江西省萍乡市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题

这是一份江西省萍乡市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题，共10页。试卷主要包含了下列命题为真命题的是，已知复数，，则等内容，欢迎下载使用。

高一数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页.满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人的准考证号、姓名是否一致.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，监考员将试题卷、答题卡一并收回.
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.复数的虚部为（ ）
A.2B.C.D.
2.（ ）
A.B.C.D.
3.已知，，为非零向量，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
4.把函数的图象按向量平移后，得到新图象的解析式为（ ）
A.B.
C.D.
5.在中，为的中点，为的中点，设，，则（ ）
A.B.C.D.
6.的内角，，所对的边分别为，，，，，，则的面积为（ ）
A.B.C.或D.
7.如图所示是一个主体高为的螺旋形旋转滑梯.某游客从该滑梯顶端出发一直滑到底部，把其运动轨迹投影到滑梯的轴截面上，得到的曲线对应的方程为（，）（，的单位：），若该游客整个运动过程中相位的变化量为，则的值为（ ）
A.B.C.D.
8.锐角的内角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围为（ ）
A.B.C.D.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列命题为真命题的是
A.若向量，，满足，，则
B.240°化成弧度数为
C.若向量，满足，，，则
D.在4:30时刻，时针与分针所夹的锐角为，则
10.已知复数，，则（ ）
A.B.在复平面内对应的点位于第一象限
C.D.为纯虚数
11.在棱长为2的正方体中，为的中点，则下列说法正确的有（ ）
A.若点为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为
B.若点为线段上的动点（含端点），则的最小值为
C.若点为线段的中点，则平面与正方形的交线长为
D.若点在正方形内（含边界），且，则的轨迹长度为
第Ⅱ卷
注意事项：
第Ⅱ卷共2页，须用0.5毫米的黑色墨水签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12.若圆锥的底面半径为1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的高为______.
13.如图，莲花县荷塘乡重阳木古树已有800年左右的历史，该古树枝繁叶茂，以优美的形状挺立在文塘村，几百年来历经风霜守护村民繁衍生息.小明为了测量该古树高度，在古树旁水平地面上共线的三点，，处测得古树顶点的仰角分别为45°，45°，30°，若米，则该古树的高度为______米.
14.已知函数（，）的图象如图所示，则______；上两点的横坐标分别为，，则______.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
在平面四边形中，，，，.
（1）求的值；
（2）若，求.
16.（本小题满分15分）
如图，在直三棱柱中，，，，是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
17.（本小题满分15分）
已知函数（，）在区间上单调递增，，且______.从下列两个条件中选择一个补充在题中的横线上，再解答.
①；②，在区间上至少有2个零点.
（1）求函数的解析式；
（2）对任意的，恒成立，求实数的取值范围.
【注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.】
18.（本小题满分17分）
如图，某城市为升级沿河直线绿道的沿途风景，计划在以为直径的半圆形空地内部修建一块矩形枫叶林（，在上，，在半圆上，为圆心），已知全长.
（1）求枫叶林面积的最大值；
（2）为方便游客休憩打卡，计划在的另一侧修建观景木质栈道，已知段每米的造价为元，段每米的造价是段的两倍，，求修建观景木质栈道所需的费用最多为多少元（结果用表示）.
19.（本小题满分17分）
设有维向量，，称为向量和的内积.记为全体由和1构成的维向量的集合.
（1）若，存在，使得，写出所有满足条件的；
（2）令，若，证明：为偶数；
（3）若表示能从中选出向量的个数的最大值，且满足选出的向量互相之间的内积均为0，猜测的值，并给出一个实例.
萍乡市2023—2024学年度第二学期期末考试
高一数学试题参考答案及评分标准
一、单项选择题（）
ADBAD；CDC.
【7解析】由旋转滑梯高为知，投影到轴截面上后，游客对应在横轴上移动的距离是，当时，初相为，且游客一直滑到底部，则最后的相位为，故整个运动过程中，相位的变化量为，解得.
【8解析】由题知，，
当且仅当时取等号；又因为三角形是锐角三角形，所以，
即，解得，即，
又，设，，，
因为在上单调递减，在上单调递增，
且，所以的取值范围为.
二、多项选择题（）
BD；ABC；ACD.
三、填空题（）
12.；13. 28；14. 3，.
四、解答题（共77分）
15.（1）在中，由正弦定理得，
代入数值并解得，
又因为，所以，即为锐角，
所以；
（2）在中，由余弦定理得，
，
所以.
16.（1）证明：连接交于点，则是中点，连接，
因为是的中点，所以，
又平面，平面，
故平面；
（2）由题知，，
因为平面，平面，所以，
，所以平面，
平面，故，即是二面角的平面角，
在中，，，则，
在中，，则，
则，则，
即二面角的余弦值为.
17（1）【选条件①】由题知，的最大值为2，
在上单调递增，，，
则，解得，，所以，
又，所以，又，所以，
所以；
【选条件②】因为，在区间上至少有2个零点，所以，
又因为在上单调递增，所以，即，
所以，，所以，
又，所以，又，所以，
所以；
（2）因为，所以，则，
令，则在内恒成立，即在内恒成立，
令，，由基本不等式可知，在处取得最小值，
任取，有，，，
即，故在上单调递减；
同理可得在上单调递增，
则，故只需，
所以实数的取值范围为.
18.（1）设，则，且，，
所以，
当，即时，矩形枫树林面积取得最大值，为；
（2）因为，所以，记，
由正弦定理有，
则，
则
，
，其中，，且，
当时，取得最大值，
所以修建观景木质栈道所需的费用最多为元.
19.（1）由定义，只需满足，
故所有满足条件的有6个，为：，，，，，；
（2）由题知，存在，与，，，使，
当时，；当时，，.
若有个，则有个，则，
所以为偶数；
（3）猜测符合要求的4维向量最多有4个，即，举例如下：
不妨取，，，，
则有，，，，，，
若存在使，则或或，
当时，；当时，；
当时，，.
故找不到第5个4维向量与已知的4个向量满足互相之间的内积均为0，即.
命题：徐敏（莲花中学） 贺莎莎（莲花中学） 吴正兴（萍乡三中）
审核：胡斌（市教研室）