD即为所求平行四边形．（如图1）
乙：
①连接AC，作线段AC的垂直平分线，交AC于点M；
②连接BM并延长，在延长线上取一点D，使MD＝MB，连接AD，CD．
四边形ABCD即为所求平行四边形．（如图2）
老师说甲、乙同学的作图都正确，你更喜欢 的作法，他的作图依据是： ．
19．（8分）对于任意两个数a、b的大小比较，有下面的方法：当a﹣b＞0时，一定有a＞b；当a﹣b＝0时，一定有a＝b；当a﹣b＜0时，一定有a＜b．反过来也成立．因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”．
请根据以上材料完成下面的题目：
（1）已知：A＝2x2y+8y，B＝8xy，且A＞B，试判断y的符号；
（2）已知：a、b、c为三角形的三边，比较a2+c2﹣b2和2ac的大小．
20．（8分）春节期间，根据习俗每家每户都会在门口挂红灯笼和贴对联，某商店看准了商机，准备购进一批红灯笼和对联进行销售，已知每副对联的进价比每个红灯笼的进价少10元，且购进对联50副比购进红灯笼20个多花费40元．
（1）对联和红灯笼的单价分别为多少？
（2）由于销售火爆，第一批售完后，该商店以相同的进价再购进300副对联和200个红灯笼，已知对联的销售价格为12元一副，红灯笼的销售价格为24元一个，销售一段时间后发现对联售出了总数的，红灯笼售出了总数的，为了清仓，该店老板决定对剩下的红灯笼和对联以相同的折扣数打折销售，并很快全部售出，问商店最低打几折，才能使总的利润率不低于20%？
21．（7分）阅读下面材料，并解答问题．
将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：由分母为x2﹣1，可设x4+x2﹣3＝（x2﹣1）（x2+a）+b．
则x4+x2﹣3＝（x2﹣1）（x2+a）+b＝x4﹣x2+ax2﹣a+b＝x4+（a﹣1）x2﹣a+b
∴，∴
∴＝＝﹣＝（x2+2）﹣
这样，分式被拆分成了一个整式x2+2与一个分式﹣的和．
根据上述作法，将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
22．（9分）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，AD上，且AE＝AF，延长FD到点G，使得DG＝DF，连接EF，GE，CE．
【特例感知】
（1）图1中GE与CE的数量关系是 ．
【结论探索】
（2）如图2，将图1中的△AEF绕着点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°），连接FD并延长到点G，使得DG＝DF，连接GE，CE，BE，此时GE与CE还存在（1）中的数量关系吗？判断并说明理由．
【拓展应用】
（3）在（2）的条件下，若AB＝5，AE＝3，当△EFG是以EF为直角边的直角三角形时，请直接写出GE的长．
2020-2021学年河南省郑州四中八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．（3分）将下列多项式分解因式，结果中不含因式x﹣1的是（ ）
A．x2﹣1B．x（x﹣2）+（2﹣x）
C．x2﹣2x+1D．x2+2x+1
【分析】分别将各选项利用公式法和提取公因式法分解因式进而得出答案．
【解答】解：A、x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），故A选项不合题意；
B、x（x﹣2）+（2﹣x）＝（x﹣2）（x﹣1），故B选项不合题意；
C、x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，故C选项不合题意；
D、x2+2x+1＝（x+1）2，故D选项符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练掌握公式法分解因式是解题关键．
3．（3分）一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】先求出不等式组的解集，然后根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则将不等式组的解集在数轴上表示出来，再进行比较可得到答案．
【解答】解：
第一个不等式的解集为：x＞﹣3；
第二个不等式的解集为：x≤2；
所以不等式组的解集为：﹣3＜x≤2．
在数轴上表示不等式组的解集为：
．
故选：C．
【点评】把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
4．（3分）若关于x的分式方程﹣＝0有增根，则a的值是（ ）
A．a＝﹣1B．a＝1C．a＝﹣2D．a＝2
【分析】解出分式方程的根x＝﹣a﹣1，根据方程有增根，得到x﹣1＝0，得到增根为x＝1，所以﹣a﹣1＝1，求得a的值．
【解答】解：方程两边都乘以（x﹣1）得：a+1+x＝0，
解得：x＝﹣a﹣1．
因为方程有增根，
所以x﹣1＝0，
即x＝1，
∴﹣a﹣1＝1，
∴a＝﹣2．
故选：C．
【点评】本题考查了解分式方程，增根的定义，解题的关键是根据方程有增根求出增根x的值．
5．（3分）下列选项中，平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．两组对边分别平行B．两组对边分别相等
C．对角线互相平分D．对角线相等
【分析】根据平行四边形的定义和性质进行解答即可．
【解答】解：A、两组对边分别平行，平行四边形一定具有的性质，故此选项不符合题意；
B、两组对边分别相等，平行四边形一定具有的性质，故此选项不符合题意；
C、对角线互相平分，平行四边形一定具有的性质，故此选项不符合题意；
D、对角线相等，是平行四边形不一定具有的性质，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握：
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等． ②角：平行四边形的对角相等． ③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
6．（3分）若分式有意义且它的值为零，其中a、b、c为三角形的三条边，则此三角形一定为（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形
C．各边都不相等的三角形D．直角三角形
【分析】根据分式有意义的条件和分式的值为0得出a﹣c≠0且a（b﹣c）+b（c﹣b）＝0，再求出即可．
【解答】解：∵分式有意义且它的值为零，
∴a﹣c≠0且a（b﹣c）+b（c﹣b）＝0，
解a（b﹣c）+b（c﹣b）＝0得：a＝b或b＝c，
∵a﹣c≠0，
∴a＝b或b＝c，
即此三角形是等腰三角形，
故选：A．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，分式的值为0，等腰三角形的判定和等边三角形的判定等知识点，能求出a、b、c直角的关系式是解此题的关键．
7．（3分）两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工3个月，这时增加了乙队，两队又共同工作了2个月，总工程全部完成，已知甲队单独完成全部工程比乙队单独完成全部工程多用2个月，设甲队单独完成全部工程需x个月，则根据题意可列方程中错误的是（ ）
A．+＝1B．++＝1
C．+＝1D．+2（+）＝1
【分析】设甲队单独完成全部工程需x个月，则乙队单独完成全部工程需（x﹣2）个月，根据两队的总工作量为“1”列出方程．
【解答】解：设甲队单独完成全部工程需x个月，则乙队单独完成全部工程需（x﹣2）个月，根据题意，得++＝1或+＝1或+2（+）＝1．观察选项，只有选项A符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
8．（3分）如图，△ABC的面积为8cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P，则△PBC的面积为（ ）
A．2cm2B．3cm2C．4cm2D．5cm2
【分析】延长AP交BC于E，根据AP垂直∠B的平分线BP于P，即可求出△ABP≌△BEP，又知△APC和△CPE等底同高，可以证明两三角形面积相等，即可证明三角形PBC的面积．
【解答】解：延长AP交BC于E，
∵AP垂直∠B的平分线BP于P，
∴∠ABP＝∠EBP，∠APB＝∠BPE＝90°，
在△APB和△EPB中
，
∴△APB≌△EPB（ASA），
∴S△APB＝S△EPB，AP＝PE，
∴△APC和△CPE等底同高，
∴S△APC＝S△PCE，
∴S△PBC＝S△PBE+S△PCE＝S△ABC＝4cm2，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形面积和全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出S△PBC＝S△PBE+S△PCE＝S△ABC．
9．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E是边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F，若∠B＝52°，∠DAE＝20°，则∠FED′的度数为（ ）
A．40°B．36°C．50°D．45°
【分析】由平行四边形的性质得出∠D＝∠B＝52°，由折叠的性质得：∠D′＝∠D＝52°，∠EAD′＝∠DAE＝20°，由三角形的外角性质求出∠AEF＝72°，与三角形内角和定理求出∠AED′＝108°，即可得出∠FED′的大小．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D＝∠B＝52°，
由折叠的性质得：∠D′＝∠D＝52°，∠EAD′＝∠DAE＝20°，
∴∠AEF＝∠D+∠DAE＝52°+20°＝72°，∠AED′＝180°﹣∠EAD′﹣∠D′＝108°，
∴∠FED′＝108°﹣72°＝36°；
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质，求出∠AEF和∠AED′是解决问题的关键．
10．（3分）如果关于x的分式方程＝1+有正整数解，且关于y的一元一次不等式组的解集为y≤a，则所有满足条件的整数a的和为（ ）
A．8B．7C．3D．2
【分析】不等式组整理后，根据已知解集确定出a的范围，分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有正整数解，确定出a的值，求出之和即可．
【解答】解：不等式组整理得：，
由解集为y≤a，得到a＜5，
分式方程去分母得：x﹣a+2x﹣5＝x﹣2，即2x＝a+3，
解得：x＝，
∵x＝，由x为正整数解，且x≠2
∴x＝1，3，
若x＝1，则＝1，得a＝﹣1；
若x＝3，则＝3，得a＝3．
∴和为：﹣1+3＝2．
满足条件的整数a的和为2．
故选：D．
【点评】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）若成立，则x的取值范围是 x≠1 ．
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：x﹣1≠0，
∴x≠1，
故答案为：x≠1
【点评】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
12．（3分）已知a，b是一个等腰三角形的两边长，且满足a2+b2﹣6a﹣8b+25＝0，则这个等腰三角形的周长为 10或11 ．
【分析】根据配方法把原式变形，根据非负数的性质分别求出a、b，分a是腰长、b是腰长两种情况计算，得到答案．
【解答】解：a2+b2﹣6a﹣8b+25＝0，
a2﹣6a+9+b2﹣8b+16＝0，
（a﹣3）2+（b﹣4）2＝0，
解得，a＝3，b＝4，
当a是腰长时，等腰三角形的周长＝3+3+4＝10，
当b是腰长时，等腰三角形的周长＝3+4+4＝11，
故答案为：10或11．
【点评】本题考查的是配方法的应用、等腰三角形的概念，掌握用配方法、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC＝30°，AC＝6，将△ABC沿BC向右平移得到△DEF．若四边形ACFD的面积等于，则EC的长为 1 ．
【分析】根据已知条件求出AB、BC的长，再利用四边形ACFD的面积等于求出CF的长，即可求出EC的长．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC＝30°，AC＝6，
∴BC＝＝＝3，AB＝＝＝3，
由平移易得四边形ACFD为平行四边形，
∵S平行四边形ACFD＝CF•AB＝6，
∴CF＝＝＝2，
∴EC＝EF﹣CF＝BC﹣CF＝3﹣2＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查平移的性质，弄清题意通过解含30度角的直角三角形结合平移的性质是解题的关键．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C．且B′恰好落在AB上，连接AA′，取AA′的中点D，连接B′D，则B′D的为 ．
【分析】由旋转性质可证明△BB'C等边三角形，B'A＝B'C＝BC＝2．再证明B'A'为AC的中垂线，则AA'＝A'C＝AC＝，然后证明△AB'D为直角三角形，又AD＝＝，AB'＝2，用勾股定理可求B'D的长．
【解答】解：由∠B＝60°及旋转性质可知BC＝B'C，
∴△BB'C为等边三角形．
∴∠B'CA＝90°﹣60°＝30°＝∠BAC，
∴B'A＝B'C＝BC＝2．
又∠ACA'＝90°﹣∠B'CA＝60°，∠CA'B'＝∠BAC＝30°，
∴B'A'⊥AC，
∴B'A'为AC的中垂线，
∴AA'＝A'C'＝AC＝2×tan60°＝2．
∴∠A'AC＝∠A'CA＝60°，
∴∠B'AD＝∠BAC+∠A'AC＝90°，
又D为AA'中点，
∴AD＝AA'＝，
∴＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了图形旋转的性质，直角三角形的性质，特殊角的三角函数值，勾股定理，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，牢固掌握这些性质是解题关键．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，点E、F分别是AB、AC上的动点，∠EDF＝90°，M、N分别是EF、AC的中点，连接AM、MN，若AC＝6，AB＝5，则AM﹣MN的最大值为 ．
【分析】由图可以得到M的轨迹是一条线段（AD的垂直平分线的一部分），M在AN上的时候最大（此时AM最大，MN最小），当M在AN上时，设AM＝x，MN＝3﹣x，DM＝x，DN＝2.5，在三角形DMN用勾股定理可得x，进而可得此时AM﹣MN的最大值．
【解答】解：如图，连接DM，DN，
由图可以得到M的轨迹是一条线段（AD的垂直平分线的一部分），
M在AN上的时候最大（此时AM最大，MN最小），
当M在AN上时，如图，
设AM＝x，则MN＝3﹣x，DM＝AM＝x，
∵D、N分别是BC、AC的中点，
∴DN＝AB＝，
在直角三角形DMN中，根据勾股定理，得
DM2＝DN2+MN2，
∴x2＝（3﹣x）2+2.52，
解得x＝，
∴3﹣x＝，
此时AM﹣MN＝﹣＝．
∴AM﹣MN的最大值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了直角三角形斜边中线的性质、三角形的三边关系，解决本题的关键是掌握直角三角形斜边中线性质．
三、解答题（共7小题55分）
16．（8分）（1）解分式方程：．
（2）化简求值：（+a﹣3）÷，a＝﹣1．
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则运算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
【解答】解：（1）去分母得：3+x2﹣x＝x2，
解得：x＝3，
经检验x＝3是分式方程的解；
（2）原式＝•
＝﹣，
当a＝﹣1时，原式＝＝．
【点评】此题考查了分式的化简求值，以及解分式方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17．（8分）图1是某公交公司1路车从起点站A站途经B站和C站，最终到达终点站D站的格点站路线图．（8×8的格点图是由边长为1的小正方形组成）
（1）求1路车从A站到D站所走的路程（精确到0.1）；
（2）在图2、图3和图4的网格中各画出一种从A站到D站的路线图．（要求：①与图1路线不同、路程相同；②途中必须经过两个格点站；③所画路线图不重复）
【分析】（1）先根据网格求得AB、BC、CD三条线段的长，再相加求得所走的路程的近似值；
（2）根据要求：①与图1路线不同、路程相同；②途中必须经过两个格点站；③所画路线图不重复，进行作图即可．
【解答】解：（1）根据图1可得：，，CD＝3
∴A站到B站的路程＝≈9.7；
（2）从A站到D站的路线图如下：
【点评】本题主要考查了作图，解决问题的关键是掌握勾股定理以及图形的基本变换．在作图时要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
18．（7分）已知：线段AB，BC．求作：平行四边形ABCD．以下是甲、乙两同学的作业．
甲：
①以点C为圆心，AB长为半径作弧；
②以点A为圆心，BC长为半径作弧；
③两弧在BC上方交于点D，连接AD，CD．
四边形ABCD即为所求平行四边形．（如图1）
乙：
①连接AC，作线段AC的垂直平分线，交AC于点M；
②连接BM并延长，在延长线上取一点D，使MD＝MB，连接AD，CD．
四边形ABCD即为所求平行四边形．（如图2）
老师说甲、乙同学的作图都正确，你更喜欢 甲 的作法，他的作图依据是： 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ．
【分析】根据平行四边形的判定解决问题即可．
【解答】解：甲，两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
乙，对角线互相平分的四边形是平行四边形．
由甲图可知：
∵AB＝CD，BC＝AD，∴四边形ABCD是平行四边形．
由乙图可知：
∵AM＝CM，BM＝DM，∴四边形ABCD是平行四边形．
我喜欢甲的作法．作图理由：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
故答案为：甲．两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行四边形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
19．（8分）对于任意两个数a、b的大小比较，有下面的方法：当a﹣b＞0时，一定有a＞b；当a﹣b＝0时，一定有a＝b；当a﹣b＜0时，一定有a＜b．反过来也成立．因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”．
请根据以上材料完成下面的题目：
（1）已知：A＝2x2y+8y，B＝8xy，且A＞B，试判断y的符号；
（2）已知：a、b、c为三角形的三边，比较a2+c2﹣b2和2ac的大小．
【分析】（1）根据不等式的性质解答即可；
（2）根据三角形三边关系解答即可．
【解答】解：（1）∵A＝2x2y+8y，B＝8xy，
∴A﹣B＝2x2y+8y﹣8xy＝2y（x2﹣4x+4）＝2y（x﹣2）2，
∵A＞B，
∴A﹣B＞0，
即2y（x﹣2）2＞0，
∵（x﹣2）2≥0，
∴y＞0；
（2）∵a、b、c为三角形的三边，
∴a＜c+b，a+b＞c，
∴a2+c2﹣b2﹣2ac＝（a﹣c）2﹣b2＝（a﹣c﹣b）（a﹣c+b）＜0，
∴a2+c2﹣b2＜2ac．
【点评】此题考查不等式的性质，关键是根据三角形三边关系和不等式的性质解答．
20．（8分）春节期间，根据习俗每家每户都会在门口挂红灯笼和贴对联，某商店看准了商机，准备购进一批红灯笼和对联进行销售，已知每副对联的进价比每个红灯笼的进价少10元，且购进对联50副比购进红灯笼20个多花费40元．
（1）对联和红灯笼的单价分别为多少？
（2）由于销售火爆，第一批售完后，该商店以相同的进价再购进300副对联和200个红灯笼，已知对联的销售价格为12元一副，红灯笼的销售价格为24元一个，销售一段时间后发现对联售出了总数的，红灯笼售出了总数的，为了清仓，该店老板决定对剩下的红灯笼和对联以相同的折扣数打折销售，并很快全部售出，问商店最低打几折，才能使总的利润率不低于20%？
【分析】（1）设对联的单价为x元，红灯笼的单价为y元，根据“每副对联的进价比每个红灯笼的进价少10元，且购进对联50副比购进红灯笼20个多花费40元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设商店对剩下的红灯笼和对联打m折销售，根据利润＝销售收入﹣进货成本，结合总的利润率不低于20%，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设对联的单价为x元，红灯笼的单价为y元，
依题意得：，
解得：．
答：对联的单价为8元，红灯笼的单价为18元．
（2）设商店对剩下的红灯笼和对联打m折销售，
依题意得：300××12+200××24+300×（1﹣）×12×+200×（1﹣）×24×﹣300×8﹣200×18≥（300×8+200×18）×20%，
解得：m≥5．
答：商店最低打5折，才能使总的利润率不低于20%．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
21．（7分）阅读下面材料，并解答问题．
将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：由分母为x2﹣1，可设x4+x2﹣3＝（x2﹣1）（x2+a）+b．
则x4+x2﹣3＝（x2﹣1）（x2+a）+b＝x4﹣x2+ax2﹣a+b＝x4+（a﹣1）x2﹣a+b
∴，∴
∴＝＝﹣＝（x2+2）﹣
这样，分式被拆分成了一个整式x2+2与一个分式﹣的和．
根据上述作法，将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
【分析】根据阅读材料中的方法将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式即可．
【解答】解：
＝
＝x2+7﹣．
【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22．（9分）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，AD上，且AE＝AF，延长FD到点G，使得DG＝DF，连接EF，GE，CE．
【特例感知】
（1）图1中GE与CE的数量关系是 GE＝CE ．
【结论探索】
（2）如图2，将图1中的△AEF绕着点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°），连接FD并延长到点G，使得DG＝DF，连接GE，CE，BE，此时GE与CE还存在（1）中的数量关系吗？判断并说明理由．
【拓展应用】
（3）在（2）的条件下，若AB＝5，AE＝3，当△EFG是以EF为直角边的直角三角形时，请直接写出GE的长．
【分析】（1）连接GC，证明△CDG≌△CBE，由全等三角形的性质得出CE＝CG，∠GCD＝∠ECB，得出△GCE为等腰直角三角形即可；
（2）类似（1）的方法，先证明△AFD≌△AEB（SAS），再证△CDG≌△CBE（SAS），得出△GCE为等腰直角三角形即可；
（3）根据E、F是直角顶点分类讨论，结合（2）中结论，利用勾股定理求解即可．
【解答】解：（1）连接GC，
∵AE＝AF，AD＝AB，
∴DF＝BE，
∵DG＝DF，
∴DG＝BE，
∵∠GDC＝∠B＝90°，DC＝BC，
∴△CDG≌△CBE（SAS），
∴CE＝CG，∠GCD＝∠ECB，
∵∠ECB+∠DCE＝90°，
∴∠GCE＝∠GCD+∠DCE＝90°，
∴GE＝CE；
故答案为：GE＝CE；
（2）存在，连接GC，
∵AE＝AF，AD＝AB，∠FAE＝∠DAB＝90°，
∴∠FAD＝∠EAB，
∴△FAD≌△EAB（SAS），
∴FD＝EB＝GD，∠FDA＝∠EBA，
∵∠GDC+∠FDA＝90°，∠EBC+∠EBA＝90°，
∴∠GDC＝∠EBC，
∵DC＝BC，
∴△CDG≌△CBE（SAS），
与（1）同理，GE＝CE；
（3）当∠FEG＝90°时（0°＜α＜90°），如图1，
∵∠FEA＝∠GEC＝45°，
∴A、E、C在一条直线上，
∵AB＝5，
∴AC＝5，
CE＝5﹣3＝2，
GE＝EC＝4；
当∠EFG＝90°时（0°＜α＜90°），如图3，∠AFD＝∠EFG+∠AFE＝135°，
由（2）得，∠AFD＝∠AEB＝135°，DF＝BE，
∴B、E、F在一条直线上，过点A作AM⊥EF，垂足为M，
∵AB＝5，AE＝3，
∴EF＝6，AM＝ME＝MF＝3，
∴＝4，
∴BE＝DF＝1，FG＝2，
∴GE＝＝2；
综上，EG的长为2或4．
【点评】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，旋转的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
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