山东省济宁市邹城市2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1．本试卷共6页，共100分，其中选择题30分，非选择题70分；考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必先核对条形码上的姓名、准考证号和座号，然后用0.5毫米黑色签字笔将本人的姓名、准考证号和座号填写在答题卡的相应位置．
3．答选择题时，必须使用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其他答案标号，答案不能答在试卷上．
4．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写．务必在题号所指示的答题区域内作答．答作图题时，要先用2B铅笔试画，无误后用黑色签字笔描黑．
5．填空题请直接将答案填写在答题卡上，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求）
1. 下列各数中是无理数的是（ ）
A. B. C. D. 1.010010001
【答案】C
【解析】
【详解】试题解析：A、，故不无理数；
B、是有理数，不是无理数；
C、是无理数；
D、 1.010010001是有理数；
故选C．
2. 下列各图中，与是对顶角的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了对顶角的定义，准确识图，熟练掌握对顶角的定义是解决问题的关键，根据对顶角的定义对各选项中的与逐一进行判断即可得出答案．
【详解】解：A．图中的与不符合对顶角的定义，它们不是对顶角，故选项不符合题意；
B．图中的与不符合对顶角的定义，它们不是对顶角，故选项不符合题意；
C．图中的与符合对顶角的定义，它们是对顶角，故选项符合题意；
D．图中的与不符合对顶角的定义，它们不是对顶角，故选项不符合题意．
故选：C．
3. 下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A. 对顶角相等B. 两直线平行，同位角相等
C. 若，则D. 若，则
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了逆命题、真假命题、平行线的性质和判定、对顶角的定义以及有理数的乘方、等式性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
依据平行线的性质和判定、对顶角的定义以及有理数的乘方、等式性质逐项分析判断即可．
【详解】解：A．“对顶角相等”其逆命题为“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”，这个命题是假命题，故符合题意；
B．“两直线平行，同位角相等”其逆命题为“同位角相等，两直线平行”，这个命题是真命题，故不符合题意；
C．“若，则”其逆命题为“若，则”，这个命题是真命题，故不符合题意；
D．“若，则”其逆命题为“若，则”，这个命题是真命题，故不符合题意．
故选：A．
4. 已知点，点为轴上一动点，则的最小值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平面直角坐标系中点到坐标轴的距离，过M点做y轴的垂线，交y轴于点N，的长度即为所求，掌握点到直线上的所有连线中，垂线段最短是解题的关键．
【详解】如图，
当轴时，的长度最小，最小值为2，
故选：B．
5. 如图，由以下条件可以得到的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．
利用平行线的判定方法判断即可得到结果．
详解】解：A、由，可推出，不能得到，本选项不符合题意；
B、由，可推出，本选项符合题意；
C、由，可推出，不能得到，本选项不符合题意；
D、由，不能推出，本选项不符合题意．
故选：B．
6. 下列说法中正确的个数有（ ）
①在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系为平行或垂直；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③平行于同一直线的两条直线互相平行；④垂直于同一直线的两条直线互相平行；
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了直线的位置关系，根据直线的位置关系的相关知识进行判断即可.
【详解】解：①在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系为平行或相交，故选项错误；
②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故选项错误；
③平行于同一直线的两条直线互相平行，故选项正确；
④同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，故选项错误；
正确的有1个，
故选：A
7. 在平面直角坐标系中，第四象限内有一点，它到轴的距离为3，到轴的距离为4，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】横坐标的绝对值就是到轴的距离，纵坐标的绝对值就是到轴的距离．然后根据第四象限内点的坐标特征，可得答案．
【详解】解：根据题意，点在第四象限内，且它到轴的距离为3，到轴的距离为4，
则点的坐标为．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，熟记点的坐标特征是解题关键．
8. 如图，数轴上点表示的数是1，点表示的数是，于点，且，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴的负半轴于点，则点表示的数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，数轴上点的平移，熟练掌握左减右加是解题的关键．
根据勾股定理，得，点A向左平移个单位长度即可得到点D表示的数．
【详解】根据题意，得，，
由勾股定理得：，
故点A向左平移个单位长度即可得到点D表示的数，即．
故选：D．
9. 一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，如果该汽车第一次左拐，那么第二次拐弯的方向和度数为（ ）
A. 左拐B. 左拐C. 右拐D. 右拐
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了平行线的性质，注意要想两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，则拐的方向应相反，角度应相等．
根据两条直线平行的性质：两条直线平行，同位角相等．再根据题意得：两次拐的方向不相同，但角度相等．
【详解】解：如图，第一次拐的角是，第二次拐的角是，由于平行前进，可以得到．
因此，第二次拐弯的方向和度数为右拐．
故选：C．
10. 平面直角坐标系中有若干点，按照如图所示的方式排列，其坐标依次为，，，，，…按此规律，点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了点的坐标正方形为单位格点变化规律，反应出点的坐标变化从特殊到一般再到特殊规律计算方法，同时也体现出第三象限点的横纵坐标数字隐含规律：点的坐标（n为角标）求解．
根据每四个象限循环一周找到角标与坐标之间变化规律即可解题．
【详解】解：由题可知第一象限的点：，……角标除以4余数为2；
第二象限的点：…… 角标除以4余数为3；
第三象限的点：……角标除以4余数为0；
第四象限的点：……角标除以4余数为1；
由上规律可知：，
∴点在第三象限．
观察图形，得：点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为
，……，
∴第三象限点的横纵坐标数字规律：点的横纵坐标（n为角标）
∴点的坐标为．
故选：C．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11. 如果电影院里3排6座记作，那么7排9座应该记作__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了用有序数对表示位置，熟练掌握知识点是解题的关键．
由3排6座记作可知，前一个数表示排数，后一个表示座号，由此可得答案．
【详解】∵3排6座记作，
∴7排9座记作，
故答案为：．
12. 的平方根是____．
【答案】±3
【解析】
【分析】根据算术平方根、平方根解决此题．
【详解】解：，
实数的平方根是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查算术平方根、平方根，熟练掌握算术平方根、平方根是解题的关键．
13. 较大小：__________2．
【答案】
【解析】
【分析】将和2分别求其立方的值，立方数大的则原数也大．
【详解】解：，
，
故答案是：．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，解题的关键先将和2分别求其立方的值，再根据立方数大的则原数也大进行比较．
14. 在如图所示的方格纸上建立适当的平面直角坐标系，使得点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查平面直角坐标系、在坐标系中确定点的坐标，根据点B，A的坐标可确定原点的位置，再作平面直角坐标系即可，从而可确定点C的坐标．
【详解】解：建立平面直角坐标系如图所示：
∴点的坐标为，
故答案为：．
15. 若，则立方根是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是绝对值与算术平方根的非负性，二元一次方程组的解法，立方根的含义，掌握以上知识是解题的关键．
由，则，解方程组求得a、b，再求解的立方根即可．
【详解】解：∵
∴，解得：．
∴，
∴的立方根是．
故答案为：．
16. 在平面直角坐标系中，线段是由线段平移得到的，已知点平移后的对应点是点，则点平移后的对应点的坐标是__________．
【答案】
【解析】
【分析】首先求出向右平移5个单位，向上平移3个单位得到，再根据点的坐标的平移规律求解即可．
本题主要考查坐标与图形变化—平移，解题的关键是掌握点的坐标的平移规律—横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
【详解】解：由点平移后的对应点为，知向右平移5个单位，向上平移3个单位得到，
点平移后的对应点的坐标为，即．
故答案为：．
17. 如图，已知，，那么的度数为__________．
【答案】##100度
【解析】
【分析】此题考查了平行线的性质和判定，对顶角相等，
首先得到，证明出，然后得到，进而求解即可．
【详解】如图所示，
∵，
∴
∴
∴
∴．
故答案为：．
18. 观察下列各式的特点：，，，，…计算：__________．
【答案】1012
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根．解此类题目的关键在于观察已知等式，从等式中找到到规律；再根据规律解题．
认真观察式子，可以发现等式左边的被开方数是从1开始的连续奇数的和，右边是首末两个奇数的平均数（或奇数个数）的平方，利用此规律即可解答．
【详解】观察可得：
，
，
…，
．
故答案为：．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分）
19 （1）计算：．
（2）求实数：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根、立方根与绝对值的运算、利用平方根解方程等，解题的关键是熟知相关运算法则．
（1）计算算术平方根、立方根与绝对值，最后再合并同类项即可；
（2）根据利用平方根定义解方程即可．
【详解】（1）
（2）
移项，
∴
∴
即：．
20. 已知某正数的两个不相等的平方根是和，的立方根是，是的整数部分．
（1）求、、的值；
（2）求的平方根．
【答案】（1），，
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查立方根、平方根及无理数的估算，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根的定义．
（1）由平方根的性质知和互为相反数，可得a的值，根据立方根定义可得b的值，根据无理数的估算可得c的值；
（2）分别将a，b，c的值代入中，可解答．
【小问1详解】
∵某正数两个不相等的平方根是和，
∴，
解得：，
∵的立方根为，
∴，
∴，
∵，且c是的整数部分，
∴；
【小问2详解】
∵，，
∴
∴的平方根是．
21. 已知：，，．
（1）在坐标系中描出各点，并画出；
（2）将向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到，请画出平移后的图形；
（3）设点在轴上，且与的面积相等，求点的坐标．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）点P的坐标为或
【解析】
【分析】本题考查作图-平移变换，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
（1）根据题意画出图形即可；
（2）根据平移的性质画出图形即可；
（3）先求得的面积，然后可设点P的坐标为，根据分两种情况求解a即可；
【小问1详解】
如图所示，即为所求．
【小问2详解】
如图所示，即为所求．
【小问3详解】
如图，自点C作轴，轴，垂足分别为M、N．
∴．
点P在x轴上，可设其坐标为，
∴，
∴，
即或．
∴点P的坐标为或．
22. 如图，直线、相交于点，平分，，若，求的度数．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了角平分线的概念，垂直的概念，平角的概念，
首先根据角平分线的概念得到．然后求解即可．
【详解】∵平分，，
∴
∵
∴
∴．
23. 在平面直角坐标系中，已知点．
（1）若点在轴上，求点的坐标；
（2）若点到轴的距离等于到轴的距离，求点的坐标；
（3）若点的纵坐标比横坐标大5，平面直角坐标系内另有一点，满足轴，且，求点的坐标．
【答案】（1）
（2）或
（3）或
【解析】
【分析】本题考查了点的坐标特点，根据题意列出恰当的方程求得a的值是解题的关键．
（1）根据y轴上点的横坐标为0即可求解；
（2）根据到两坐标轴的距离相等，则点P的横纵何极的绝对值相等即可求解；
（3）先由点P的纵坐标比横坐标大5求得a值，再根据平行于x轴的纵坐标相等的特点并结合线段的距离表示法即可求解．
【小问1详解】
∵点P在y轴上，
∴，解得．
∴，
∴
【小问2详解】
根据题意得：，
∴或
解得：或，
当时，，此时；
当时，，此时，
故点P的坐标是或．
【小问3详解】
依据题意：，
解得：．
此时，，
∴点．
∴轴，，
∴，
即点Q的坐标是或．
24. （1）某电动伸缩遮阳帘形状如图1所示，已知，小明观察分析该图形得出图中、、之间存在如下数量关系：，他的证明思路如下，请将他的证明过程补充完整．
已知：
求证：
证明：过点作直线，使
∵，
∴ （ ）
∵
∴（ ）
∵
∴（两直线平行，内错角相等）
∵
∴ （ ）
（2）请同学们体会上面辅助线的作用，用类似的方法解决如下问题：
已知：如图2，，试探究、和之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）完整的证明过程见解析；（2），证明过程见解析．
【解析】
【分析】本题考查了平行公理的推论、平行线的性质，熟知平行线的辅助线作法是解题的关键．
（1）根据平行公理的推论及平行线的性质进行填空与判断理由；
（2）过点C作的平行线，然后仿照（1）的证法思路即可．
【详解】（1）已知：
求证：
证明：过点作直线，使
∵，
∴（平行于同一条直线的两直线平行）
∵
∴（两直线平行，内错角相等）
∵
∴（两直线平行，内错角相等）
∵
∴（等量代换）
（2）过点C作，如图．
∴，①
∴，
∴，
∴，即②
将②代入①，得
即
∴与之和，减去等于．