2024年高一数学下册（苏教版）-第13章 立体几何初步 章末题型归纳总结 （原卷版+解析版）

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第13章 立体几何初步 章末题型归纳总结 章末题型归纳目录模块一：本章知识思维导图模块二：典型例题经典题型一：几何体的表面积与体积、直观图经典题型二：外接球、内切球、棱切球经典题型三：空间中的平行关系经典题型四：空间中的垂直关系经典题型五：空间角的求法（线线角、线面角、二面角）经典题型六：空间距离的求法（线线距、线面距、点面距、面面距）经典题型七：截面问题以及范围与最值问题模块三：数学思想与方法分类与整合思想②等价转换思想③函数与方程思想模块一：本章知识思维导图模块二：典型例题经典题型一：几何体的表面积与体积、直观图例1．（2024·高二·浙江丽水·期末）如图，将一个圆柱等分切割，再将其重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体，n越大，组合成的新几何体就越接近一个“长方体”.若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了10，则圆柱的侧面积是（    ）A． B． C． D．例2．（2024·全国·一模）已知正三棱台的上､下底面的边长分别为2和4，且棱台的侧面与底面所成的二面角为，则此三棱台的表面积为（ ）A． B． C． D．例3．（2024·福建莆田·二模）柏拉图多面体是指每个面都是全等正多边形的正多面体，具有严格对称，结构等价的特点．六氟化硫具有良好的绝缘性和广泛的应用性．将六氟化硫分子中的氟原子按图1所示方式连接可得正八面体（图2）．若正八面体外接球的体积为，则此正八面体的表面积为（    ）A． B． C． D．例4．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）冰嘎别名冰尜，是东北民间少年儿童游艺品，俗称“陀螺”．通常以木镟之，大小不一，一般径寸余，上端为圆柱形，下端为锥形．如图所示的是一个陀螺立体结构图．己知分别是上、下底面圆的圆心，，底面圆的半径为2，则该陀螺的体积为（    ）  A． B． C． D．例5．（2024·高二·浙江杭州·期末）所有的顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，其中平行的两个面叫底面，其它面叫侧面，两底面之间的距离叫高，经过高的中点且平行于两个底面的截面叫中截面．似柱体的体积公式为，这里、为两个底面面积，为中截面面积，为高．如图，已知多面体中，是边长为的正方形，且，均为正三角形，，，则该多面体的体积为（　　）  A． B． C． D．例6．（2024·高一·全国·课后作业）如图所示，是的直观图，其中，那么是（ ）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．钝角三角形例7．（2024·高二·四川乐山·期末）如图，正方形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形ABCD的直观图，若，则四边形ABCD周长为（   ）A． B．4 C． D．8例8．（2024·高二·上海崇明·期中）的斜二测直观图如图所示，则的面积是（    ）A． B． C． D．4例9．（2024·高二·山东·学业考试）如图，在四棱柱中，底面为矩形，侧面为菱形，平面平面，．(1)求证：平面；(2)求四棱柱的体积．例10．（2024·高二·黑龙江大庆·开学考试）在边长为a的正方形中，E，F分别为，的中点，M、N分别为、的中点，现沿、、折叠，使B、C、D三点重合，构成一个三棱锥，如图所示．  (1)在三棱锥中，求证：；(2)求四棱锥的体积．例11．（2024·高一·河南洛阳·阶段练习）如图，四面体被一平面所截，截面是一个平行四边形.求证：.例12．（2024·高一·湖南张家界·期中）如图，在四棱锥中，，，平面，，.设M，N分别为，的中点.  (1)求证：平面平面；(2)求三棱锥的体积.经典题型二：外接球、内切球、棱切球例13．（2024·高二·上海·专题练习）求解多面体的外接球时，经常用到截面图.如图所示，设球O的半径为R，截面圆O′的半径为r，M为截面圆上任意一点，球心O到截面圆O′的距离为d，则R、r、d满足的关系式是 .例14．（2024·高二·福建南平·阶段练习）已知三棱锥满足底面，在中，，，，是线段上一点，且．球为三棱锥的外接球，过点作球的截面，若所得截面圆的面积的最小值与最大值之和为，则球的表面积为 .例15．（2024·高二·重庆·期中）已知三棱锥中，平面，且，三棱锥的外接球表面积为，则三棱锥的体积最大值是 .例16．（2024·高二·重庆·期中）正四面体中，是棱的中点，是棱上一动点，的最小值为，则该正四面体的外接球表面积是 .例17．（2024·高三·辽宁大连·期中）在三棱锥中，平面，，，则三棱锥外接球表面积的最小值为 .例18．（2024·高二·安徽亳州·阶段练习）如图，在棱长为2的正方体中，在棱上运动，当二面角为直二面角时，四面体的外接球表面积为 ．  例19．（2024·高二·湖南长沙·开学考试）已知圆锥的底面半径为6，侧面积为，则该圆锥的内切球（圆锥的侧面和底面都与球相切）的体积为 ．例20．（2024·高三·甘肃·阶段练习）传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现.在一个“圆柱容球”模型中，若球的体积为，则该模型中圆柱的表面积为 .例21．（2024·高二·四川·阶段练习）已知在直三棱柱中存在内切球，若，则该三棱柱外接球的表面积为 .例22．（2024·高二·河南·阶段练习）已知棱长均为的多面体由上､下全等的正四棱锥和拼接而成，其中四边形为正方形，如图所示，记该多面体的外接球半径为，该多面体的棱切球（与该多面体的所有棱均相切的球）的半径为，则 ．  例23．（2024·高三·河南·阶段练习）在正三棱锥中，，，若球O与三棱锥的六条棱均相切，则球O的表面积为 ．例24．（2024·高三·全国·专题练习）已知正三棱柱的各棱长均为，以A为球心的球与棱相切，则球A于正三棱柱内的部分的体积为 .经典题型三：空间中的平行关系例25．（2024·高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，四边形是菱形，四边形是正方形，，，，点为的中点.求证：平面；例26．（2024·高三·全国·专题练习）如图，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E是PD的中点．(1)求证：平面EAC．(2)若M是CD上异于C，D的点，连接PM交CE于点G，连接BM交AC于点H，求证：．例27．（2024·高二·黑龙江鸡西·期末）两个边长为2的正方形和各与对方所在平面垂直，、分别是对角线、上的点，且.  (1)求证：平面；(2)设，，求与的函数关系式；(3)求、两点间的最短距离.例28．（2024·高一·辽宁阜新·期末）已知在正方体中，M、E、F、N分别是、、、的中点.求证：(1)E、F、D、B四点共面(2)平面平面.例29．（2024·高一·浙江嘉兴·期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为上的点，且，为中点．  (1)证明：平面.(2)在上是否存在一点，使得平面？若存在，指出点位置，并证明你的结论；若不存在，说明理由．经典题型四：空间中的垂直关系例30．（2024·高一·全国·专题练习）已知平面五边形如图1所示，其中，是正三角形．现将四边形沿翻折，使得，得到的图形如图2所示．求证：平面平面．例31．（2024·全国·模拟预测）如图1，在等边中，是边上的高，、分别是和边的中点，现将沿翻折成使得平面平面，如图2.  (1)求证：平面；(2)在线段上是否存在一点，使？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.例32．（2024·高一·全国·专题练习）如图；在直三棱柱中，，，．求证；  例33．（2024·高一·全国·专题练习）在四面体中，分别是和的中点.证明：平面平面；例34．（2024·高一·河南洛阳·阶段练习）在四棱锥中，底面是正方形，平面．  (1)求证：平面⊥平面；(2)求证：平面⊥平面．例35．（2024·高三·全国·阶段练习）如图，在五面体中，四边形的对角线交于点，为等边三角形，，，.(1)证明：平面；(2)若，求五面体的体积.例36．（2024·高一·陕西渭南·期末）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，分别是，的中点．求证：  (1)平面；(2)．例37．（2024·陕西榆林·一模）在三棱锥中，为的中点.(1)证明：⊥平面.(2)若，平面平面，求点到平面的距离.经典题型五：空间角的求法（线线角、线面角、二面角）例38．（2024·湖南岳阳·模拟预测）如图，已知长方体的底面是边长为2的正方形，为其上底面的中心，在此长方体内挖去四棱锥后所得的几何体的体积为.(1)求线段的长；(2)求异面直线与所成的角.例39．（2024·高二·黑龙江鸡西·期末）如图，平面，四边形是正方形，且，试求：  (1)点到的距离；(2)求异面直线与所成的角.例40．（2024·高二·上海·期中）如图，已知分别是正方体的棱的中点，且与相交于点．(1)求证：点Q在直线DC上；(2)求异面直线与所成角的大小．例41．（2024·高二·上海·阶段练习）如图所示圆锥中，CD为底面的直径，A，B分别为母线PD与PC的中点，点E是底面圆周上一点，若，，圆锥的高为.  (1)求圆锥的侧面积S；(2)求异面直线AE与PC所成角的大小例42．（2024·上海青浦·一模）已知四棱锥，底面为正方形，边长为，平面．(1)求证：平面；(2)若直线与所成的角大小为，求的长．例43．（2024·上海长宁·一模）如图，在三棱锥中，平面平面为的中点.  (1)求证：；(2)若，求异面直线与所成的角的大小.例44．（2024·高二·四川自贡·阶段练习）如图，在正方体中，点E，F分别为棱，AB的中点．  (1)求证：E、F、C、四点共面：(2)求异面直线与BC所成角的余弦值．例45．（2024·高一·福建宁德·阶段练习）在直三棱柱中，，，，D是的中点.  (1)求证：平面；(2)求异面直线与所成的角.例46．（2024·高二·新疆阿克苏·阶段练习）如图，在正方体中，求异面直线与所成的角的大小；例47．（2024·高三·山东菏泽·开学考试）如图，在三棱柱中，在底面ABC上的射影为线段BC的中点，M为线段的中点，且，.(1)求三棱锥的体积；(2)求MC与平面所成角的正弦值.例48．（2024·高三·全国·阶段练习）如图，在三棱台中，平面，，，.(1)求证：平面平面；(2)求与平面所成角正弦值.例49．（2024·高三·河北衡水·期中）在如图所示的直三棱柱 中，D、E分别是的中点.(1)求证: 平面;(2)若为等边三角形，且，M为上的一点，求直线 与直线 所成角的正切值.例50．（2024·高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，所有的棱长都相等，侧棱底面，求直线与平面所成角的正弦值.  例51．（2024·高二·上海·期末）在如图所示的圆锥中，是顶点，是底面的圆心，、是圆周上两点，且，．(1)若圆锥侧面积为，求圆锥的体积；(2)设圆锥的高为2，是线段上一点，且满足，求直线与平面所成角的正切值．例52．（2024·高二·重庆·期末）在如图所示的四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，点E，F分别在棱AB，PC上，且满足，．(1)证明：平面PAD；(2)若平面底面ABCD，和为正三角形，求直线EF与底面ABCD所成角的正切值．例53．（2024·高二·上海·期末）如图，已知正方形的边长为1，平面，三角形是等边三角形．(1)求异面直线与所成的角的大小；(2)在线段上是否存在一点，使得与平面所成的角大小为？若存在，求出的长度，若不存在，说明理由.例54．（2024·高三·全国·专题练习）如图所示，在三棱锥中，．  (1)求证：；(2)求二面角的余弦值；(3)求点到平面的距离．例55．（2024·高二·浙江金华·期末）如图，已知四棱锥的底面是菱形，，对角线交于点平面，平面是过直线的一个平面，与棱交于点，且．  (1)求证：；(2)若平面交于点，求的值；(3)若二面角的大小为，求的长．例56．（2024·湖南岳阳·模拟预测）如图，已知平面与底面所成角为，且．(1)求证：平面；(2)求二面角的大小．例57．（2024·高一·全国·专题练习）如图①梯形ABCD中，，，，且，将梯形沿BE折叠得到图②，使平面平面BCDE，CE与BD相交于O，点P在AB上，且，R是CD的中点，过O，P，R三点的平面交AC于Q．(1)证明：Q是AC的中点；(2)证明：平面BEQ；(3)M是AB上一点，已知二面角为45°，求的值．例58．（2024·高一·山东青岛·阶段练习）如图，将边长为的正方形沿对角线折起，使得点到点的位置，连接，为的中点.(1)若平面平面，求点到平面的距离；(2)不考虑点与点重合的位置，若二面角的余弦值为，求的长度.例59．（2024·高一·全国·课后作业）如图，在矩形中，，，E为的中点，把和分别沿AE，DE折起，使点B与点C重合于点P．(1)求证：平面⊥平面；(2)求二面角的大小．例60．（2024·高二·全国·专题练习）四边形是正方形，平面，且．求：  (1)二面角的平面角的度数；(2)二面角的平面角的度数；(3)二面角的平面角的度数．例61．（2024·高三·甘肃·阶段练习）如图，已知四棱锥的底面为直角梯形，，，，．  (1)证明：与平面不垂直；(2)证明：平面平面；(3)如果，二面角等于，求二面角的大小．经典题型六：空间距离的求法（线线距、线面距、点面距、面面距）例62．（2024·四川·一模）如图，在四棱锥中，，，平面平面．(1)证明：平面；(2)已知，且，求点D到平面的距离．例63．（2024·高一·河南洛阳·阶段练习）如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，平面，E为的中点.(1)证明：平面；(2)设，，求点D到平面的距离.例64．（2024·高三·全国·阶段练习）如图，四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，，为等边三角形，．  (1)证明：BD平面；(2)求点C到面PBD的距离．例65．（2024·高三·全国·专题练习）如图，为菱形外一点，平面，，为棱的中点.若，求到平面的距离.  例66．（2024·上海·模拟预测）已知三棱锥中，平面为中点，过点分别作平行于平面的直线交于点.  (1)求直线与平面所成的角的正切值；(2)证明：平面平面，并求直线到平面的距离.例67．（2024·河南·二模）如图所示，正六棱柱的底面边长为1，高为.  (1)证明：平面平面；(2)求平面与平面间的距离.例68．（2024·高一·广东揭阳·期末）如图在直三棱柱中，，，，E是上的一点，且，D、F、G分别是、、的中点，与相交于．(1)求证：平面；(2)求平面与平面的距离．经典题型七：截面问题以及范围与最值问题例69．（2024·湖南岳阳·模拟预测）如图，在长方体中，，一小虫从顶点出发沿长方体的表面爬到顶点，则小虫走过的最短路线的长为 .例70．（2024·高二·江西南昌·期中）如图，在长方体中，若，且面对角线上存在一点使得最短，则的最小值为 .  例71．（2024·高二·重庆南岸·期中）如图，在长方体中，且，为棱上的一点．当取得最小值时，的长为 ．例72．（2024·高一·广西玉林·阶段练习）如图，在棱长为4的正方体中，的中点是P，过点作与截面平行的截面，则该截面的周长为（    ）  A． B． C． D．4例73．（2024·高一·北京大兴·期末）已知点P在棱长为2的正方体表面运动，且，则线段AP的长的取值范围是（    ）A． B． C． D．例74．（2024·高一·江苏盐城·期中）如图，在正方体中，的中点为Q，过A，Q，三点的截面是（    ）  A．三角形 B．矩形 C．菱形 D．梯形例75．（2024·河南新乡·三模）如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，过三点的截面把正方体分成两部分，则该截面的周长为（    ）A． B． C． D．例76．（2024·高一·浙江杭州·期中）如图，正方体的棱长为为的中点，为的中点，过点的平面截正方体所得的截面的面积（    ）A． B． C． D．例77．（2024·高一·河南郑州·期中）如图，正三棱锥中，，侧棱长为，一只虫子从A点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到A点，则虫子爬行的最短距离是（    ）  A． B． C． D．例78．（多选题）（2024·高二·福建厦门·阶段练习）已知正方体的棱长为1，P是空间中任意一点.下列结论正确的是（    ）A．若点P在线段上运动，则始终有B．若点P在线段上运动，则过P，B，三点的正方体截面面积的最小值为C．若点P在线段上运动，三棱锥体积为定值D．若点P在线段上运动，则的最小值为例79．（多选题）（2024·高一·江苏南京·阶段练习）在正方体中，点是线段上的动点，若过三点的平面将正方体截为两个部分，则所得截面的形状可能为（   ）A．等边三角形 B．矩形C．菱形 D．等腰梯形例80．（多选题）（2024·高一·海南省直辖县级单位·期中）如图正方体，棱长为1，为中点，为线段上的动点，过A、、的平面截该正方体所得的截面记为.若，则下列结论正确的是（    ）  A．当时，为四边形B．当时，为等腰梯形C．当时，为六边形D．当时，的面积为例81．（多选题）（2024·重庆·模拟预测）如图，正方体的棱长为4，M是侧面上的一个动点（含边界），点P在棱上，且，则下列结论正确的有（    ）  A．沿正方体的表面从点A到点P的最短距离为B．保持与垂直时，点M的运动轨迹长度为C．若保持，则点M的运动轨迹长度为D．平面被正方体截得截面为等腰梯形例82．（多选题）（2024·高三·重庆渝中·阶段练习）已知截面定义：用一个平面去截一个几何体，得到的平面图形（包含图形内部）称为这个几何体的一个截面.则下列关于正方体截面的说法，正确的是（    ）A．截面图形可以是七边形B．若正方体的截面为三角形，则只能为锐角三角形C．当截面是五边形时，截面可以是正五边形D．当截面是梯形时，截面不可能为直角梯形例83．（多选题）（2024·高一·湖北·期末）如图，在棱长为1的正方体中，为线段上一动点（包括端点），则（    ）  A．三棱锥的体积为定值B．当点与重合时，三棱锥的外接球的体积为C．过点平行于平面的平面被正方体截得的多边形的面积为D．直线与平面所成角的正弦值的范围为例84．（多选题）（2024·高一·浙江宁波·期中）已知正方体的棱长为2，点E、F分别是棱、的中点，点P在四边形内（包含边界）运动，则下列说法正确的是（ ）A．若P是线段的中点，则平面平面B．若P在线段上，则异面直线与所成角的范围是C．若平面，则点P的轨迹长度为D．若平面，则长度的取值范围是例85．（多选题）（2024·高一·河北张家口·阶段练习）已知在三棱锥中，平面平面为等腰直角三角形，且腰，为平面内动点，为的中点，满足平面，下列说法中正确的是（    ）A．PC与平面所成角正弦值的范围为B．与平面所成角正弦值的范围为C．在内的轨迹长度为1D．在内的轨迹长度为2例86．（多选题）（2024·高一·江苏·阶段练习）已知正三棱柱的棱长均为2，点D是棱上（不含端点）的一个动点．则下列结论正确的是（    ）A．的周长既有最小值，又有最大值B．棱上总存在点E，使得直线平面C．三棱锥外接球的表面积的取值范围是D．当点D是棱靠近三分点时，二面角的正切值为例87．（多选题）（2024·山东日照·模拟预测）已知正方体的棱长为，是空间中任意一点，下列正确的是（    ）A．若是棱动点，则异面直线与所成角的正切值范围是B．若在线段上运动，则的最小值为C．若在半圆弧上运动，当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积为D．若过点的平面与正方体每条棱所成角相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为模块三：数学思想与方法分类与整合思想例88．（2024·河北邯郸·高一校考阶段练习）等腰直角三角形的直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积为（　　）A． B．或C． D．或例89．（2024·上海·高二专题练习）如果点是两条异面直线、外一点，则过点且与、都平行的平面个数的所有可能值是（    ）A．1 B．2 C．0或1 D．无数例90．（2024·全国·高三专题练习）到空间不共面的四点距离相等的平面的个数为（    ）A．1 B．4C．7 D．8例91．（2024·上海徐汇·高二海市南洋模范中学校考阶段练习）从同一点引出的4条直线可以确定个平面，则不可能取的值是（    ）A．6 B．4 C．3 D．1例92．（2024·全国·开滦第二中学校考模拟预测）中，其边长分别为3，4，5，分别以它的边所在直线为旋转轴，旋转一周所形成的几何体的体积之和为______．等价转换思想例93．（2024·全国·高一专题练习）在正方体中，、、、分别是该点所在棱的中点，则下列图形中、、、四点共面的是（   ）A． B．C． D．例94．（2024·全国·高一专题练习）过半径为4的球表面上一点作球的截面，若与该截面所成的角是，则到该截面的距离是（    ）A．4 B． C．2 D．1例95．（2024·辽宁·高一校联考期末）甲烷的分子结构中，相邻碳氢键的夹角都相等，设这个角为，则（    ）A．0 B． C． D．例96．（2024·湖北武汉·高一统考期末）已知正方体，的棱长为2，点为线段（含端点）上的动点，平面，下列说法正确的是（   ）A．若点为中点，当最小时，B．当点与重合时，若平面截正方体所得截面图形的面积越大，则其截面周长就越大C．直线与平面所成角的余弦值的取值范围为D．若点为的中点，平面过点，则平面截正方体所得截面图形的面积为函数与方程思想例97．（2024·四川遂宁·高三四川省大英中学校考阶段练习）已知三棱锥的底面为等腰直角三角形，其顶点P到底面ABC的距离为3，体积为24，若该三棱锥的外接球O的半径为5，则满足上述条件的顶点P的轨迹长度为（    ）A．6π B．30πC． D．例98．（2024·河南开封·统考二模）如图，在四棱锥中，，底面是边长为的正方形，点是的中点，过点，作棱锥的截面，分别与侧棱，交于，两点，则四棱锥体积的最小值为（    ）A． B． C． D．例99．（2024·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥中，平面平行于对棱，截面面积的最大值是______.例100．（2024·全国·高三专题练习）如图，正方体的棱长为1，，分别是棱，的中点，过直线的平面分别与棱，交于，.设，，给出以下四个结论：①平面平面； ②当且仅当时，四边形的面积最小； ③四边形的周长，是单调函数；④四棱锥的体积在上先减后增.其中正确命题的序号是__________．例101．（2024·江苏·高一专题练习）（1）已知圆台的上下底面半径分别是2，5，且侧面面积等于两底面面积之和，求该圆台的母线长．（2）有一个正四棱台形状的油槽，可以装油190L，假如它的两底面长分别等于60cm和40cm，求它的深度为多少cm？