2024届山东省威海市高三二模考试数学试题+参考答案(5月13日威海二模)

这是一份2024届山东省威海市高三二模考试数学试题+参考答案(5月13日威海二模)，共11页。
注意事项：
1、答卷时，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．样本数据11，12，13，16，20，22，25，27，36的60%分位数为
A．20B．21C．22D．23.5
2．在研究集合时，用来表示有限集合A中元素的个数．集合，，若，则实数m的取值范围为
A．B．C．D．
3．已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为
A．B．C．D．
4．已知正项等比数列中，，且，，成等差数列，则=
A．2B．3C．4D．6
5．已知抛物线C：的焦点为F，斜率为的直线过点F，且与C在第一象限的交点为A，若，则p=
A．2B．4C．8D．12
6．在正方体中，E，F分别为棱BC，的中点，若平面与平面AEF的交线为l，则l与直线所成角的大小为
A．B．C．D．
7．已知向量a，b满足，，且对，，则=
A．-2B．-1C．1D．2
8．设，，，则
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．下列命题为真命题的是
A．是纯虚数
B．对任意的复数z，
C．对任意的复数z，为实数
D．
10．已知函数，则
A．在上单调递减
B．将图象上的所有点向左平移个单位长度后得到的曲线关于y轴对称
C．在上有两个零点
D．
11．数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆任意两条互相垂直的切线的交点都在以原点O为圆心，为半径的圆上，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆C：可以与边长为的正方形的四条边均相切，它的左、右顶点分别为A，B，则
A．
B．若矩形的四条边均与椭圆C相切，则该矩形面积的最大值为12
C．椭圆C的蒙日圆上存在两个点M满足
D．若椭圆C的切线与C的蒙日圆交于E，F两点，且直线OE，OF的斜率都存在，记为，，则为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．的展开式中的系数为______．（用数字作答）
13．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，．则=______．
14．已知圆锥的顶点与底面圆周都在半径为3的球面上，当该圆锥的侧面积最大时，它的体积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（13分）
市场供应的某种商品中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂产品达到优秀等级的概率为90%，乙厂产品达到优秀等级的概率为65%．现有某质检部门对该商品进行质量检测．
（1）若质检部门在该市场中随机抽取1件该商品进行检测，求抽到的产品达到优秀等级的概率；
（2）若质检部门在该市场中随机抽取4件该商品进行检测，设抽到的产品中能达到优秀等级的件数为X，求X的分布列和数学期望．
16．（15分）
如图，在四棱锥中，平面PAD⊥平面ABCD，为等边三角形，，，，，M为PA的中点．
（1）证明：DM⊥平面PAB；
（2）求直线PB与平面MCD所成角的正弦值．
17．（15分）
已知函数．
（1）求的极值；
（2）证明：．
18．（17分）
在直角坐标系xOy中，已知曲线C：过点，且与x轴的两个交点为A，B，．
（1）求C的方程；
（2）已知直线l与C相切．
（i）若l与直线的交点为M，证明：；
（ii）若l与过原点O的直线相交于点P，且l与直线OP所成角的大小为45°，求点P的轨迹方程．
19．（17分）
设，y是不超过x的最大整数，且记，当时，的位数记为例如：，，．
（1）当时，记由函数的图象，直线，以及x轴围成的平面图形的面积为，求，及；
（2）是否存在正数M，对，，若存在，请确定一个M的值，若不存在，请说明理由；
（3）当，时，证明：．