2020-2021学年辽宁省沈阳市郊联体高一（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年辽宁省沈阳市郊联体高一（下）期末数学试卷，共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知，，则csα＝（ ）
A．B．C．D．
2．（5分）已知复数z＝（为虚数单位），则|z﹣1|＝（ ）
A．B．C．D．
3．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β
C．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n
4．（5分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（a+b）2﹣c2＝4，C＝120°，则△ABC的面积为（ ）
A．B．C．D．2
5．（5分）斗拱是中国古典建筑最富装饰性的构件之一，并为中国所持有，图一图二是北京故宫太和殿斗拱实物图，图三是斗拱构件之一的“斗”的几何体，本图中的斗是由棱台与长方体形凹槽（长方体去掉一个长相等，宽和高分别为原长方体一半的小长方体）组成．若棱台两底面面积分别是400cm2，900cm2，高为9cm，长方体形凹槽的高为12cm．那么这个斗的体积是（ ）
A．6700cm3B．6900cm3C．13800cm3D．14800cm3
6．（5分）函数f（x）＝2sin（ωx+φ），（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．若对任意x∈R，f（x）+f（2t﹣x）＝0恒成立，则t的最小正值为（ ）
A．B．C．D．
7．（5分）在△ABC中，A，B，C分别为△ABC三边a，b，c所对的角．若csB+sinB＝2，且满足关系式，则＝（ ）
A．2B．4C．6D．8
8．（5分）在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝2BC＝2CD＝2，P是腰AD上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．3C．D．
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．（5分）已知向量＝（2，1），＝（﹣3，1），则下列说法正确的是（ ）
A．（+）⊥
B．|+2|＝5
C．向量在向量方向上的投影的数量是
D．与向量方向相同的单位向量是
10．（5分）将函数f（x）＝3sin（4x+）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．g（x）＝﹣3sin（8x﹣）
B．函数y＝g（x）的图象关于点（，0）对称
C．x＝是函数y＝g（x）的一条对称轴
D．函数y＝g（x）在[0，]上单调递增
11．（5分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1＝，点M是棱AA1的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．异面直线BC与B1M所成的角为90°
B．在B1C上存在点D，使MD∥平面ABC
C．二面角B1﹣AC﹣B的大小为60°
D．B1M⊥CM
12．（5分）若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b﹣2a+4asin2＝0，则下列结论正确的是（ ）
A．角C一定为锐角B．a2+2b2﹣c2＝0
C．3tanA+tanC＝0D．tanB的最小值为
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．（5分）已知向量和的夹角为120°，且||＝2，||＝2，则（2﹣）•＝ ．
14．（5分）在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角α＝60°，在塔底C处测得点A的俯角β＝45°，已知铁塔BC部分高32米，山高CD＝ ．
15．（5分）已知tan（α+β）＝2，，，则tanβ的值为 ．
16．（5分）如图在梯形ABCD中，AB∥CD，∠D＝，AB＝4，AD＝CD＝2，将该图形沿对角线AC折成图中的三棱锥B﹣ACD，且BD＝2，则此三棱锥外接球的体积为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）设复数z1＝1﹣i，z2＝csθ+isinθ，其中θ∈．
（1）若复数z＝z1•z2在复平面内对应的点在直线y＝2x上，求tanθ的值；
（2）求|+z2|的取值范围．
18．（12分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB，过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：
（1）平面EFG∥平面ABC；
（2）BC⊥SA．
19．（12分）已知a，b，c是△ABC的内角A，B，C的对边，且5csBcsC+2＝5sinBsinC+cs2A．
（1）求角A的大小：
（2）若csinC＝4（a+b）（sinA﹣sinB），△ABC的周长为，求c．
20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝4，E为PB的中点，F为线段BC上的点，且BF＝BC．
（1）求证：平面AEF⊥平面PBC；
（2）求点F到平面PCD的距离．
21．（12分）在平面四边形ABCD中，∠ABC＝，∠ADC＝，BC＝4．
（1）若△ABC的面积为3，求AC；
（2）若AD＝3，∠ACB＝∠ACD+，求tan∠ACD．
22．（12分）已知函数f（x）＝，其中常数ω＞0．
（1）y＝f（x）在上单调递增，求ω的取值范围；
（2）若ω＜4，将函数y＝f（x）图像向左平移个单位，得到函数y＝g（x）的图像，且过，若对意的x∈，不等式g2（x）﹣mg（x）﹣1≤0恒成立，求实数m的取值范围．
2020-2021学年辽宁省沈阳市郊联体高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）已知，，则csα＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用同角三角函数间的关系式求值即可．
【解答】解：因为，，
∴sinα＝，
∴csα＝﹣＝﹣．
故选：D．
2．（5分）已知复数z＝（为虚数单位），则|z﹣1|＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据已知条件，运用复数的加法运算法则，以及复数模的公式，即可求解．
【解答】解：∵z＝，
∴z﹣1＝，
∴|z﹣1|＝．
故选：A．
3．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β
C．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n
【分析】由已知条件，利用直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，能求出结果．
【解答】解：若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m与n相交、平行或异面，故A错误；
∵m⊥α，m∥n，∴n⊥α，
又∵n∥β，∴α⊥β，故B正确；
若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β或α与β相交，故C错误；
若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n或m，n异面，故D错误．
故选：B．
4．（5分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（a+b）2﹣c2＝4，C＝120°，则△ABC的面积为（ ）
A．B．C．D．2
【分析】利用余弦定理表示出csC，并利用完全平方公式变形，将已知等式及csC的值代入求出ab的值，再由sinC的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．
【解答】解：∵csC＝＝＝cs120°＝﹣，
且（a+b）2﹣c2＝4，
∴＝﹣，
即8﹣4ab＝﹣2ab，即ab＝4，
则S△ABC＝absinC＝×4×＝．
故选：C．
5．（5分）斗拱是中国古典建筑最富装饰性的构件之一，并为中国所持有，图一图二是北京故宫太和殿斗拱实物图，图三是斗拱构件之一的“斗”的几何体，本图中的斗是由棱台与长方体形凹槽（长方体去掉一个长相等，宽和高分别为原长方体一半的小长方体）组成．若棱台两底面面积分别是400cm2，900cm2，高为9cm，长方体形凹槽的高为12cm．那么这个斗的体积是（ ）
A．6700cm3B．6900cm3C．13800cm3D．14800cm3
【分析】由已知求得正四棱台的体积，再求出长方体形凹槽的体积，作和得答案．
【解答】解：由题意得棱台的体积（cm3）；
∵长方体形凹槽是指长方体去掉一个长相等，宽和高分别为原长方体一半的小长方体，
∴长方体凹槽的体积是原长方体体积的，则长方体凹槽的体积（cm3）．
∴这个斗的体积是V＝V1+V2＝5700+8100＝13800cm3．
故选：C．
6．（5分）函数f（x）＝2sin（ωx+φ），（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．若对任意x∈R，f（x）+f（2t﹣x）＝0恒成立，则t的最小正值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】由图象可得周期T，进而得到ω，代入（﹣，﹣2）结合φ的取值范围可求得φ，从而可得函数的解析式，由f（x）的图象关于点（t，0）中心对称，可得f（t）＝0，进而得到实数t的最小正值．
【解答】解：由图象可得﹣（﹣）＝T+，解得T＝π，
则ω＝＝2，所以f（x）＝2sin（2x+φ），
由2sin[2×（﹣）+φ]＝﹣2，可得2×（﹣）+φ＝2kπ﹣，k∈Z，解得φ＝2kπ+，k∈Z，
由|φ|＜，可得k＝0，φ＝，
则f（x）＝2sin（2x+），
对任意x∈R，f（x）+f（2t﹣x）＝0恒成立，
可得f（x）的图象关于点（t，0）中心对称，
可得2t+＝kπ，k∈Z，
即t＝﹣，k∈Z，
k＝1时，正数t取得最小值．
故选：B．
7．（5分）在△ABC中，A，B，C分别为△ABC三边a，b，c所对的角．若csB+sinB＝2，且满足关系式，则＝（ ）
A．2B．4C．6D．8
【分析】由csB+sinB＝2，推导出B＝60°，由，推导出b，进而根据正弦定理即可求解．
【解答】解：∵在锐角△ABC中，A、B、C分别为△ABC三边a，b，c所对的角，csB+sinB＝2，
∴2sin（B+30°）＝2，可得sin（B+30°）＝1，
∴B＝60°，
∵，
∴+＝＝，
解得b＝，
∴由＝＝2，
∴＝＝2．
故选：A．
8．（5分）在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝2BC＝2CD＝2，P是腰AD上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．3C．D．
【分析】以A为原点，射线AB为x轴正半轴建立直角坐标系，用坐标表示出2，即可求出．
【解答】解：以A为原点，射线AB为x轴正半轴建立直角坐标系，如图所示，
B（2，0），C（），设P（a，），其中，
，，
∴2＝（），
∴|2|＝＝，
∴当a＝时，|2|取最小值．
故选：C．
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．（5分）已知向量＝（2，1），＝（﹣3，1），则下列说法正确的是（ ）
A．（+）⊥
B．|+2|＝5
C．向量在向量方向上的投影的数量是
D．与向量方向相同的单位向量是
【分析】利用向量垂直与数量积的关系判断A，利用求模公式判断B，利用投影公式判断C，利用共线向量的性质判断D．
【解答】解：A：∵＝（2，1），＝（﹣3，1），∴+＝（﹣1，2），
∵（+）•＝﹣1×2+1×2＝0，∴（+）⊥，∴A正确，
B：∵+2＝（﹣4，3），∴|+2|＝＝5，∴B正确，
C：∵向量在向量方向上的投影的数量是＝＝﹣，∴C错误，
D：∵与向量方向相同的单位向量是＝（2，1）＝，∴D正确．
故选：ABD．
10．（5分）将函数f（x）＝3sin（4x+）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．g（x）＝﹣3sin（8x﹣）
B．函数y＝g（x）的图象关于点（，0）对称
C．x＝是函数y＝g（x）的一条对称轴
D．函数y＝g（x）在[0，]上单调递增
【分析】首先利用三角函数的平移变换和伸缩变换的应用求出函数的关系式，进一步利用正弦型函数的性质的应用求出结果．
【解答】解：函数f（x）＝3sin（4x+）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到k（x）＝3sin（2x+）的图象，
再向右平移个单位长度，得到函数y＝g（x）＝3sin（2x﹣）的图象，故A错误；
对于B：当x＝时，整理得，故B正确；
对于C：当x＝时，g（）＝3，故C正确；
对于D：由于x∈[0，]，所以，故函数在[0，]上单调递增，故D正确．
故选：BCD．
11．（5分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1＝，点M是棱AA1的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．异面直线BC与B1M所成的角为90°
B．在B1C上存在点D，使MD∥平面ABC
C．二面角B1﹣AC﹣B的大小为60°
D．B1M⊥CM
【分析】选项A，连接MC1，易知BC∥B1C1，故∠MB1C1即为所求．由勾股定理可知A1B1⊥B1C1，由三棱柱的性质可知BB1⊥B1C1，再结合线面垂直的判定定理与性质定理即可证得可证得B1C1⊥MB1，即∠MB1C1＝90°；
选项B，连接BC1，交B1C于点D，连接MD，再取BC的中点E，连接DE、AE，易知四边形AMDE为平行四边形，故MD∥AE，再由线面平行的判定定理即可得证；
选项C，取AC的中点N，连接BN、B1N，则∠BNB1即为所求，在Rt△BNB1中，由三角函数可求出tan∠BNB1的值，从而得解；
选项D，在△CMB1中，利用勾股定理分别算出CM、MB1和B1C的长，判断其结果是否满足≠即可．
【解答】解：选项A，连接MC1，由三棱柱的性质可知，BC∥B1C1，
∴∠MB1C1即为异面直线BC与B1M．
∵AB＝BC＝2，AC＝，∴∠ABC＝∠A1B1C1＝90°，即A1B1⊥B1C1，
由直三棱柱的性质可知，BB1⊥平面A1B1C1，
∵B1C1⊂平面A1B1C1，∴BB1⊥B1C1，
又A1B1∩BB1＝B1，A1B1、BB1⊂平面ABB1A1，∴B1C1⊥平面ABB1A1，
∴B1C1⊥MB1，即∠MB1C1＝90°，∴选项A正确；
选项B，连接BC1，交B1C于点D，连接MD，再取BC的中点E，连接DE、AE，则DE∥AM，DE＝AM，
∴四边形AMDE为平行四边形，∴MD∥AE，
∵MD⊄平面ABC，AE⊂平面ABC，∴MD∥平面ABC，即选项B正确；
选项C，取AC的中点N，连接BN、B1N，
∵BB1⊥平面ABC，∴∠BNB1即为二面角B1﹣AC﹣B的平面角．
在Rt△BNB1中，BB1＝，BN＝AB＝，∴tan∠BNB1＝＝，∴∠BNB1＝60°，即选项C正确；
选项D，在△CMB1中，CM2＝AC2+AM2＝，＝+＝，＝＝10，
显然≠，即B1M与CM不垂直，∴选项D错误．
故选：ABC．
12．（5分）若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b﹣2a+4asin2＝0，则下列结论正确的是（ ）
A．角C一定为锐角B．a2+2b2﹣c2＝0
C．3tanA+tanC＝0D．tanB的最小值为
【分析】选项A，结合诱导公式、二倍角公式对已知等式化简可得csC＝＜0，从而知C为钝角；
选项B，由csC＝和余弦定理，可得解；
选项C，结合选项B的结论，再根据同角三角函数的商数关系、正弦定理和余弦定理，可推出＝﹣，从而得解；
选项D，结合选项C的结论，再由三角形的内角和定理与正切的两角和公式，可推出tanB＝，然后由基本不等式，得解．
【解答】解：∵b﹣2a+4asin2＝0，
∴b﹣2a+4acs2＝0，即b﹣2a+2a（csC+1）＝0，
∴csC＝＜0，
又C∈（0，π），∴C一定为钝角，即选项A错误；
由余弦定理知，csC＝＝，
化简得，a2+2b2﹣c2＝0，即选项B正确；
∵＝＝•＝•＝＝﹣，
∴3tanA+tanC＝0，即选项C正确；
∵A+B+C＝π，
∴tanB＝﹣tan（A+C）＝﹣＝﹣＝
∵C为钝角，∴A∈（0，），tanA＞0，
∴+3tanA≥2＝2，当且仅当＝3tanA，即tanA＝时，等号成立，
此时tanB取得最大值，即选项D错误．
故选：BC．
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．（5分）已知向量和的夹角为120°，且||＝2，||＝2，则（2﹣）•＝ 10 ．
【分析】根据向量的数量积公式计算即可．
【解答】解：∵向量和的夹角为120°，且||＝2，||＝2，
∴（2﹣）•＝2﹣•＝2×4﹣2×2×（﹣）＝10．
故答案为：10．
14．（5分）在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角α＝60°，在塔底C处测得点A的俯角β＝45°，已知铁塔BC部分高32米，山高CD＝ 16（） （米） ．
【分析】设AD＝x，则根据∠CAD和∠BAD可以计算CD和BD的值，根据BC＝BD﹣CD可求得x的值，再得到CD的值．
【解答】解：设AD＝x，则CD＝AD•tan45°＝AD＝x，
BD＝AD•tan60°＝x，
∴BC＝（﹣1）x＝32，
∴x＝＝16（）（米），
即CD＝16（） （米），
故答案为：16（） （米）．
15．（5分）已知tan（α+β）＝2，，，则tanβ的值为 ．
【分析】由已知利用两角差的正切公式可求tan2β的值，进而利用二倍角的正切公式可得＝，可得3tan2β+8tanβ﹣3＝0，解方程即可得解tanβ的值．
【解答】解：因为tan（α+β）＝2，，，
所以tan2β＝tan[（α+β）﹣（α﹣β）]＝＝＝，
所以＝，可得3tan2β+8tanβ﹣3＝0，
解得tanβ＝，或﹣3（舍去）．
故答案为：．
16．（5分）如图在梯形ABCD中，AB∥CD，∠D＝，AB＝4，AD＝CD＝2，将该图形沿对角线AC折成图中的三棱锥B﹣ACD，且BD＝2，则此三棱锥外接球的体积为 ．
【分析】由题意得AB是Rt△ABC和Rt△ADB的公共斜边，取AB中点为O，则OA＝OB＝OC＝OD，
则点O为外接球球心，AO为外接球半径，即可求解．
【解答】解：在梯形ABCD中，由题意得AC＝BC＝2，BC⊥AC，
在三棱锥B﹣ACD中，∵BD＝2，∴BD2＝BC2+CD2，∴BC⊥CD，
∵AC∩CD＝C，∴BC⊥平面ACD，∴BC⊥AD，
又因为AD⊥CD，∴AD⊥平面BCD，∴AD⊥BD，
则AB是Rt△ABC和Rt△ADB的公共斜边，
取AB中点为O，则OA＝OB＝OC＝OD，
则点O为外接球球心，AO为外接球半径，∴r＝AO＝2，
∴此三棱锥外接球的体积V＝＝．
故答案为：．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）设复数z1＝1﹣i，z2＝csθ+isinθ，其中θ∈．
（1）若复数z＝z1•z2在复平面内对应的点在直线y＝2x上，求tanθ的值；
（2）求|+z2|的取值范围．
【分析】（1）由已知条件z1＝1﹣i，z2＝csθ+isinθ，可得z＝z1z2＝csθ+sinθ+（sinθ﹣csθ）i，再结合条件复数z＝z1•z2在复平面内对应的点在直线y＝2x上，即可求解．
（2）根据已知条件，结合复数模公式和三角函数的图象，即可求解．
【解答】解：（1）∵z1＝1﹣i，z2＝csθ+isinθ，
∴z＝z1z2＝csθ+sinθ+（sinθ﹣csθ）i，
∵复数z＝z1•z2在复平面内对应的点在直线y＝2x上，
∴sinθ﹣csθ＝2（csθ+sinθ），即tanθ＝﹣3．
（2）∵z1＝1﹣i，
∴，
∴＝，
∵θ∈，
∴，，
∴，
∴|+z2|的取值范围为．
18．（12分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB，过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：
（1）平面EFG∥平面ABC；
（2）BC⊥SA．
【分析】（1）根据等腰三角形的“三线合一”，证出F为SB的中点．从而得到△SAB和△SAC中，EF∥AB且EG∥AC，利用线面平行的判定定理，证出EF∥平面ABC且EG∥平面ABC．因为EF、EG是平面EFG内的相交直线，所以平面EFG∥平面ABC；
（2）由面面垂直的性质定理证出AF⊥平面SBC，从而得到AF⊥BC．结合AF、AB是平面SAB内的相交直线且AB⊥BC，可得BC⊥平面SAB，从而证出BC⊥SA．
【解答】解：（1）∵△ASB中，SA＝AB且AF⊥SB，∴F为SB的中点．
∵E、G分别为SA、SC的中点，
∴EF、EG分别是△SAB、△SAC的中位线，可得EF∥AB且EG∥AC．
∵EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，
∴EF∥平面ABC，同理可得EG∥平面ABC
又∵EF、EG是平面EFG内的相交直线，
∴平面EFG∥平面ABC；
（2）∵平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC＝SB，
AF⊂平面ASB，AF⊥SB．
∴AF⊥平面SBC．
又∵BC⊂平面SBC，∴AF⊥BC．
∵AB⊥BC，AF∩AB＝A，∴BC⊥平面SAB．
又∵SA⊂平面SAB，∴BC⊥SA．
19．（12分）已知a，b，c是△ABC的内角A，B，C的对边，且5csBcsC+2＝5sinBsinC+cs2A．
（1）求角A的大小：
（2）若csinC＝4（a+b）（sinA﹣sinB），△ABC的周长为，求c．
【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得2cs2A+5csA﹣3＝0，解方程可得csA的值，结合范围0＜A＜π，可得A的值．
（2）由正弦定理可得c2＝4（a2﹣b2），又由A＝及余弦定理可求b＝，由a2＝（）2+c2﹣＝，可得a＝，根据三角形的周长即可求解．
【解答】解：（1）因为5csBcsC+2＝5sinBsinC+cs2A，
所以5（csBcsC﹣sinBsinC）+2＝cs2A，可得5cs（B+C）+2＝2cs2A﹣1，可得2cs2A+5csA﹣3＝0，
解得：csA＝或csA＝﹣3（舍去），
因为0＜A＜π，
所以A＝．
（2）由正弦定理有：c2＝4（a+b）（a﹣b），可得c2＝4（a2﹣b2），
又由A＝及余弦定理有：a2＝b2+c2﹣bc，有a2﹣b2＝c2﹣bc，
有c2＝4（c2﹣bc），可得：b＝，
有a2＝（）2+c2﹣＝，可得a＝，
可得△ABC的周长为a+b+c＝++c＝c，
有c＝，可得c＝2．
20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝4，E为PB的中点，F为线段BC上的点，且BF＝BC．
（1）求证：平面AEF⊥平面PBC；
（2）求点F到平面PCD的距离．
【分析】（1）证明BC⊥平面PAB得出AE⊥BC，结合AE⊥PB得出AE⊥平面PBC，故而平面AEF⊥平面PBC；
（2）取PD中点G，证明AG⊥平面PCD，AB∥平面PCD，则点B到平面PCD的距离为AG的长，利用BF＝BC，即可求得点F到平面PCD的距离．
【解答】（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，
∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB＝A，
∴BC⊥平面PAB，又AE⊂面PAB，∴BC⊥AE，
∵PA＝AB，E为PB中点，∴AE⊥PB，又BC∩PB＝B，
∴AE⊥平面PAB，又AE⊂平面AEF，
∴平面AEF⊥平面PBC．
（2）解：∵AB∥CD，AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，∴AB∥平面PCD，
∴B到平面PCD的距离等于A到平面PCD的距离，
取PD的中点G，连接AG，
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，
又CD⊥AD，AD∩PA＝A，
∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AG，
∵PA＝AD，G是PD的中点，∴AG⊥PD，
又PD∩CD＝D，∴AG⊥平面PCD，
∵PA＝AD＝4，PA⊥AD，∴PD＝4，
∴AG＝PD＝2，
∴点B到平面PCD的距离为2，
∵BF＝BC，∴点F到平面PCD的距离为2×＝．
21．（12分）在平面四边形ABCD中，∠ABC＝，∠ADC＝，BC＝4．
（1）若△ABC的面积为3，求AC；
（2）若AD＝3，∠ACB＝∠ACD+，求tan∠ACD．
【分析】（1）由已知结合三角形的面积公式S△ABC＝AB•BCsin∠ABC可求AB，在△ABC中，再由余弦定理，AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BCcs∠ABC可求AC；
（2）设∠ACD＝α，则可表示∠ACB，△ABC中，由正弦定理可得＝，进而可求tanα，即可求解．
【解答】解：（1）∵△ABC中，∠ABC＝，BC＝4，
∴S△ABC＝AB•BCsin∠ABC＝3，
∴AB＝3
∵△ABC中，由余弦定理可得：AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BCcs∠ABC＝9+16−2×3×4×＝13，
∴AC＝；
（2）设∠ACD＝α，则∠ACB＝∠ACD+＝α+，
∵Rt△ACD中，AD＝3，
∴AC＝＝，
△ABC中，∠BAC＝π﹣∠ACB﹣∠ABC＝﹣α，
由正弦定理可得：＝，即＝，
∴3sin（﹣α）＝2sinα，化简可得tanα＝，
∴tan∠ACD＝．
22．（12分）已知函数f（x）＝，其中常数ω＞0．
（1）y＝f（x）在上单调递增，求ω的取值范围；
（2）若ω＜4，将函数y＝f（x）图像向左平移个单位，得到函数y＝g（x）的图像，且过，若对意的x∈，不等式g2（x）﹣mg（x）﹣1≤0恒成立，求实数m的取值范围．
【分析】（1）利用正弦函数的单调性求出一个递增区间[﹣，]，再利用子集列出不等式组即可．
（2）利用三角变换得到g（x）＝2sin（ωx+ω）+1，再求出ω＝2，再利用正弦函数的图象与性质求出g（x）∈[2，3]，最后换元利用分参求最值即可．
【解答】解：（1）由题意得f（x）＝＝2sinωx+1，
又ω＞0，得y＝f（x）的最小正周期为T＝，
由正弦函数的性质，[﹣，]是函数f（x）＝2sinωx+1的一个单调递增区间，
又因为函数f（x）＝2sinωx+1在上单调递增，
则，解得0＜ω≤．
（2）由（1）得f（x）＝2sinωx+1，
将函数y＝f（x）图像向左平移个单位，得到函数g（x）＝2sin（ωx+ω）+1的图像，
∵g（x）的图像过，∴g（）＝2sin（ω+ω）+1＝1，∴sinω＝0，
∴ω＝kπ，k∈Z，∴ω＝2k，k∈Z，∵0＜ω＜4，∴ω＝2，
∴g（x）＝2sin（2x+）+1，
∵x∈，2x+∈[，]，∴g（x）∈[2，3]，
令t＝g（x）∈[2，3]，参变分离得m≥t﹣在[2，3]恒成立，
令h（t）＝t﹣，则函数h（t）在[2，3]上递增，
当t＝3时，h（t）max＝3﹣＝，∴m≥．