2023-2024学年辽宁省重点高中沈阳市郊联体高二上学期11月期中考试数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年辽宁省重点高中沈阳市郊联体高二上学期11月期中考试数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.直线x− 3y+2=0的倾斜角为
( )
A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 120∘
2.两条不同直线l1，l2的方向向量分别为m=(2,1,−2)，n=(1,1,1)，则这两条直线
( )
A. 平行B. 垂直C. 异面D. 相交或异面
3.已知直线l1:(2m2+m−3)x+(m2−m)y=4m−1，l2:x−3y−5=0互相垂直，则实数m的值为
( )
A. 3B. 3或1C. 1D. −3或−1
4.若圆C1:x2+y2=4与圆C2:(x−a)2+(y−1)2=1恰有3条公切线，则a=( )
A. ±2 2B. ±3C. ±2D. ±1
5.已知斜三棱柱ABC−A1B1C1所有棱长均为2,∠A1AB=∠A1AC=π3，点E､F满足AE=12AA1,BF=12BC，则EF=( )
A. 6B. 3C. 2D. 2
6.当圆C:x2+y2−4x+6y−3=0的圆心到直线l:mx+y+m−1=0的距离最大时，m=( )
A. 34B. 43C. −34D. −43
7.在三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=0,2,−3，AC=−2 3,0,−3，AA1=− 3,0,32，则该三棱柱的高为
( )
A. 94B. 32C. 2D. 4
8.斜率为k的直线l与椭圆C：x26+y23=1交于A，B两点，线段AB的中点为M2,m，则k的范围是
( )
A. k<1B. −131D. −23二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.以下命题中正确的是( )
A. 若a是直线l的方向向量，l⊥α，则λa(λ∈R)是平面α的法向量
B. 若AB=λCD+μCE，则直线AB//平面CDE或AB⊂平面CDE
C. A，B，C三点不共线，对平面ABC外任意一点O，若OP=34OA+18OB−18OC，则P，A，B，C四点共面
D. 若{a,b,c}是空间的一个基底，m=a+c，则{a,b,m}也是空间的一个基底
10.已知P是椭圆x225+y216=1上一点，椭圆的左、右焦点分别为F1,F2，cs∠F1PF2=12，则下列结论正确的是
( )
A. △F1PF2的周长为16B. S▵F1PF2=16 33
C. 点P到x轴的距离为16 39D. PF1⋅PF2=83
11.已知实数x,y满足圆M:(x−2)2+y2=1的方程，点P是直线l:x+y=0上一动点，过点P作圆M的切线PA,PB，切点分别是A,B，下列说法正确的有
( )
A. 圆M上恰有一个点到直线l的距离为 22B. x2+y2的最大值是 3+1
C. 四边形AMBP面积的最小值为1D. 直线AB恒过定点32,−12
12.直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，∠DAB=60∘，且AA1=AB=2，M为AD的中点，动点P满足BP=xBB1+yBD，且x，y∈0,1，则下列说法正确的是
( )
A. 当x+y=1时，AP⊥BD1
B. 若AP⊥BD1，则P的轨迹长度为 2
C. 若MP//平面ABB1A1，则y=12
D. 当y=2xx≠0时，若点O满足OP=OM=OB=OD，则OP的取值范围是1, 5
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.已知圆C1：(x+1)2+y2=r2过圆C2：(x−4)2+(y−1)2=4的圆心，则两圆相交弦的方程为______．
14.在正三棱锥P−ABC中，O是▵ABC的中心，PA=AB=2，则PO⋅PA=______．
15.已知P为正方体ABCD−A1B1C1D1表面上的动点，若AB=2,PA⋅PB=0，则当DP取最小值时，DP=______．
16.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F(c,0)，点P在椭圆C上，线段PF与圆(x−c3)2+y2=b29相切于点Q，且PQ=2QF，则椭圆C的离心率为
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10分)
在▵ABC中，边AB所在的直线斜率为kAB=−13，其中顶点A点坐标为−1,1，顶点C的坐标为(1,2)．
(1)求AB边上的高所在的直线方程；
(2)若CA,CB的中点分别为E，F，求直线EF的方程．
18.(本小题12分)
已知直线l:x−y+1=0和圆C:x2+y2−2x+4y−4=0．
(1)判断直线l与圆C的位置关系；若相交，求直线l被圆C截得的弦长；
(2)求过点4,−1且与圆C相切的直线方程．
19.(本小题12分)
如图，E是以AB为直径的半圆O上异于A、B的点，矩形ABCD所在的平面垂直于圆O所在的平面，且AB=2AD=2．
(1)求证：平面DAE⊥平面CBE；
(2)若异面直线AE和DC所成的角为π3，求平面DCE与平面AEB的夹角的正弦值．
20.(本小题12分)
设F1,F2分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左右焦点，C的离心率为 22,点0,1是C上一点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)倾斜角为45且过点F1的直线与椭圆C交于A,B两点，求△ABF2的面积．
21.(本小题12分)
图1是直角梯形ABCD,AB//CD,∠D=90∘，四边形ABCE是边长为2的菱形并且∠BCE=60∘，以BE为折痕将▵BCE折起，使点C到达C1的位置，且AC1= 6，如图2．
(1)求证：平面BC1E⊥平面ABED；
(2)在棱DC1上是否存在点P，使得P到平面ABC1的距离为 155？若存在，求出直线EP与平面ABC1所成角的正弦值．
22.(本小题12分)
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0，长轴是短轴的2倍，点P2, 3在椭圆C上，且点P在x轴上的投影为点Q．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设过点Q 的且不与x轴垂直的直线l交椭圆于A、B两点，是否存点Mt,0，使得直线MA，直线MB与x轴所在直线所成夹角相等？若存在，请求出常数t的值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】根据斜率与倾斜角的关系即可求解．
解： x− 3y+2=0 的斜率为 k= 33 ，
所以 tan30∘= 33 ，故倾斜角为 30∘ ，
故选：A．
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了利用空间向量判断线线的位置关系，属于基础题．
利用空间向量的数量积及不存在实数λ，使得m=λn，求解即可．
【解答】
解：因为m=2,1,−2,n=1,1,1，
所以m·n=1≠0，所以这两条直线不垂直，
且不存在实数λ，使得m=λn，故不平行．
所以这两条直线相交或异面，
故选D．
3.【答案】A
【解析】【分析】根据两一般式直线相互垂直求 m 的值，注意验证求得 m 的值是否满足直线方程．
解：因为直线 l1:(2m2+m−3)x+(m2−m)y=4m−1 ， l2:x−3y−5=0 互相垂直，
所以 (2m2+m−3)×1+(m2−m)×−3=0 ，所以 m=3 或 1 ，
当 m=1 ，直线 l1:0×x+0×y=−1 不存在，故 m=3 ．
故选：A
4.【答案】A
【解析】【分析】由两圆公切线条数确定圆的位置关系，根据圆心距与半径间关系列方程求参数．
解：因为 C1 与 C2 恰有3条公切线，所以 C1 与 C2 外切，
由 C1(0,0) 、 C2(a,1) 且半径分别为2、1，则 a2+1=(2+1)2 ，解得 a=±2 2 ．
故选：A
5.【答案】D
【解析】【分析】以向量 AB,AC,AA1 为基底向量，则 EF=12AB+12AC−12AA1, 根据条件由向量的数量积的运算性质，两边平方运算即可．
解： EF=EA+AB+BF=AB+12AC−AB−AE
=12AB+12AC−12AA1,
∵ 斜三棱柱 ABC−A1B1C1 所有棱长均为 2,∠A1AB=∠A1AC=π3.
∴EF2=14AB2+14AC2+14AA12+12AB⋅AC−12AB.
AA1−12AC⋅AA1=1+1+1+12×2×2×12−12×2×2×
12−12×2×2×12=2.∴EF= 2 ．
故选： D．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查直线与圆的位置关系中的最值问题，属于中档题．
求出圆心坐标和直线过定点，当圆心和定点的连线与直线l垂直时满足题意，再利用两直线垂直，斜率乘积为−1，求解即可．
【解答】
解：因为圆C:x2+y2−4x+6y−3=0的圆心为C(2,−3)，
又因为直线l:mx+y+m−1=0过定点A(−1,1)，
故当CA与直线l垂直时，圆心到直线的距离最大，
此时有kAC·kl=−1，即−43·(−m)=−1，解得m=−34．
故选C．
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查利用空间向量求点面距离，属于一般题．
求出平面ABC的一个法向量 n，利用点 A1到平面ABC的距离d= |AA1⋅n||n|即可得解．
【解答】
解：设平面ABC的法向量为 n=(x,y,z)，
则 n⊥AB,n⊥AC,所以 2y−3z=0−2 3x−3z=0,
若z=2，则x=− 3，y=3，
所以 n=(− 3，3，2)是平面ABC的一个法向量．
点 A1到平面ABC的距离d= |AA1⋅n||n|= 32，
即该三棱柱的高为 32．
8.【答案】C
【解析】【分析】由点在椭圆内有 46+m23<1 求m范围，设直线方程联立椭圆整理为一元二次方程形式，则必有 Δ>0 ， xA+xB=4 ，结合韦达定理有 m=−1k ，即可求 k 的范围．
解：由题设， M2,m 在椭圆 C 内，则 46+m23<1⇒−1设直线 l:y=k(x−2)+m 代入椭圆 x2+2y2=6 ，

整理得 (1+2k2)x2+4k(m−2k)x+2(m−2k)2−6=0 且 Δ>0 ，则 xA+xB=4k(2k−m)1+2k2=4 ，
由图知：直线斜率不可能为0，所以 m=−1k ，故 −1<−1k<1⇒k<−1 或 k>1 ．
故选：C
9.【答案】BD
【解析】【分析】
本题主要考查了空间向量共面的性质，平面的法向量，四点共面的性质，基底，属于中档题．
由题意逐项利用空间向量的性质进行分析．
【解答】
解：A.若a是直线l的方向向量，l⊥α，当λ=0时，λa(λ∈R)不是平面α的法向量，故A错误；
B.若AB=λCD+μCE，则直线AB平行于平面CDE内的一条直线，所以直线AB//平面CDE或AB⊂平面CDE，故B正确；
C.因为34+18−18=34≠1，所以P，A，B，C四点不共面，故C错误；
D.因为{a,b,c}是空间的一个基底，所以a，b，c不共面，m=a+c，则a，b，m不共面，所以{a,b,m}也是空间的一个基底，故D正确．
故选BD．
10.【答案】ABC
【解析】【分析】根据椭圆的定义、椭圆内三角形的周长、面积、向量数量积运算等知识求得正确答案．
解：依题意 a=5,b=4,c=3 ， cs∠F1PF2=12 ， 0<∠F1PF2<π2,∠F1PF=π3 ​,
所以三角形 F1PF2 的周长为 2a+2c=16 ，A选项正确，
设 PF1=m,PF2=n ，
所以 m+n=10cs∠F1PF2=m2+n2−622mn=12 ，
整理得 mn=643 ，
所以 S▵F1PF2=12mnsinπ3=12×643× 32=16 33 ，B选项正确，
设 P 到 x 轴的距离为 ℎ ，则 12×6×ℎ=16 33,ℎ=16 39 ，C选项正确，
PF1⋅PF2=PF1⋅PF2⋅csπ3=12mn=323 ，D选项错误．
故选：ABC
11.【答案】CD
【解析】【分析】根据点到直线的距离公式即可判定A，根据点点距离的公式，即可判定B，根据相切，结合勾股定理即可判断C，根据两圆相减可得直线方程，根据直线过定点的求解即可判断D．
解：圆心 M2,0 到直线 l:x+y=0 的距离为 d=2 2= 2>1 ，所以直线 l 与圆 M 相离，
所以圆 M 上有2个点 E,F 到直线 l 的距离为 22 ，故A错误，
对于B， x2+y2 表示圆 M:(x−2)2+y2=1 上一点到原点 0,0 的距离的平方，
故点 3,0 到原点 0,0 的距离最大，故 x2+y2 的最大值是为9，故B错误，
对于C，四边形 AMBP 的面积为 S=2S▵PBM=2×12PB⋅BM=PB⋅BM= PM2−r2= PM2−1 ，
当 PM 最小时，四边形 AMBP 的面积最小，当 PM⊥l 时，此时 PM 最小， PM 的最小值为 d= 2 ，故四边形 AMBP 的面积的最小值为1，故C正确，
设 Pm,n ，则 A,B 在以 MP 为直径的圆 x−m+222+y−n22= m−22+n22 上，又 A,B 在 M:(x−2)2+y2=1 上，
两圆相减可得 AB 方程为 mx−y+2+3−2x=0 ，令 x−y+2=0 且 3−2x=0 ，解得 x=32,y=−12 ，所以直线 AB 恒过定点 32,−12 ，
故选：CD
12.【答案】BCD
【解析】【分析】本题关键在于根据线面垂直关系、平行关系，结合空间向量推导出 P 的轨迹，进而求解.对于A，当 P 与 D 重合时，假设 AP⊥BD1 成立，结合线面垂直关系推出矛盾，进而判断；
对于B，分别取 BD ， BB1 的中点 O2 ， N ，结合线面垂直关系推出 P 的轨迹是线段 NO2 ，进而求解判断；
对于C，取 D1B1 的中点 O1 ，连接 O1O2 ， O2M ，结合线面平行关系推出 P 的轨迹是线段 O1O2 ，进而求解判断；
对于D，取 DD1 的中点 Q ，连接 BQ 交 O1O2 于点 S ，过 B 作 BE⊥BQ 交 O2O1 于点 E ，结合 y=2xx≠0 ，可知 P 的轨迹是线段 BQ ，结合垂直关系得到点 O 为直线 O2O1 与线段 BP 的垂直平分线的交点，进而求解判断．
解：对于A，由题意 x+y=1 ， x ， y∈0,1 ，当 P 与 D 重合时，
假设 AP⊥BD1 ，则 AD⊥BD1 ，
又 AD⊥DD1 ， BD1∩DD1=D1 ， BD1,DD1⊂ 平面 BDD1 ，则 AD⊥ 平面 BDD1 ，
又 BD⊂ 平面 BDD1 ，则 AD⊥BD ，
因为底面ABCD是菱形， ∠DAB=60∘ ，
所以 ▵ABD 为等边三角形，与 AD⊥BD 矛盾，则假设不成立，故A错误；
对于B，分别取 BD ， BB1 的中点 O2 ， N ，
因为底面ABCD是菱形，所以 AO2⊥BD ，
又 DD1⊥ 平面 ABCD ，且 AO2⊂ 平面 ABCD ，所以 AO2⊥DD1 ，
又 BD∩DD1=D ， BD,DD1 平面 BDD1 ，则 AO2⊥ 平面 BDD1 ，
又 BD1⊂ 平面 BDD1 ，则 AO2⊥BD1 ，
因为四边形 BDD1B1 为正方形，则 NO2⊥BD1 ，
又 AO2∩NO2=O2 ， AO2,NO2⊂ 平面 AO2N ，所以 BD1⊥ 平面 AO2N ，
所以 P 的轨迹是线段 NO2 ，而 NO2=12B1D= 2 ，故B正确；
对于C，取 D1B1 的中点 O1 ，连接 O1O2 ， O2M ，
因为 M 为 AD 的中点，所以 O2M//AB ，
又 AB⊂ 平面 BB1A1A ， O2M⊄ 平面 BB1A1A ，所以 O2M// 平面 BB1A1A ，
同理 O1O2//BB1 ， BB1⊂ 平面 BB1A1A ， O1O2⊄ 平面 BB1A1A ，
所以 O1O2// 平面 BB1A1A ，
又 O1O2∩O2M=O2 ， O2M,O1O2⊂ 平面 O2O1M ，
所以平面 O2O1M// 平面 BB1A1A ，
若 MP// 平面 ABB1A1 ，则 P 的轨迹是线段 O1O2 ，
因为 BP=xBB1+yBD ，所以 y=12 ，故C正确；
对于D，取 DD1 的中点 Q ，连接 BQ 交 O1O2 于点 S ，过 B 作 BE⊥BQ 交 O2O1 于点 E ，
当 y=2xx≠0 时， P 的轨迹是线段 BQ ，
因为 ▵ABD 为等边三角形， M 为 AD 的中点，所以 BM⊥AD ，
又 OM=OB=OD ，所以点 O 在直线 O2O1 上，
在 ▵PBD 中， OP=OB ，则点 O 在线段 BP 的垂直平分线上，
所以点 O 为直线 O2O1 与线段 BP 的垂直平分线的交点，
当 P 与 Q 重合时，点 O 为 S ；当 P 与 B 重合时，点 O 为 E ；当 P 在线段 BQ 上时，点 O 在线段 SE 上．
因为 OP=OB ，所以 OBmin=O2B=1 ， OBmax=EB= 5 ，
因为 x ， y∈0,1 ，且 x≠0 ，所以 OP 的取值范围是 1, 5 ，故D正确．
故选：BCD．
13.【答案】5x+y−19=0
【解析】【分析】求出 r2 ，得到圆 C1 ，两圆相减得到相交弦方程．
解：圆 C2 ： (x−4)2+(y−1)2=4 的圆心坐标为 4,1 ，
因为圆 C1 过圆 C2 的圆心，所以 (4+1)2+12=r2 ，
所以 r2=26 ，所以 C1 ： (x+1)2+y2=26 ，
两圆的方程相减可得相交弦方程为 5x+y−19=0 ．
故答案为： 5x+y−19=0 ．
14.【答案】83
【解析】【分析】先得到正四面体，再根据空间向量的分解及空间向量的数量积运算直接计算即可．
解：如图所示，
，
因为 P−ABC 为正三棱锥且 PA=AB=2 ，所以 P−ABC 为正四面体，
作 BC 中点 M ，因为 O 是 ▵ABC 的中心，
所以 A,O,M 三点共线且 AO=23AM ，
所以 PO=PA+AO=PA+23AM=PA+23×12AB+AC=PA+13AB+13AC ，
所以 PO⋅PA=PA+13AB+13AC⋅PA=PA2−13PA⋅BA−13PA⋅CA
=4−13×2×2×12−13×2×2×12=83
故答案为： 83
15.【答案】 5−1
【解析】【分析】根据垂直关系可判断点 P 的轨迹，即可根据球的性质求解．
解：由 AB=2,PA⋅PB=0 可知点 P 以 AB 为直径的球与正方体的交线上，球半径为1，点 D 到球心( AB 中点)的距离为 5 ，故 DP 的最小值为 5−1 ，
故答案为： 5−1
16.【答案】 53
【解析】【分析】
本题考查了椭圆的几何性质，涉及了椭圆离心率的求解、椭圆定义的应用，解题的关键是利用条件构造基本量a，b，c之间的关系，属于中档题．
作出图象，设椭圆C的左焦点为F′，利用PQ=2QF，可知PF′//QE，再利用相似比、椭圆的定义、勾股定理进行分析，得到a和b的关系，从而求出离心率．
【解答】
解：圆(x−c3)2+y2=b29，圆心E(c3,0)，半径为b3，
由线段PF与圆(x−c3)2+y2=b29相切于点Q，则EQ⊥PF，
设椭圆C的左焦点为F′(−c,0)，作出图象如图所示，
则有EF=OF−OE=2c3，
所以EFEF′=2c3c+13c=12，
根据PQ=2QF，可知PF′//QE，
所以QEPF′=13，且PF′⊥PF，
因为QE=b3，所以PF′=b，
根据椭圆的定义可知，PF=2a−b，
则在Rt△PFF ′中，PF′=b，PF=2a−b，FF′=2c，
由勾股定理可得b2+(2a−b)2=(2c)2，化简可得b=2a3，
所以c= a2−b2= 53a，
故e=ca= 53．
故答案为 53．
17.【答案】解：(1)由题意知 AB 边上的高过 C1,2 ， kAB=−13 ，
因为 AB 边上的高所在的直线与 AB 所在的直线互相垂直，
故高线的斜率为3，
所以 AB 边上的高所在的直线方程为： y−2=3(x−1) ，即 3x−y−1=0 ；
(2)由已知A点坐标为 −1,1 ， C1,2 ，故 CA 的中点为 E(0,32) ，
EF 是 ▵ABC 的一条中位线，所以 EF /​/ AB ，
而 kAB=−13 ，所以直线 EF 的斜率为 −13 ，
所以直线 EF 的方程为： y−32=−13(x−0)
化简可得： 2x+6y−9=0 ．

【解析】【分析】(1)根据直线的垂直确定 AB 边上的高所在的直线的斜率，即可求得答案；
(2)求出 CA 的中点坐标，根据 EF /​/ AB ，确定 EF 的斜率，即可求得答案．
18.【答案】解：(1)由圆 C:x2+y2−2x+4y−4=0 可得，圆心 C(1,−2) ，半径 r= 4+16+162=3 ，
圆心 C(1,−2) 到直线 l:x−y+1=0 的距离为 d=1+2+1 2=2 2所以直线 l 与圆 C 相交，
直线 l 被圆 C 截得的弦长为 2 r2−d2=2 ．
(2)若过点 4,−1 的直线斜率不出在，则方程为 x=4 ，
此时圆心 C(1,−2) 到直线 x=4 的距离为 4−1=3=r ，满足题意；
若过点 4,−1 且与圆 C 相切的直线斜率存在，
则设切线方程为 y+1=k(x−4) ，即 kx−y−4k−1=0 ，
则圆心到直线 kx−y−4k−1=0 的距离为 −3k+1 k2+1=3 ，解得 k=−43 ，
所以切线方程为 −43x−y+133=0 ，即 4x+3y−13=0 ，
综上，过点 4,−1 且与圆 C 相切的直线方程为 x=4 或 4x+3y−13=0 ．

【解析】【分析】(1)利用点到直线的距离公式以及直线与圆的位置关系求解；
(2)利用直线与圆相切与点到直线的距离公式的关系求解．
19.【答案】解：(1)证明：在矩形ABCD中，BC⊥AB，
∵平面ABCD垂直于圆O所在的平面，且两平面的交线为AB，BC⊂平面ABCD，
∴BC垂直于圆O所在的平面．
又EA在圆O所在的平面内，
∴BC⊥EA．
∵AB为圆O的直径，
∴∠AEB=90∘，∴BE⊥EA，
又BC∩BE=B，BC⊂平面CBE，BE⊂平面CBE，
∴EA⊥平面EBC，
∵EA⊂平面DAE，
∴平面DAE⊥平面CBE；
(2)
取AB⌢的中点F，连接OF，
以点O为坐标原点，OF所在的直线为x轴，OB所在的直线为y轴，过点O作与BC平行的直线为z轴建立空间直角坐标系O−xyz．
由异面直线AE和DC所成的角为π3，AB//DC知∠BAE=π3，
∴∠OBE=π6，∴E 32,−12,0，
由题设可知D0,−1,1，C0,1,1，
∴DE=( 32,12,−1)，CD=(0,−2,0)．
设平面DCE的法向量为p=(x0,y0,z0)，
则DE⋅p=0CD⋅p=0，即 32x0+12y0−z0=0−2y0=0,
取x0=2，得y0=0，z0= 3，∴p=(2,0, 3)．
易知平面AEB的一个法向量为q=(0,0,1)，
∴cs ⟨p,q⟩=p⋅q|p|·|q|= 3 22+( 3)2= 217．
故平面DCE与平面AEB的夹角的正弦值为 1−( 217)2=2 77．

【解析】本题考查面面垂直的证明，考查平面与平面所成角的向量求法，属于中档题．
(1)先证EA⊥平面EBC，进而证明面面垂直；
(2)取AB⌢的中点F，连接OF，以点O为坐标原点，OF所在的直线为x轴，OB所在的直线为y轴，过点O作与BC平行的直线为z轴建立空间直角坐标系O−xyz，进而结合异面直线所成角可得E 32,−12,0，再求平面的法向量，根据向量的夹角公式求解即可．
20.【答案】解：(1)由题意知： b2=1,ca= 22 ，又由 a2=b2+c2 知： a2=2 ，
∴椭圆 C:x22+y2=1 ；
(2)由题意知： F1(−1,0),F2(1,0) ，则直线 AB 为 y=x+1 ，
∴ F2 到直线 AB 的距离为 d=|1+1| 2= 2 ，
联立方程 x−y+1=0x2+2y2=2 ，整理得 3x2+4x=0 ，即有 x1+x2=−43,x1x2=0 ，
而 |AB|= 1+k2|x1−x2|= 2× (x1+x2)2−4x1x2=4 23 ，
∴ △ABF2 的面积为 S=12⋅d⋅|AB|=43 ．

【解析】【分析】由离心率、过定点并结合椭圆参数关系求椭圆标准方程；应用点线距离公式、弦长公式求得三角形对应的底和高，由面积公式求三角形面积．
(1)由椭圆离心率、过定点，结合 a2=b2+c2 求 a2 、 b2 ，写出椭圆方程．
(2)由题意知直线 AB 为 y=x+1 ，联立椭圆方程得 x1+x2=−43,x1x2=0 ，结合点线距、弦长公式求线段长，进而求 △ABF2 的面积．
21.【答案】解：(1)如图所示：
，
在图1中连接 AC ，交 BE 于 O ，
因为四边形 ABCE 是边长为2的菱形，并且 ∠BCE=60∘ ，
所以 AC⊥BE ，且 OA=OC= 3 ，
所以在图2中 BE⊥AO,BE⊥C1O ，如图所示，
，
所以 ∠AOC1 是二面角 A−BE−C1 的平面角，
因为 AC1= 6 ，所以 OA2+OC12=AC12⇒∠AOC1=90∘ ，
所以二面角 A−BE−C1 是直二面角，
即平面 BC1E⊥ 平面 ABED ；
(2)由(1)知 BE⊥AO,BE⊥C1O,AO⊥C1O ，
所以分别以 OA,OB,OC1 为 x,y,z 轴建立如图所示空间直角坐标系，
，
则 D 32,−32,0,C10,0, 3,A 3,0,0,E0,−1,0,B0,1,0 ，
所以 DC1=− 32,32, 3,AD=− 32,−32,0,AB=− 3,1,0 ，
AC1=− 3,0, 3,AE=− 3,−1,0 ，
设 DP=λDC1=− 32λ,32λ, 3λ,λ∈0,1 ，
则 AP=AD+DP=AD+λDC1=− 32− 32λ,−32+32λ, 3λ ，
设平面 ABC1 的一个法向量为 n=x,y,z ，
则 AB⋅n=0AC1⋅n=0 ，即 − 3x+y=0− 3x+ 3z=0 ，令 x=1 ，则 y= 3,z=1 ，
所以 n=1, 3,1 ，
因为 P 到平面 ABC1 的距离 d=AP⋅nn=−2 3+2 3λ 5= 155 ，
解得 λ=12 ，
所以 AP=−3 34,−34, 32 ，所以 EP=AP−AE= 34,14, 32 ，
设直线 EP 与平面 ABC1 所成的角为 θ ，
则直线 EP 与平面 ABC1 所成角的正弦值为 sinθ=cs=EP⋅nEP⋅n= 155

【解析】【分析】(1)先根据菱形对角线互相垂直得到 BE⊥AO,BE⊥C1O ，再得到二面角并根据边长关系求出二面角为直角，最后得到结论即可；
(2)先有三边两两垂直建立空间直角坐标系，然后根据点到面的距离求出 AP ，最后根据线面角的正弦值的额公式代入求解即可．
22.【答案】解：(1)解：依题意 2a=2×2b ，即 a=2b ，所以椭圆 C 即 x24b2+y2b2=1 ，
又椭圆过点 P2, 3 ，
所以 44b2+3b2=1 ，解得 b2=4 ，所以 a2=16 ，所以椭圆方程为 x216+y24=1 ；
(2)解：因为直线 l 不与 x 轴垂直，所以设直线 l 为 y=kx−2 ， Ax1,y1 ， Bx2,y2 ，
由 x216+y24=1y=kx−2 ，消去 y 整理得 4k2+1x2−16k2x+16k2−16=0 ，
Δ=−16k22−416k2−164k2+1=3k2+1>0 ，
所以 x1+x2=16k24k2+1 ， x1x2=16k2−164k2+1 ，
因为 kMA+kMB=0 ，所以 y1x1−t+y2x2−t=0 ，
所以 kx1−2x1−t+kx2−2x2−t=0 ，即 x1−2x2−t+x2−2x1−t=0 ，
即 2x1x2−2+tx1+x2+4t=0 ，
即 2⋅16k2−164k2+1−2+t⋅16k24k2+1+4t=0 ，解得 t=8 ．

【解析】【分析】(1)依题意 a=2b ，即可得到椭圆 C 的方程即为 x24b2+y2b2=1 ，再将点 P2, 3 代入方程，求出 b2 ，即可得到 a2 ，从而得解；
(2)设直线 l 为 y=kx−2 ， Ax1,y1 ， Bx2,y2 ，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，依题意 kMA+kMB=0 ，即可得到方程，解得即可．