2023-2024学年辽宁省沈阳市重点高中市郊联体高二（下）期中数学试卷-普通用卷

这是一份2023-2024学年辽宁省沈阳市重点高中市郊联体高二（下）期中数学试卷-普通用卷，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知数列{an}，{bn}均为等差数列，a2+b2=7，a8+b10=11，则a5+b6=( )
A. 9B. 18C. 16D. 27
2.已知函数f(x)=13x3−f′(2)x2+x−3，则f′(2)=( )
A. −1B. 1C. −5D. 5
3.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且a70，则下列选项正确的是( )
A. 数列{an}为递减数列B. a80
4.若a=ln33，b=1e，c=ln22，则( )
A. c0)千元时，在销售A，B商品中所获收益分别为f(x)千元与g(x)千元，其中f(x)=2x，g(x)=4ln(2x+1)，如果该个体户准备共投入5千元销售A，B两种商品，为使总收益最大，则B商品需投______千元.
14.已知实数a，b满足a=e2024−a，2021+lnb=e3−lnb，则ab=______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=−x3+ax2+bx+1的图象经过点A(1,1)，且在x= 33处取得极值.
(1)求a，b的值；
(2)求经过点M(1,1)且与曲线y=f(x)相切的切线方程.
16.(本小题15分)
已知正项等差数列{an}，Sn为数列{an}的前n项和，且满足a1=2，S3=12，设数列{bn}满足b121+b222+…+bn−12n−1+bn2n=n.
(1)分别求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)将数列{an}中与数列{bn}相同的项剔除后，按从小到大的顺序构成数列{cn}，记数列{cn}的前n项和为Tn，求T100.
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=ax−1−lnx(a∈R).
(1)若a=2，求f(x)在[1e,e]上的最大值和最小值；
(2)若a=1，当x>1时，证明：xlnx>f(x)恒成立；
(3)若函数f(x)在x=1处的切线与直线l：x=1垂直，且对∀x∈(0,+∞)，f(x)≥bx−2恒成立，求实数b的取值范围.
18.(本小题17分)
已知数列{an}满足a1=4，且an+1=3an−2n+1.
(1)证明：{an−n}是等比数列，并求{an}的通项公式；
(2)在数列{bn}中，b1=1，bn+1=bn+1n(n+1)，求{bn}的通项公式；
(3)记数列{cn}满足cn={nbn,n为奇数n(an−n),n为偶数，求数列{cn}的前2n项和T2n.
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=ex−ax(a∈R)(e为自然对数的底数).
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间；
(Ⅱ)若a=1，F(x)=f(x)−bx2−1的导数F′(x)在[0,+∞)上是增函数，求实数b的最大值；
(Ⅲ)求证：f(12)+f(13)+f(14)+⋯+f(1n+1)>n+n4(n+2)对一切正整数n均成立．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：由题意，两式相加可得，a2+b2+a8+b10=2a5+2a6=18，
则a5+b6=9.
故选：A.
分别根据等差数列的下标和性质化简计算．
本题考查等差数列的性质，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：f(x)=13x3−f′(2)x2+x−3，
则f′(x)=x2−2f′(2)x+1，
f′(2)=4−4f′(2)+1，
解得f′(2)=1.
故选：B.
根据导数的公式即可得到结论．
本题主要考查导数的基本运算，比较基础．
3.【答案】D
【解析】解：设等差数列{an}的公差为d，
由题意，n∈N*，在等差数列{an}中，a70，
∴a8>0，故B错误；
∴d=a8−a7>0，数列{an}为递增数列，A错误；
∴当1≤n≤7时，an0，Sn的最小值为S7，故C错误；
S14=14(a1+a14)2=7(a7+a8)>0，故D正确．
故选：D.
根据已知条件，结合等差数列的性质，以及等差数列的前n项和公式，即可求解．
本题主要考查等差数列的前n项和公式，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：构造函数f(x)=lnxx，x∈(0,+∞)，则f′(x)=1−lnxx2，
令f′(x)>0解得0x2>0时，总有m2x12−x1lnx1>m2x22−x2lnx2恒成立，构造函数k(x)=m2x2−xlnx，只需k(x1)>k(x2)对任意x1>x2>0恒成立，即可判断D是否正确．
本题考查导数的综合应用，恒成立问题，解题中需要理清思路，属于中档题．
12.【答案】28
【解析】解：依题意，数列{an}是等积数列，且a1=1，a2=2，公积为8，
∴a1⋅a2⋅a3=8，即1×2a3=8，
∴a3=4.
同理可求a4=1，a5=2，a6=4，…
∴{an}是以3为周期的数列，
∴a1=a4=a7=a10=1，
a2=a5=a8=a11=2，
a3=a6=a9=a12=4.
∴a1+a2+a3+…+a12=(1+2+4)×4=28.
故答案为：28.
根据“等积数列”的概念，a1=1，a2=2，公积为8，可求得a3，a4，…a12，利用数列的求和公式即可求得答案．
本题考查数列的求和，求得{an}是以3为周期的数列是关键，考查分析观察与运算能力．
13.【答案】1.5
【解析】解：设B商品需投x千元(0≤x≤5)，则A商品为(5−x)千元，
则：F(x)=4ln(2x+1)+2(5−x)=4ln(2x+1)−2x+10，x∈[0,5]，
所以F′(x)=82x+1−2，
当0≤x0，函数F(x)在[0,1.5)上单调递增，
当1.51时，f′(x)>0，则h(x)在(1,+∞)上单调递增，
所以当x>1时，h(x)>h(1)=0，
所以xlnx>f(x)恒成立；
(3)因为函数f(x)的图象在x=1处的切线与直线l：x=1垂直，
所以f′(1)=0，即a−1=0，解得a=1，
所以f(x)=x−1−lnx，
因为对∀x∈(0,+∞)，f(x)≥bx−2恒成立，
所以对∀x∈(0,+∞)，b−1≤1−lnxx恒成立，
令g(x)=1−lnxx，则g′(x)=lnx−2x2，
令g′(x)>0，解得x>e2；令g′(x)lna时，f′(x)>0，f(x)递增；当x12[12×3+13×4+14×5+...+1(n+1)(n+2)]+n=12(12−13+13−14+14−15+...+1n+1−1n+2)+n
=12(12−1n+2)+n=n4(n+2)+n.
【解析】(Ⅰ)求得f(x)的导数，对a讨论，分a≤0，a>0，解不等式可得所求单调区间；
(Ⅱ)求得F(x)的解析式和导数，由题意可得ex−2b≥0在[0,+∞)上恒成立，由参数分离和不等式恒成立思想可得所求最大值；
(Ⅲ)由(Ⅱ)结合函数的单调性推得f(x)≥12x2+1，再由累加法和裂项相消求和、不等式的性质可得证明．
本题考查导数的运用：求单调性，以及不等式恒成立问题解法和不等式的证明，考查分类讨论思想和运算能力、推理能力，属于中档题．