四川省南充高级中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试卷(含答案)

这是一份四川省南充高级中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试卷(含答案)，共11页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．从甲地到乙地一天有汽车5班，火车3班，飞机2班.某人从甲地到乙地不同的出行方法有( )
A.6种B.10种C.15种D.30种
2．在导数定义中“当时，，( )
A.恒取正值B.恒取正值或恒取负值
C.有时可取0D.可取正值可取负值，但不能取零
3．在等差数列中，,，则( )
A.4B.5C.6D.8
4．抛物线上一点到焦点F的距离为6，则( )
A.3B.4C.5D.6
5．已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如图所示，则该函数的图象是( )
A.B.
C.D.
6．如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有四种不同的花供选种，要求在每块花坛里种一种花，且相邻的两块花坛种不同的花，则不同的种法种数为( )
A.108B.96C.72D.48
7．数列的前n项和为，若,，则( )
A.B.C.D.
8．已知,，下列四个结论：①，②，③，④.其中正确的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
二、多项选择题
9．下列关于从n个不同元素中取个元素的排列数和组合数关系式正确的有( )
A.
B.
C.
D.
10．已知函数，则下列结论正确的是( )
A.是函数定义域内的极大值点
B.在上的最小值为e
C.是函数定义域内的极小值点
D.在定义域内既无最大值又无最小值
11．已知数列满足,,是数列的前n项和，且，且，若不等式对于任意的,恒成立，则实数a的值可能为( )
A.-4B.0C.2D.5
三、填空题
12．已知函数，若存在，使，则实数m的取值范围是__________.
13．分别从0,2,4和1,3,5中各任取2个数字组成一个没有重复数字的四位数，这样的四位数共有__________个.
14．若是双曲线的右焦点，过F作该双曲线的一条渐近线的垂线与两条渐近线交于A,B两点，O为坐标原点，的面积为，则该双曲线的离心率为__________.
四、解答题
15．在等比数列中，已知,.
(1)求公比q及数列的通项公式；
(2)求的值.
16．已知函数.
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)当时，函数有三个零点，求a的取值范围.
17．从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.
设等差数列的前n项和为,，__________；设数列的前n项和为.
(1)求数列和的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
18．已知椭圆的左､右焦点为,，离心率为，过左焦点的直线与椭圆C交于A,B两点，且的周长为8.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设过椭圆C右焦点的直线,的斜率分别为,，满足,交椭圆C于点E,F交椭圆C于点G,H，线段与的中点分别为M,N.判断直线是否过定点，若过定点求出该定点；若不过定点，请说明理由.
19．已知函数,.
(1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求该切线方程；
(2)若-2是的一个极值，求满足此条件的实数a的值；
(3)若m,n是方程的两个不相等的实数根，求证：.
(注：是的导函数)
参考答案
1．答案：B
2．答案：D
3．答案：C
4．答案：C
5．答案：C
6．答案：D
7．答案：B
8．答案：A
9．答案：ABD
10．答案：BCD
11．答案：AD
12．答案：
13．答案：180
14．答案：
15．答案：(1)，或
(2)或者
解析：(1),，所以，
即，解得或.
当时，
当时，
综上所述，，或.
(2)当时，，所以.
当时，，所以.
16．答案：(1)单调递减区间为和，单调递增区间为
(2)
解析：(1)当时，，
，
由得，所以在上单调递增，
由得，或，所以在和上单调递减；
综上所述：函数的单调递减区间为和，单调递增区间为.
(2)，
当时，由得，所以在上单调递增，
由得或，所以在和上单调递减.
，
，当时，，当时，，
因函数有三个零点，所以只需且
即，解之得.
综上所述：a的取值范围为.
17．答案：(1)
(2)
解析：(1)设数列的首项为，公差为d，
选①得，则，
选②得，则，
选③得，则，
所以数列的通项公式为.
因为，所以当时，，则.
当时，，则，
所以是以首项为2，公比为2的等比数列，所以.
(2)因为，
所以数列的前n项和①
②
①-②得
所以.
18．答案：(1)
(2)
解析：(1)的周长，
,，
由离心率为得，从而，
所以椭圆C的标准方程为.
(2)设,，
联立直线与椭圆C的方程得消去y得，，
易得，由根与系数的关系知，则，
代入直线的方程得，所以，同理得.
方法一：①当直线的斜率存在时，设直线，
将点M,N的坐标代入直线，得
易知,为方程的两个根，
由根与系数的关系知，由题知，所以，
得，所以直线，所以直线过定点.
②当直线的斜率不存在时，，
即，所以，且.
不妨设,，所以，
即直线，满足过定点.
综上，直线过定点.
方法二：①当直线的斜率存在时，即.
，(上式结合化简)，
直线，
由椭圆的对称性可知，若定点存在，则必在x轴上，所以令，得
所以直线过定点.
②当直线的斜率不存在时，，
即，所以，且.
不妨设,，所以，
即直线，满足过定点.
综上，直线过定点.
方法三：易知直线的斜率不为0，设直线，
将点M,N的坐标代入直线，得
易知,为方程的两个根，
由根与系数的关系知，由题知，
所以，解得，
所以直线，
故直线过定点.
19．答案：(1)
(2)
(3)证明见解析
解析：(1)
,
曲线在点处的切线与直线垂直，
,，又,
，切点为
所以其切线方程为.即.
(2),的定义域为，
，
由得，解得
(舍去)，，且
在上是单调递增，在上是单调递减，
有极大值为
设，则在上单调递增，且，
因的极值为-2，所以，解得，
即，解得.
(3)因m,n是方程的两个不相等的根，所以，
，
两式相减，可得，故
不妨设,，则，
要证，只需证明
需证.即证
构造函数，则
在上单调递减.
即，
故.