2023-2024学年新疆图木舒克市鸿德实验学校高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年新疆图木舒克市鸿德实验学校高一（下）期中数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知z=2+i1+i(i为虚数单位)，则z的共轭复数在复平面上的对应点位为( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.若复数(a2−3a+2)+(a−1)i是纯虚数，则实数a的值为( )
A. 1B. 2C. 1或2D. −1
3.设平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD交于点O，AB=a，AD=b，则向量OA=( )
A. 12a+12bB. −12a+12bC. 12a−12bD. −12a−12b
4.已知i是虚数单位，则3+i1−i的虚部为( )
A. 2B. 2iC. 1D. i
5.已知A(2,1)，B(3,2)，C(−1,4)，则△ABC是( )
A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 任意三角形
6.如图的平面图形由16个全部是边长为1且有一个内角为60°的菱形组成，那么图形中的向量AB，CD的数量积AB⋅CD=( )
A. 172
B. 152
C. 8
D. 7
7.若sin(π+α)=−45，则cs(2α+π)=( )
A. −715B. −35C. 35D. 725
8.若函数f(x)= 3csx−sinx，则f(x)可以化简为( )
A. 2cs(x+π3)B. 2cs(x−π3)C. 2cs(x+π6)D. 2cs(x−π6)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z满足z(1+i)=2，以下说法正确的有( )
A. z=1−2i
B. z在复平面内对应的点在第二象限
C. |z|= 2
D. 若z是方程x2−px+2=0的一个根(p∈R)，则p=2
10.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若a= 3，且sinA+sin(B−C)−2sin2C=0，则边c的大小可能是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
11.已知向量OA=(sinβ,csβ)，将向量OA可绕坐标原点O逆时针旋转θ角得到向量OB(0°<θ<90°)，则下列说法正确的是( )
A. |OA|+|OB|>|OA−OB|B. |AB|< 2
C. |OA|+|OB|=|OA−OB|D. |OA|+|OB|⊥|OA−OB|
12.已知函数f(x)=sinx+1，则( )
A. f(x)的最小正周期为2πB. f(x)是奇函数
C. f(x)的图象关于直线x=π轴对称D. f(x)的值域为[0,2]
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知sin(π4−α)=13，则sin(3π4+α)= ______．
14.在△ABC中，a=7，b=4 3,c= 13，则△ABC的最小角为______弧度．
15.已知|a|=3，|b|=2，a、b的夹角θ=60°，若(3a+5b)⊥(ma−5b)，则m= ______．
16.已知向量a=(3,1)，b=(1,3)，c=(k,−2)，若(a−c)/​/b，则向量a与向量c的夹角的余弦值是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
已知f(α)=sin(−α−5π2)cs(3π2+α)tan2(π−α)cs(π2−α)sin(π−α)．
(1)化简f(α)；
(2)若f(α)=2，求sin2α−3sinαcsα的值．
18.(本小题10分)
已知复数z=(m2−m)+(m+3)i，m∈R(i为虚数单位)．
(1)当m=2时，求复数zz−的值；
(2)若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，求m的取值范围．
19.(本小题10分)
已知向量a=(6,1)，b=(−2,3)，c=(2,2)，d=(−3,k)．
(1)求a+2b−c；
(2)若(a+2c)//(c+kb)，求实数k的值．
(3)若a与d的夹角是钝角，求实数k的取值范围．
20.(本小题12分)
(1)化简下列各式：
①2(a+b)−2(a−b)．
②PA+DC−PB−DA．
(2)已知向量|a|=2，|b|=2，a与b的夹角为π3．
①求a⋅b．
②求|a+b|．
(3)已知向量a=(1,3)，b=(3,−1)．
①求|a−b|．
②若(a+λb)⊥(a−b)，求实数λ的值．
21.(本小题14分)
如图，在平面四边形ABCD中，∠DAB=5π6，∠ADC=π4，AB=2AC=2 2，CD=1．
(1)求∠CAD的大小．
(2)求BC的长．
22.(本小题16分)
实数k为何值时，复数(1+i)k²−(3+5i)k−2(2+3i)分别是：
(1)实数？
(2)虚数？
(3)纯虚数？
(4)零？
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：z=2+i1+i=(2+i)(1−i)(1+i)(1−i)=32−12i，
∴z的共轭复数为32+12i，
∴z的共轭复数在复平面上的对应点为(32,12)，位于第一象限．
故选：A．
先化简复数z，再利用共轭复数的概念求解．
本题主要考查了复数的运算，考查了复数的几何意义，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查复数的基本概念，属于基础题．
由复数(a2−3a+2)+(a−1)i是纯虚数，知a2−3a+2=0，且a−1≠0，故a=2．
【解答】
解：∵复数(a2−3a+2)+(a−1)i是纯虚数，
∴a2−3a+2=0，且a−1≠0，解得a=2．
故选：B．
3.【答案】D
【解析】解：由题意可得，AO=12AC=12a+12b，
∴OA=−12a−12b．
故选：D．
由已知结合向量的线性运算即可求解．
本题主要考查了向量的线性运算及基本定理的简单应用，属于基础试题．
4.【答案】A
【解析】解：3+i1−i=(3+i)(1+i)(1−i)(1+i)=1+2i，其虚部为2．
故选：A．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及虚部的定义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及虚部的定义，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查三角形的形状判断，考查向量的数量积的应用，属于中档题．
利用向量的数量积判断即可．
【解答】
解：∵A(2,1)，B(3,2)，C(−1,4)，
∴AB=(1,1)，AC=(−3,3)，
∴csA=AB⋅AC|AB||AC|=1×−3+1×3 2×3 2=0，
∴A=π2，即△ABC是直角三角形．
故选B．
6.【答案】A
【解析】解：如右图，可得AB=AE+AF，
CD=CG+CH，
且AE=3CH，CG=2AF，
可得AB⋅CD=(3CH+12CG)⋅(CG+CH)
=3×1+12×4+72×2×1×12=172，
故选：A．
运用向量的平行四边形法则和向量数量积的定义和性质，主要是向量的平方即为模的平方，计算可得所求值．
本题考查向量的平行四边形法则和向量数量积的定义和性质，考查运算能力，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：因为sin(π+α)=−45=−sinα，
所以sinα=45，
则cs(2α+π)=−cs2α=−(1−2sin2α)=2sin2α−1=2×(45)2−1=725．
故选：D．
由题意利用诱导公式可得sinα的值，进而利用诱导公式，二倍角公式化简所求即可得解．
本题主要考查了诱导公式，二倍角公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：已知函数f(x)= 3csx−sinx，
则f(x)=2cs(x+π6)．
故选：C．
结合两角和与差的三角函数求解．
本题考查了两角和与差的三角函数，属基础题．
9.【答案】CD
【解析】解：z(1+i)=2，
则z=21+i=2(1−i)(1+i)(1−i)=1−i，
则z−=1+i，z−对应的点为(1,1)，|z|= 2，故C正确，A、B错误，
z是方程x2−px+2=0的一个根(p∈R)，
则z−也是方程x2−px+2=0的一个根，
故p=1−i+1+i=2，故D正确．
故选：CD．
结合复数的四则运算，复数的概念，韦达定理，复数模公式，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，复数的概念，韦达定理，复数模公式，属于基础题．
10.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题主要考查了和差角公式，正弦定理，三角形大边对大角，属于基础题．
由已知结合三角形诱导公式及和差角公式进行化简，然后结合选项及三角形两边之和大于第三边分别检验各选项即可判断．
【解答】
解：因为sinA+sin(B−C)−2sin2C=0，
所以sin(B+C)+sin(B−C)−2sin2C=0，
整理得2sinBcsC=4sinCcsC，
所以C=90°或sinB=2sinC，
当C=90°时，a= 3，c> 3，B，D符合题意；
当sinB=2sinC，即b=2c时，
对应A，c=1，b=2，a= 3构成直角三角形，符合题意；
对应C，a=c= 3，b=2 3构不成三角形，不符合题意．
故答案选：ABD．
11.【答案】AB
【解析】解：根据题意，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则|OA|=|OB|=1，四边形OACB是菱形，
对于A，因为OA−OB=BA，在ΔABO中，|OA|+|OB|>|BA|，
所以|OA|+|OB|>|OA−OB||OA−OB|，故A项正确；
对于B，由AB=OB−OA，得|AB|2=(OB−OA)2=|OB|2+|OA|2−2OA⋅OB=2−2OA⋅OB，
因为∠AOB=θ为锐角，所以OA⋅OB=|OA|⋅|OB|csθ>0，
可得|AB|2=2−2OA⋅OB<2，可得|AB|< 2，故B项正确；
对于C，由A的结论|OA|+|OB|>|OA−OB|，可知C项不正确；
对于D，OA+OB=OC，OA−OB=BA，由于四边形OACB为菱形，可得OC⊥AB，
所以(OA+OB)⊥(OA−OB)，而不是(|OA|+|OB|)⊥|OA−OB|，故D项不正确．
故选：AB．
根据题意作出示意图，利用向量的减法法则与三角形两边之和大于第三边，判断出A、C两项的正误；根据向量数量积的运算性质与向量模的公式，判断出B项的正误；根据菱形的对角线互相垂直，判断出D项的正误．
本题主要考查平面向量的线性运算法则、向量数量积的运算性质、菱形的性质及其应用，考查了计算能力、概念的理解能力，属于中档题．
12.【答案】AD
【解析】解：因为函数f(x)=sinx+1，
所以T=2π，A正确；
f(−x)=−sinx+1≠−f(x)，f(−x)=−sinx+1≠f(x)，既不是奇函数，也不是偶函数，B错误；
f(π)=sinπ+1=1，既不是最大值2，也不是最小值0，故图象不关于直线x=π轴对称，C错误；
f(x)=sinx+1∈[0,2].故D对．
故选：AD．
直接根据三角函数的性质依次判断即可．
本题主要考查三角函数的性质，考查计算能力，属于基础题也是易错题．
13.【答案】13
【解析】解：sin(3π4+α)=sin[π−(π4−α)]=sin(π4−α)=13．
故答案为：13．
利用两角互补，正弦值相等即可求值．
本题考查诱导公式的应用，属于基础题．
14.【答案】π6
【解析】解：∵在△ABC中，a=7，b=4 3,c= 13，
∴由大边对大角可知，边c所对的角C最小，
由余弦定理可得：csC=a2+b2−c22ab=49+48−132×7×4 3= 32．
∵0∴C=π6．
故答案为：π6．
由三角形中大边对大角可知，边c所对的角C最小，然后利用余弦定理的推论求得csC，则答案可求．
本题考查余弦定理的应用，考查了三角形中的边角关系，是基础题．
15.【答案】14542
【解析】解：|a|=3，|b|=2，a、b的夹角θ=60°，
则a⋅b=|a||b|cs60°=3，
(3a+5b)⊥(ma−5b)，
则(3a+5b)⋅(ma−5b)=3ma2+(5m−15)a⋅b−25b2=0，即27m+(5m−15)×3−100=0，解得m=14542．
故答案为：14542．
根据已知条件，结合平面向量垂直的性质，即可求解．
本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
16.【答案】 55
【解析】解：根据题意，设向量a与向量c的夹角为θ，
由于向量a=(3,1)，b=(1,3)，c=(k,−2)，则a−c=(3−k,3)，
若(a−c)/​/b，则有3−k=1，则k=2，故c=(2,−2)，
则有a⋅c=6−2=4，|a|= 9+1= 10，|c|= 4+4=2 2，
故csθ=a⋅c|a||c|=4 10×2 2= 55．
故答案为： 55．
根据题意，设向量a与向量c的夹角为θ，由向量平行的坐标表示方法求出k的值，即可得c的坐标，进而由向量数量积的计算公式计算可得答案．
本题考查向量数量积的运算和性质，涉及向量夹角的计算，属于基础题．
17.【答案】解：(1)由题意，f(α)=(−csα)⋅sinα⋅tan2αsinα⋅sinα=−tanα；
(2)由(1)得tanα=−2，所以sin2α−3sinαcsα=sin2α−3sinαcsαsin2α+cs2α=tan2α−3tanαtan2α+1=4+64+1=2．
【解析】(1)根据诱导公式化简即可；
(2)根据齐次式化简求值．
本题考查三角恒等变换，属于基础题．
18.【答案】解：(1)当m=2时，z=2+5i，
故zz−=(2+5i)(2−5i)=4+25=29．
(2)若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，
则m2−m<0m+3>0，解得0故m的取值范围为(0,1)．
【解析】(1)代入m=2，根据复数的乘法，求解即可．
(2)根据第二象限实部为负，虚部为正，求解不等式即可．
本题主要考查复数的几何意义，以及共轭复数的定义，属于基础题．
19.【答案】解：(1)∵a=(6,1)，b=(−2,3)，c=(2,2)，
∴a+2b−c=(6,1)+(−4,6)−(2,2)=(0,5)．
(2)∵a+2c=(10,5)，c+kb=(2−2k,2+3k)，
又∵(a+2c)//(c+kb)，
∴10(2+3k)−5(2−2k)=0，解得k=−14．
(3)∵a与d的夹角是钝角，
∴cs=a⋅d|a|⋅|d|<0，且cs≠−1，
∴a⋅d=6×(−3)+k<0，且−36≠k1，解得k<18且k≠−12，
故实数k的取值范围为(−∞,−12)∪(−12,18)．
【解析】(1)根据已知条件，结合平面向量坐标运算法则，即可求解．
(2)根据已知条件，结合平行向量的性质，即可求解．
(3)根据已知条件，结合平面向量数量积公式，即可求解．
本题主要考查平面向量的数量积公式，考查转化能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)①2(a+b)−2(a−b)=2a+2b−2a+2b=4b；
②PA+DC−PB−DA=(PA−PB)+(DC−DA)=BA+AC=BC；
(2)①因为|a|=2，|b|=2，a与b的夹角为π3，
所以a⋅b=|a||b|csπ3=2×2×12=2；
②|a+b|= (a+b)2= a2+2a⋅b+b2= 4+2×2+4=2 3；
(3)(1)因为a=(1,3)，b=(3,−1)，
所以a−b=(−2,4)，故|a−b|= (−2)2+42=2 5，
(2)因为a=(1,3)，b=(3,−1)，
所以a+λb=(1+3λ,3−λ)，
因为(a+λb)⊥(a−b)，所以(a+λb)⋅(a−b)=0，
即−2(1+3λ)+4(3−λ)=0，解得λ=1．
【解析】(1)由平面向量的线性运算计算即可求得①②；
(2)由平面向量的数量积运算与模的求法计算即可求得①②；
(3)由平面向量的模的坐标求法即可求法①；由向量垂直的坐标表示建立方程，再解方程即可求②．
本题考查平面向量的线性运算和数量积运算，属于基础题．
21.【答案】解：(1)由题意，在△ACD中，∠ADC=π4，AC= 2，CD=1，
由余弦定理AC2=AD2+CD2−2AD⋅CD⋅cs∠ADC，可得2=AD2+1−2×AD×1× 22，可得AD2− 2AD−1=0，
解得AD= 2+ 62(负值舍去)，
可得cs∠CAD=AD2+AC2−CD22AD⋅AC=( 2+ 62)2+2−12× 2+ 62× 2=3+ 32 3+2= 32，
又∠CAD∈(0,5π6)，
所以∠CAD=π6；
(2)因为∠DAB=5π6，∠CAD=π6，
所以∠BAC=∠DAB−∠DAC=2π3，
又AB=2 2，AC= 2，
所以由余弦定理可得BC= AB2+AC2−2AB⋅AC⋅cs∠BAC= 8+2−2×2 2× 2×cs2π3= 14．
【解析】(1)由题意利用余弦定理可得AD2− 2AD−1=0，解得AD的值，可得cs∠CAD= 32，结合∠CAD∈(0,5π6)，即可得解∠CAD的值；
(2)由题意可求∠BAC=2π3，进而利用余弦定理可得BC的值．
本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
22.【答案】解：复数(1+i)k²−(3+5i)k−2(2+3i)=(k²−3k−4)+(k²−5k−6)i，
(1)由题意可知，k²−5k−6=0，解得k=6或k=−1；
(2)由题意可知，k²−5k−6≠0，解得k≠6且k≠−1；
(3)由题意可知，k²−3k−4=0且k²−5k−6≠0，解得k=4；
(4)由题意可知，k²−3k−4=0且k²−5k−6=0，解得k=−1．
【解析】利用实数、虚数、纯虚数以及零的定义列式求解即可．
本题考查了复数的基本概念的应用，解题的关键是掌握实数、虚数、纯虚数以及零的定义，考查了运算能力，属于基础题．