2023-2024学年安徽省合肥八中高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年安徽省合肥八中高一（下）期中数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在复平面内，复数(3+i)(1−4i)对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.设D为△ABC所在平面内一点，且DB=BC，则( )
A. AD=2AB−ACB. AD=−2AB+AC
C. AD=−AB+2ACD. AD=AB−2AC
3.已知非零向量a，b满足|a|=4|b|，且(a+2b)⊥b，则a与b的夹角为( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
4.△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C=π4,b= 2,c=2，则A=( )
A. 712πB. 512πC. π3D. π6
5.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a2−8=(b−c)2,A=π3，则△ABC的面积是( )
A. 4B. 2C. 4 3D. 2 3
6.已知一个圆锥的高为6，底面半径为3，现在用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，得到一个高为2的圆台，则这个圆台的体积为( )
A. 263πB. 383πC. 26πD. 38π
7.平行四边形ABCD中，|AB|=8,|AD|=2 3，若点M，N满足BM=2MC,DN=3NC，则AN⋅NM=( )
A. −8B. 8C. 12D. 16
8.在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，向量m=( 3,sinB),n=(1,csB)，且m//n，点M为边BC的中点，且AM=AC，则sin∠BAC=( )
A. 33B. 63C. 217D. 2 77
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列是四个关于多面体的命题，其中正确的是( )
A. 棱台的所有侧棱所在直线必交于同一个点
B. 四棱锥S−ABCD中，四边形ABCD的对角线交点为O，若SO⊥平面ABCD，则该四棱锥是正四棱锥
C. 任意一个棱柱的侧面都是矩形
D. 正四棱柱的底面边长为2，侧棱长为4，且它的所有顶点在球O的表面上，则球O的表面积为24π
10.设z1，z2为复数，则下列命题正确的是( )
A. 若z12∈R，则z1∈RB. 若|z1|=|z2|，则z1⋅z1−=z2⋅z2−
C. 若z1z2∈R，则z1=z2−D. 若|z1−z2|=0，则z1−=z2−
11.已知e1,e2是夹角为2π3的单位向量，a=e1+2e2,b=e1−e2，则( )
A. e1⋅e2=−12B. |b|= 3
C. 〈a,b〉=π3D. b在a上的投影向量为−12a
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数z的实部为5，虚部为−1，则|z1+i|= ______．
13.如图，已知正四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面边长为2，侧棱长为 2，切割这个正四棱柱，得到四棱锥A1−BB1D1D，则这个四棱锥的表面积为______．
14.在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知3CA⋅CB=2AB⋅AC,tanC=12，则角B= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
(1)已知向量a=(2,1)，点A(2,−1)，若向量AB⊥a，且|AB|= 5，求点B的坐标；
(2)已知向量a=(2,1),b=(4,−3)，若a−2b与λa+b夹角为钝角，求λ的取值范围．
16.(本小题15分)
“大湖名城，创新高地”的“湖”指的就是巢湖，为治理巢湖环境，拟在巢湖两岸建立A，B，C，D四个水质检测站.已知C，D两个检测站建在巢湖的南岸，距离为20 3km，检测站A，B在湖的北岸，工作人员测得∠ACB=75°，∠ACD=120°，∠ADC=30°，∠ADB=45°．
(1)求B，D两个检测站之间的距离；
(2)求A，B两个检测站之间的距离．
17.(本小题15分)
如图，在△AOB中，AO⊥OB,∠OBA=60°,OB= 3,D是AB的中点，现将Rt△AOB以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C为圆锥底面圆周上的一点，且∠BOC=90°．
(1)求圆锥的表面积；
(2)若一个棱长为a的正方体木块可以在这个圆锥内任意转动，求a的最大值．
18.(本小题17分)
由扇形OAC和△OBC组成的平面图形如图所示，已知OB=3，AO⊥BO，∠OBC=π3,BC=2，点E在AC(含端点)上运动．
(1)连接EO，求∠EOB正弦值的取值范围；
(2)设∠EOB=θ，四边形AOBE面积为S，求S的最大值．
19.(本小题17分)
已知锐角△ABC，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若a2+c2−b2=2bc(1+csA)．
(1)求证：A=2B；
(2)求bc的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：由题意，(3+i)(1−4i)=3−12i+i+4=7−11i，对应的点的坐标为(7,−11)，在复平面内位于第四象限．
故选：D．
化简复数，并根据复数的几何意义求解．
本题考查复数的几何意义，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：由DB=BC，
可得AD=AB+BD
=AB+CB=AB+(AB−AC)
=2AB−AC．
故选：A．
根据向量的线性运算进行代换即可．
本题考查平面向量的线性运算，属基础题．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查数量积表示两个向量的夹角，向量垂直的判断，考查运算求解能力，属于基础题．设向量a，b夹角为θ，由(a+2b)⊥b得(a+2b)⋅b=0，由向量数量积即可求解．
【解答】
解：设向量a，b夹角为θ，θ∈[0,π]，
由(a+2b)⊥b得(a+2b)⋅b=0，∴a⋅b+2b2=0，∴|a||b|csθ+2|b|2=0
又∵|a|=4|b|，∴csθ=−12，∴θ=2π3．
故选：C．
4.【答案】A
【解析】解：由正弦定理bsinB=csinC，得 2sinB=2 22，
所以sinB=12，
又b