河北省廊坊市第十中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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（试卷页数：8页，考试时间：120分钟，总分：120分）
一、选择题（本大题共16个小题，共38分．1~6小题各3分；7~16小题各2分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 使二次根式有意义的a的取值范围是（ ）
A. a>3B. a<3C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】二次根式有意义的条件是：被开方数非负，根据此条件即可求得a的取值范围．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握这一条件并正确求解是关键．
2. 下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的定义逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A．，所以不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
B． ，所以不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
C． 是最简二次根式，故该选项符合题意；
D． ，所以不是最简二次根式，故该选项不符合题意．
故选：C．
3. 下列各式中，运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质化简，二次根式的混合运算，掌握其性质，混合运算法则是解题的关键．
【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，原选项计算错误，不符合题意；
B、与不是同类二次根式，不能合并，原选项计算错误，不符合题意；
C、，计算正确，符合题意；
D、，不是同类二次根式，不能合并，原选项计算错误，不符合题意；
故选：C ．
4. 如图，在中，，，的平分线交于点M，则的长为（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，先根据平行四边形的性质得出，，证明，得出，最后求出结果即可．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
5. 计算（ ）
A. B. C. 9D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，根据算术平方根的定义进行求解即可．
【详解】解：，
故选：D．
6. 在中，，是斜边的中点，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形斜边中线等于斜边的一半，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理的运用，掌握直角三角形斜边中线等于斜边的一半是解题的关键．
根据题意可得，，，根据直角三角形两锐角互余可求出的度数，由此即可求解．
【详解】解：根据题意，作图如下，
∴，
∴，
在中，，
∴，
故选： ．
7. 如图，在菱形中，，，则菱形的周长为（ ）

A. 8B. C. D. 16
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键．
根据菱形的性质，可得，根据含角的直角三角形的性质，勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，设对角线交于点，

∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，，
∴在中，，
∴，
∴，即，
解得，（负值舍去），
∴，
∴菱形的周长为，
故选：A ．
8. 若（为整数），则等于（ ）
A. 7B. 9C. 11D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的运算，掌握完全平方公式的计算方法是解题的关键．
根据完全平方公式展开，即可得出答案
【详解】解：，
等式左边：，
∴，
∴，
故选：C ．
9. 在中，．若，，则面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，完全平方公式变形求值，熟练掌握如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么是解题的关键．根据勾股定理可得，再由，可得，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
即的面积是．
故选：D．
10. 如图，分别以一个直角三角形的两条直角边和斜边为一边向外作正方形和半圆．若的面积为，半圆的面积为，则直角三角形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的运用，根据题意，分别算出直角三角形斜边，一直角边的长，根据勾股定理可得另一个直角边的长，由此即可求解，掌握勾股定理是解题的关键．
【详解】解：根据题意，正方形的边长为，设半圆的直径为，根据已知得：，
∴半圆的直径：（负值舍去），
∴正方形的边长为
∴直角三角形的面积为，
故选：A ．
11. 若要在的“”中填上一个运算符号，使其计算结果最小，则这个运算符号是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，根据二次根式的加法法则和乘方法则分别计算，比较即可．掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．
【详解】解：，
，
应该填：，
故选：．
12. 如图，将矩形对折，使边与与分别重合，展开后得到四边形．若，，则四边形的面积为（ ）

A. B. 5C. 10D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，菱形的判定和性质，掌握菱形的判定和性质是解题的关键．
根据矩形的性质，折叠的性质可证明四边形是菱形，根据菱形的面积计算公式即可求解．
【详解】解：将矩形折叠，
∴是的中点，是的中点，
∴，，，
∴，
∴，
同理可得，，，
∴，
∴四边形是菱形，
根据折叠，，，
∴四边形，四边形是矩形，
∴，，
∴菱形的面积为，
故选： B．
13. 如图，点在边长为的正方形内，测得，，则阴影部分的面积是（ ）
A. 12B. 16C. 19D. 25
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理逆定理的运用，根据题意，可得，可得是直角三角形，结合图形用正方形的面积减去直角三角形的面积即可求解，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，即是直角三角形，
∴，且正方形的面积为，
∴阴影部分的面积为，
故选： C．
14. 已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值为（ ）
A. 4B. 6C. 7D. 14
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的定义和性质，能正确根据二次根式的性质进行化简是解此题的关键．首先把被开方数分解质因数，然后再确定n的值．
【详解】解：，
∵是整数，n是一个正整数，
∴n的最小值是7．
故选：C．
15. 如图，一个圆柱体笔筒的内部底面直径是，一支铅笔长为，当铅笔垂直放入圆柱体笔筒内，这支铅笔在笔筒外面部分长度为．若这支铅笔斜放入圆柱体笔筒中，则这支铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的运用，掌握勾股定理的计算是解题的关键．
根据题意，铅笔底端与笔筒底面圆的直径的交点的取值范围是，结合勾股定理可求出铅笔在外面部分的范围为之间，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，，
∴，
∴，
此时铅笔外面的长度为，
∵斜放的铅笔底端放的位置不同，
∴，
∴当铅笔垂直放入时，铅笔在外面的长度为,
∴铅笔在外面部分的取值范围为，
∵，
∴这支铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是，
故选：D ．
16. 如图，正方形的面积为3，在x轴的正半轴上，以为圆心，长为半径作圆弧交x轴负半轴于点E，则点E的横坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了勾股定理的运用，数轴上点的坐标表示方法和两点间距离的表示方法，解题的关键是根据勾股定理求出的长度．根据题意得到，然后利用勾股定理求出的长度，进而求出的长度，然后即可求出点E的横坐标．
【详解】解：∵正方形的面积为3，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴点E的横坐标．
故选：B．
二、填空题（本大题共3个小题，共10分．17小题2分，18~19小题各4分，每空2分，把答案写在题中横线上）
17. 计算：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，二次根式的性质化简，掌握其运算法则是解题的关键．
根据二次根式的性质先化简，再根据二次根式的乘法运算即可求解．
【详解】解：
，
故答案为： ．
18. 如图，矩形的对角线相交于点，点是的中点，若，，则______，______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，中位线的性质，勾股定理的运用，掌握矩形的性质，中位线的性质，勾股定理的计算是解题的关键．
根据矩形的性质可得是中位线，根据中位线可得的值，运用勾股定理可求出的值．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，是的中点，
∵E点是的中点，
∴是的中位线，
∵，
∴；
在中，；
故答案为：， ．
19. 如图，在中，，，．利用尺规在，上分别截取，，使；分别以为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．则______度，______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，角平分线的性质，掌握作角平分线的方法，角平分线的性质，勾股定理及其逆定理的运用是解题的关键．
根据勾股定理的逆定理可求出是直角三角形，求出；过点作，根据角平分线的性质，勾股定理可求出的值．
【详解】解：∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴；
根据作图可得是角平分线，如图所示，过点作于点，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得，，
∴；
故答案为：， ．
三、解答题（本大题共7个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20. 已知是关于的二元一次方程的一个解．

（1）求的值；
（2）若的取值范围如图所示，求的正整数值．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据题意，把解代入二元一次方程，结合二次根式的运算法则即可求解；
（2）用含的式子表示，结合数轴，不等式的性质，无理数的估算方法即可求解．
【小问1详解】
解：把代入二元一次方程得，，
∴；
【小问2详解】
解：二元一次方程变形得，
根据数轴可得，，
∴，
∴，
∵，则，
∴，
∴的正整数值为1或2．
【点睛】本题主要考查二次根式的性质化简，二次根式的混合运算，二元一次方程的解法，不等式的性质，及无理数的估算等知识的综合，掌握二元一次方程的解法，二次根式的混合运算法则是解题的关键．
21. 一列二次根式：①；②；③是按一定规律排列的．
（1）请直接写出这三个二次根式的整数部分；
（2）用已学过的数学知识，求第个符合规律的二次根式的整数部分；
（3）写出第个符合规律的二次根式，猜想它的整数部分，并说明理由．
【答案】（1），，
（2）
（3），理由见详解
【解析】
【分析】本题主要考查二次格式的化简，估算，二次根式的规律计算，掌握二次根式的性质，二次根式的估算是解题的关键．
（1）根据材料提示，运用二次根式的性质化简，估算即可求解；
（2）结合（1）中的运算方法即可求解；
（3）根据材料提示猜想第个二次根式的整数部分为，结合即可求解．
【小问1详解】
解：，
∵，
∴的整数部分是；
，
∵，即，
∴的整数部分为；
，
∵，即，
∴的整数部分为；
【小问2详解】
解：根据材料提示，
第个二次根式，
∵，
∴的整数部分为，
∴第个二次根式的整数部分为；
第个二次根式为，
∵，即，
∴的整数部分为，
∴第个二次根式的整数部分为；
【小问3详解】
解：根据上述猜想，第个二次根式为，整数部分为，理由如下，
已知，
∵
，且为正整数，
∴，
∴，即，
∵
∴
∴的最大整数为，
∴第个二次根式的整数部分为．
22. 如图，网格中每个小正方形的边长都是1，点，，，都在小正方形的顶点上．
（1）求线段和的长；
（2）若，且，，三条线段首尾顺次相接能构成直角三角形，求m的值．
【答案】（1），
（2）或
【解析】
【分析】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理，
（1）根据勾股定理，可以求得和的长；
（2）根据勾股定理的逆定理可以求得m的值．
解答本题的关键是灵活运用分类讨论思想并用勾股定理的逆定理进行计算．
【小问1详解】
解：由图可得，
，，
故答案为：，；
【小问2详解】
∵以、、三条线段为边能构成直角三角形，，，，
当斜边时，，
；
当为斜边时，，
；
故m的值为或
23. 如图，是李师傅设计的一个育苗棚示意图，棚的横截面是一个，此三角形的三边长之比为．
（1）判断横截面的形状并说明理由；
（2）若修建后，，棚长，求覆盖在棚顶上的塑料薄膜需要多少平方米？（结果保留小数点后一位，）
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握，如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形．
（1）根据勾股定理的逆定理证明为直角三角形；
（2）先求出的长，然后求出塑料薄膜的面积即可．
【小问1详解】
解：为直角三角形；理由如下：
设，则，，
∵，
∴，
∴为直角三角形；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴覆盖在棚顶上的塑料薄膜需要：．
24. 如图，小萍从家的位置出发，沿北偏东的方向行走1000米到达体育馆B处，在体育馆运动完后又从处沿正南方向行走一段距离，到达位于家南偏东方向的图书馆C处．
（1）求小萍家到公路的最短距离；
（2）如果小萍以100米1分的速度从图书馆沿返回家中，那么她在10分钟内能否到达家处？（注：，）
【答案】（1）米
（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，
（1）过点作于点，根据含角的直角三角形的性质求出；
（2）根据勾股定理求出，根据题意求出小萍以100米分的速度从图书馆沿CA返回家中所需的时间，比较大小得到答案．
熟记直角三角形的性质是解题的关键．
【小问1详解】
解：如图，过点作于点，
在中，米，，
则（米，
故小萍家到公路的最短距离为米
【小问2详解】
在中，，
则，
，
，
她能在10分钟内到达家处．
25. 如图，在中，，是斜边的中点，是的中点．过点作交的延长线于点．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，菱形的面积为，求的长．
【答案】（1）证明过程见详解
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查中位线的判定和性质，菱形的判定和性质，掌握菱形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据三角形全等的判定与性质得出，结合题意，菱形的判定方法即可求证；
（2）根据菱形的性质可得的长，运用勾股定理即可求解．
【小问1详解】
证明：是的中点，
，
，
，
，
，
，
是中点，
，
，
四边形是平行四边形，
是直角三角形，点是斜边的中点，
，
平行四边形是菱形；
【小问2详解】
解：如图所示，连接与交于点，
四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
的长为．
26. 如图，在菱形中，，E，F分别是边、上的点，且．
（1）若点E是中点，则与之间的数量关系为______；
（2）若点E不是的中点，判断与之间的数量关系并说明理由；
（3）若，直接写出周长的最小值；
（4）当点在边上运动时，小亮发现，四边形面积保持不变，请你帮助小亮验证他的发现．
【答案】（1）
（2）；理由见解析
（3）
（4）见解析
【解析】
【分析】（1）连接，得出为等边三角形，求出，证明，得出；
（2）连接，根据四边形为菱形，得出，，，，证明，得出；
（3）证明为等边三角形，得出当最小时，的周长最小，根据垂线段最短，得出当时，最小，求出最小值即可；
（4）根据，得出，根据
【小问1详解】
解：连接，如图所示：
∵四边形为菱形，
∴，，，，
∴为等边三角形，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：连接，如图所示：
∵四边形为菱形，
∴，，，，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：∵，，
∴为等边三角形，
∴当最小时，的周长最小，
∵垂线段最短，
∴当时，最小，
根据解析（2）可知，为等边三角形，
∴当时，，
∴，
∴周长的最小值为；
【小问4详解】
解：根据解析（2）可知，，
∴，
∴
．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．