重难点专题11 轻松搞定立体几何的轨迹问题（三大题型）（原卷版+解析版）—苏教版高一下数学

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题型一：轨迹图形
题型二：轨迹长度
题型三：轨迹面积
【典型例题】
题型一：轨迹图形
【典例1-1】（2024·高一·山西太原·阶段练习）如图，在正四棱锥中，是的中点，点在侧面内及其边界上运动，并且总是保持平面．则动点的轨迹与组成的相关图形最有可能是图中的（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（9-10高二下·重庆·期末）在正方体中，点P在侧面及其边界上运动，并且总保持，则动点P的轨迹是 （ ）
A．线段
B．线段
C．中点与中点连成的线段
D．中点与中点连成的线段
【变式1-1】（2024·高三·北京·开学考试）在棱长为1的正方体中，分别为，的中点，点在正方体的表面上运动，且满足平面，则下列说法正确的是（ ）
A．点可以是棱的中点B．线段的最大值为
C．点的轨迹是正方形D．点轨迹的长度为
题型二：轨迹长度
【典例2-1】（2024·高二·浙江杭州·阶段练习）已知菱形的边长为2，.将菱形沿对角线AC折叠成大小为60°的二面角.设E为的中点，F为三棱锥表面上动点，且总满足，则点F轨迹的长度为（ ）
A．B．C．D．
【典例2-2】（2024·高一·江苏连云港·阶段练习）如图，在直三棱柱中，是边长为2的正三角形，，N为棱上的中点，M为棱上的动点，过N作平面ABM的垂线段，垂足为点O，当点M从点C运动到点时，点O的轨迹长度为（ ）

A．B．
C．D．
【变式2-1】（2024·高二·广东佛山·期中）如图，正方体的棱长为1，点P为正方形内的动点，满足直线BP与下底面ABCD所成角为的点P的轨迹长度为（ ）

A．B．C．D．
题型三：轨迹面积
【典例3-1】（2024·高二·浙江·学业考试）如图，已知直三棱柱的底面是边长为的正三角形，侧棱长为.，分别是侧面和侧面上的动点，满足二面角为直二面角.若点在线段上，且，则点的轨迹的面积是
（ ）
A．B．C．D．
【典例3-2】（2024·高一·四川雅安·期末）棱长为2的正方体中，为正方体表面上一个动点，且总有，则动点的轨迹所围成的面积为（ ）
A．B．C．6D．
【变式3-1】（2024·高二·上海黄浦·期中）棱长为1的正方体中，为正方体表面上的一个动点，且总有，则动点的轨迹所围成图形的面积为（ ）
A．B．C．D．1
【变式3-2】（2024·高三·广西贵港·阶段练习）正三棱柱的底面边长是4，侧棱长是6，M，N分别为，的中点，若点P是三棱柱内（含棱柱的表面）的动点，MP∥平面，则动点P的轨迹面积为（ ）
A．B．5C．D．
【过关测试】
1．（2024·高一·福建莆田·期末）几何中常用表示的测度，当为曲线､平面图形和空间几何体时，分别表示其长度､面积和体积．是边长为4的正三角形，为内部的动点（含边界），在空间中，到点的距离为1的点的轨迹为，则等于（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·高一·江西抚州·期末）在正方体中，是棱的中点，是四边形内的动点，且平面，下列说法正确的个数是（ ）
①点的轨迹是一条线段
②与不可能平行
③与是异面直线
④当与不重合时，平面不可能与平面平行
A．1B．2C．3D．4
3．（2024·高三·北京昌平·阶段练习）设正方体的棱长为1，，分别为，的中点，点在正方体的表面上运动，且满足，则下列命题：
①点可以是棱的中点；
②点的轨迹是菱形；
③点轨迹的长度为；
④点的轨迹所围成图形的面积为.
其中正确的命题个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．（多选题）（2024·高一·山西运城·期中）已知正四棱柱的底面边长为2，侧棱，为上底面上的动点（包括边界），则下列结论中正确的是（ ）
A．若，则满足条件的点不唯一
B．若，则点的轨迹是一段圆弧
C．若∥平面，则的最大值为
D．若∥平面，且，则平面截正四棱柱的外接球所得平面图形的面积为
5．（多选题）（2024·高一·重庆沙坪坝·期末）已知异面直线相互垂直，点分别是上的点，且，，动点分别位于直线上，直线与直线所成角为，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若连接点构成三棱锥，则三棱锥的体积最大值为
C．若点为线段的中点，则点的轨迹为圆
D．若连接点构成三棱锥，则其外接球的表面积为
6．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知正方体的棱长为1，E，F，G分别是，，的中点.下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）.
①以正方形的顶点为顶点的三棱锥的四个面最多只有三个面是直角三角形；
②P在直线上运动时，；
③Q在直线上运动时，三棱锥的体积不变；
④M是正方体的面内到点D和距离相等的点，则M点的轨迹是一条线段.
7．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）如图，在棱长为1的正方体中，点E、F、G分别为棱、、的中点，P是底面ABCD上的一点，若平面GEF，则下面的4个判断
①点P的轨迹是一段长度为的线段；
②线段的最小值为；
③；
④与一定异面．
其中正确判断的序号为 ．
8．（2024·高二·浙江·阶段练习）在正方体中（如图），已知点在直线上运动，则下列四个命题：
①三棱锥的体积不变；
②直线与平面所成的角的大小不变；
③二面角的大小不变；
④是平面上到点和距离相等的点，则点的轨迹是直线
其中真命题的编号是 ．（写出所有真命题的编号）