重难点专题15 空间中的五种距离问题（五大题型）（原卷版+解析版）—苏教版高一下数学

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题型一：点线距
题型二：异面直线的距离
题型三：点面距
题型四：线面距
题型五：面面距
【方法技巧与总结】
空间中的距离
求点到面的距离转化为三棱锥等体积法求解．
【典型例题】
题型一：点线距
【典例1-1】（2024·高一·山西吕梁·阶段练习）已知四面体的所有棱长均为10，点在直线上，则到的距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（广东省东莞市东莞一中、东莞高级中学2023-2024学年高一学期第二次质量检测数学试题）设所在的平面，，PB、PC分别与成45°和30°角，，点P到BC的距离是_________________．
【变式1-1】（2024·高二·四川成都·期中）已知正四棱锥的所有棱长均为为的中点，则线段上的动点到直线的距离的最小值为 ．
题型二：异面直线的距离
【典例2-1】（2024·高一·山东青岛·期末）如图，正方体的棱长为1，设直线与分别交于点，且，则线段的长为（ ）

A．B．C．D．
【典例2-2】（2024·高二·上海黄浦·期中）已知正方体的棱长为1，则异面直线与之间的距离是 .
【变式2-1】（2024·高二·上海普陀·阶段练习）在四面体中，若，则异面直线与的距离为 ．
【变式2-2】（2024·高二·辽宁·阶段练习）如图所示在三棱锥中，侧面底面，底面是边长为1的正三角形，侧面中，，且为棱中点，则直线上任意一点与上任意一点距离的最小值为 ．

题型三：点面距
【典例3-1】（2024·高三·宁夏石嘴山·阶段练习）如图，在长方体中，，和交于点E，F为AB的中点．
(1)求证：平面；
(2)已知与平面所成角为，求点A到平面CEF的距离．
【典例3-2】（2024·全国·模拟预测）如图1，已知直角梯形中，，，，M为CF的中点，将沿DM折起到的位置，使平面平面，N，Q，H，P分别为AF，DM，DE，AE的中点，如图2所示．
(1)求证：平面平面；
(2)求点D到平面的距离．
【变式3-1】（2024·高三·山东·阶段练习）如图，在正三棱锥中，，E，F分别是中点，M是上一点，且满足．
(1)证明：平面；
(2)求点D到平面的距离．
题型四：线面距
【典例4-1】（2024·高二·上海闵行·阶段练习）如图，在边长为的正方体中，为底面正方形的中心.
(1)求证：直线平面；
(2)求直线与平面之间的距离.
【典例4-2】（2024·高二·北京丰台·期中）如图，已知直三棱柱，，，，点为的中点.
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面的距离.
【变式4-1】（2024·高一·全国·课后作业）如图，在长方体中，，，．
(1)求点和点C的距离；
(2)求点到棱BC的距离；
(3)棱和平面ABCD的距离．
题型五：面面距
【典例5-1】（2024·高二·江西宜春·期中）如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=AD=1，求：
(1)平面ADD1A1与平面BCC1B1的距离.
(2)点D1到直线AC的距离.
(3)直线AB与面A1DCB1的距离.
【典例5-2】（2024·高二·江西宜春·阶段练习）如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是AA1与CC1的中点.
(1)证明：平面EB1D1平面FBD；
(2)求平面EB1D1与平面FBD之间的距离.
【变式5-1】（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）如图所示的斜三棱柱中，是正方形，且点在平面上的射影恰是AB的中点H，M是的中点．
(1)判断HM与面的关系，并证明你的结论；
(2)若，，求斜三棱柱两底面间的距离．
【过关测试】
1．（2024·高三·内蒙古赤峰·期中）如图1，在平面四边形中，．将沿折叠至处．使平面平面（如图2），分别为的中点．
(1)求证：平面平面；
(2)求点到平面的距离．
2．（2024·高二·新疆巴音郭楞·期中）如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，E，M，N分别是BC，，的中点.
(1)证明：平面平面；
(2)求点C到平面的距离．
3．（2024·高二·上海静安·期末）如图，正四棱柱的底面边长为1，异面直线AD与BC1所成角的大小为60°，求A1B1到底面ABCD的距离.

4．（2024·全国·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，，，，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线到平面的距离.
5．（2024·河北衡水·一模）如图，直角梯形与梯形全等，其中，，且平面，点是的中点．

（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面的距离．
6．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）如图，四棱锥中，平面，，，，、分别为、的中点．
(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离．