内蒙古自治区呼和浩特市赛罕区第三十五中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式的加法，二次根式的性质，幂的乘方法则，同底数幂的乘法法则逐项计算即可判断．
【详解】解：3和不是同类二次根式，不能合并，故A计算错误，不符合题意；
，故B计算错误，不符合题意；
，故C计算错误，不符合题意；
，故D计算正确，符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查二次根式的加法，二次根式的性质，幂的乘方，同底数幂的乘法．熟练掌握各运算法则是解题关键．
2. 下列二次根式：其中，最简二次根式的个数是（ ）
A. 5B. 4C. 3D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的特征：被开方数不含能开方开的尽的因式或因数，被开方数不含分母，进行判断即可．
【详解】解：中，是最简二次根式的有，共3个；
故选C．
3. 使代数式有意义的x的取值范围是（ ）
A. 且B. 且
C. 且D.
【答案】A
【解析】
【分析】二次根式有意义得1-x≥0，分式有意义，得分母x+1≠0，据此求x的取值范围即可．
【详解】解：根据题意，得
，
解得，x≤1且x≠-1．
故选：A．
【点睛】考查了分式有意义的条件、二次根式的意义的条件．分式有意义的条件：分母不等于零；二次根式的意义条件：二次根式中的被开方数必须是非负数．掌握分式有意义的条件、二次根式的意义的条件是解题的关键．
4. 已知，化简二次根式的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二次根式的性质，根据二次根式的性质进行化简，判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴；
故选A．
5. 如图是用个全等的直角三角形与个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为，小正方形面积为，若用，表示直角三角形的两直角边，下列四个说法：
①；
②；
③；
④．
其中说法正确的是( )
A. ①②④B. ①②③C. ②③④D. ①③④
【答案】B
【解析】
【分析】本题利用了勾股定理、面积分割法等知识．根据大正方形的面积和勾股定理可判断①正确；根据四个三角形的面积+小正方形的面积=大正方形的面积可判断②③正确；根据①③可知即可判断④不正确．
【详解】解：①大正方形的面积是，则其边长是7，利用勾股定理可得，故式①正确；
②小正方形面积为，则其边长是2，
因为是四个全等三角形，所以有，所以，故式②正确；
③根据图形可得四个三角形的面积+小正方形的面积=大正方形的面积，即，化简得，故式③正确；
④因为，所以，故式④不正确．
综上，①②③正确．
故选：B．
6. 如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应﹣3，3，作腰长为4的等腰△ABC，连接OC，以O为圆心，OC长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为（ ）
A. B. 4C. 5D. 2.5
【答案】A
【解析】
【分析】先利用等腰三角形的性质得到OC⊥AB，则利用勾股定理可计算出OC=，然后利用画法可得到OM=OC=，于是可确定点M对应的数．
【详解】解：∵△ABC为等腰三角形，OA=OB=3，
∴OC⊥AB，
在Rt△OBC中，OC==，
∵以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，
∴OM=OC=，
∴点M对应的数为．
故选A．
【点睛】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．也考查了等腰三角形的性质.
7. 下列命题，其中是真命题的为（ ）
A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B. 对角线互相垂直四边形是菱形
C. 对角线相等的四边形是矩形
D. 一组邻边相等的矩形是正方形
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行四边形的判定判断A选项，根据菱形的判定判断B选项，根据矩形的判定判断C选项，根据正方形的判定判断D选项，真命题选择选项说法正确的即可．
【详解】解：A选项，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故A选项错误，不符合题意；
B选项，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B选项错误，不符合题意；
C选项，对角线相等的平行四边形是矩形，故C选项错误，不符合题意；
D选项，一组邻边相等的矩形是正方形，故D选项正确，符合题意
故选D．
【点睛】本题考查了真命题、平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定的知识点，熟练掌握这些判定是解答本题的关键．
8. 如图，矩形的对角线，交于点，，，过点作，交于点，过点作，垂足为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据勾股定理求出AC=BD=10，由矩形的性质得出AO=5，证明得到OE的长，再证明可得到EF的长，从而可得到结论．
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
，
，
，
，，
，
，
，
又，
，
，
，
，，
，
同理可证，，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质和相似三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解答此题的关键．
9. 在周长为的正方形中，点是边的中点，点为对角线上的一个动点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由于点B与点D关于AC对称，所以连接DE，交AC于点P，此时BP＋PE最小为线段DE的长，在Rt△DAE中，由勾股定理先计算出DE的长度即可．
【详解】连接DE，与AC的交点为P，此时BP＋PE最小，
∵四边形ABCD是正方形，且周长为8，
∴AC⊥BD，BO＝OD，AD＝AB＝2，
∴点B与点D关于AC对称，
∴BP＝DP，
∴BP＋PE＝DP＋PE＝DE，
∵E是AB的中点，
∴AE＝AB＝1，
在Rt△ADE中，DE2＝AD2＋AE2，
∴DE＝＝，
故选C．
【点睛】此题考查轴对称问题，根据两点之间线段最短，确定点P的位置是解题关键．
10. 如图，分别是的中点，且，下列结论；①；②四边形是矩形；③平分；④；⑤四边形的周长等于，其中正确的个数是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了三角形中位线定理、菱形的判定与性质，由三角形中位线定理得出，，，，证明四边形是菱形即可判断②，由菱形的性质即可判断①③⑤，没有条件可证明即可判断④，熟练掌握以上知识点并灵活运是解此题的关键．
【详解】解：分别是的中点，
，，，，
，
，
四边形是菱形，故②错误，不符合题意；
，平分，四边形的周长等于，故①③⑤正确，符合题意，
没有条件可证明，故④错误，不符合题意；
综上所述，正确的有①③⑤，共个，
故选：B．
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11. 计算：__________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了负整数指数幂、二次根式的混合运算、分母有理化，先根据负整数指数幂和二次根式的性质进行化简，再进行分母有理化即可．
【详解】解：，
故答案为：．
12. 如图，菱形ABCD中，AC交BD于O，DE⊥BC于E，连接OE，若∠ABC=140°，则∠OED= _____．
【答案】20°
【解析】
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴DO=OB，∵DE⊥BC于E，∴OE为直角三角形BED斜边上的中线，∴OE=BD，∴OB=OE，∴∠OBE=∠OEB，∵∠ABC=140°，∴∠OBE=70°，∴∠OED=90°﹣70°=20°，故答案为20°．
点睛：本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上中线的性质，得到OE为直角三角形BED斜边上的中线是解题的关键．
13. 如图，菱形的对角线相交于点O，点E在上，连接，点F为的中点，连接．若，则线段的长为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，三角形的中位线定理，根据菱形的性质和勾股定理，求出的长，进而求出的长，再利用勾股定理求出的长，三角形的中位线定理求出线段的长即可．
【详解】解：∵菱形的对角线相交于点O，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点F为的中点，，
∴；
故答案为：．
14. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点D在x轴上，边在y轴上，若点A的坐标为，则点B的坐标为___________．
【答案】
【解析】
【分析】由点A的坐标为，求出，在中，利用勾股定理求出即可解决问题．
【详解】解：∵，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标与图形，菱形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
15. 如图，正方形ABCD的边长为8，点E是CD的中点，HG垂直平分AE且分别交AE、BC于点H、G，则BG＝________．
【答案】1
【解析】
【分析】连接AG，EG，根据线段垂直平分线性质可得AG=EG，由点E是CD的中点，得CE=4，设BG=x，则CG=8-x，由勾股定理，可得出（8-x）2+42=82+x2，求解即可．
【详解】解：连接AG，EG，如图，
∵HG垂直平分AE，
∴AG=EG，
∵正方形ABCD的边长为8，
∴∠B=∠C=90°，AB=BC=CD=8，
∵点E是CD的中点，
∴CE=4，
设BG=x，则CG=8-x，
由勾股定理，得
EG2=CG2+CE2=（8-x）2+42，AG2=AB2+BG2=82+x2，
∴（8-x）2+42=82+x2，
解得：x=1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查正方形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理及其运用是解题的关键．
16. 如图，正方形的边长为6，点E，F分别在上，，连接与相交于点G，连接，取的中点H，连接，则的长为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质等．
先用勾股定理求出的长，证明，推出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半进行求解即可．
【详解】解：∵正方形的边长为6，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵取的中点H，连接，
∴；
故答案为：．
三、计算题：本大题共1小题，共8分．
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则以及运算顺序是解此题的关键．
（1）先利用二次根式的性质进行化简，再计算加减即可；
（2）根据二次根式的混合运算法则计算即可得出答案．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
三、解答题：本题共5小题，共36分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
18. 已知，，求下列各式的值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，分母有理化：
（1）先利用分母有理化法则求出，进而得到，，再根据完全平方公式的变形求解即可；
（2）根据进行求解即可．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，，
，，
∴；
【小问2详解】
解：
．
19. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个顶点叫做格点．
（1）在图1中以格点为顶点画一个面积为10的正方形；
（2）在图2中以格点顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2，，；
（3）如图3中是不是直角？请说明理由．
【答案】（1）图见解析
（2）图见解析 （3）是直角
【解析】
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，正方形的性质．解题的关键是能够利用勾股定理求出网格中线段的长度．
（1）根据面积为10的正方形的边长为结合勾股定理和正方形的性质画图即可；
（2）由勾股定理画图即可；
（3）由勾股定理求出各边长，再根据勾股定理逆定理判断即可．
【小问1详解】
解：面积为10的正方形的边长为，
∵，
∴如图1所示的四边形即为所求；
【小问2详解】
解：∵，，
∴如图2所示的三角形即为所求；
【小问3详解】
解：是直角，理由如下：
如图3： ，
，
，
∵，即，
∴为直角三角形，且．
20. 如图，四边形是正方形．G是上的任意一点，于点E，，且交于点F．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】由“AAS”可证△DAE≌△ABF，由全等三角形的判定和性质可得AE=BF，DE=AF，即可得结论．
【详解】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABC=∠BAD=90°，
∵DE⊥AG，
∴∠AED=∠DEF=90°，
∵BF∥DE，
∴∠AFB=∠DEF=∠DEA=90°，
∴∠BAF+∠DAE=∠ADE+∠DAE=90°，
∴∠BAF=∠ADE，
在△ABF和△DAE中，
，
∴△DAE≌△ABF（AAS）；
∴AE=BF，DE=AF，
∵AF-AE=EF，
∴DE-BF=EF
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并确定出△ABF和△DAE全等是解题的关键，也是本题的难点．
21. 如图，某沿海城市A接到台风警报，在该城市正南方向260 km的B处有一台风中心，沿BC方向以15 km/h的速度向C移动，已知城市A到BC的距离AD＝100 km，那么台风中心经过多长时间从B点移动到D点？如果在距台风中心30 km的圆形区域内都将受到台风的影响，正在D点休息的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可以免受台风的影响？
【答案】在接到台风警报后的14 h内撤离才可以免受台风的影响．
【解析】
【分析】首先根据勾股定理计算BD的长，再根据时间=路程÷速度计算从B点移动到D点所用时间；根据在30千米范围内都要受到影响，先求出从点B到受影响的距离与结束影响的距离，再根据时间=路程÷速度计算，然后求出时间段即可．
【详解】根据题意，画图得：
在Rt△ABD中，∵AB＝260 km，AD＝100 km，

∴台风中心从B点移动到D点所用的时间为
在D点休息的游人应在台风中心距D点30 km前撤离，30÷15＝2(h)，16－2＝14(h)．
答：在接到台风警报后的14 h内撤离才可以免受台风的影响．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是利用勾股定理求出BD的长度，难度一般．
22. 如图，在平行四边形中，O是的中点，连接延长交的延长线于E，过点B作的平行线交的延长于点F．
（1）证明：；
（2）若是的角平分线，请判断四边形是什么特殊四边形，请说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）四边形是矩形，理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形判定与性质、全等三角的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、矩形的判定等知识点，灵活运用相关性质、判定定理是解题的关键．
（1）由为平行四边形的性质可得、,进而证得，然后结合中点的定义、对顶角相等运用即可证明结论；
（2）由全等三角形的性质可得，再证四边形为平行四边形可得，进而得到；然后证明四边形为平行四边形；再根据角平分线的性质及证即，再结合运用等腰三角形三线合一的性质可得，最后根据有一个内角是直角的平行四边形是矩形即可．
【小问1详解】
证明：∵四边形为平行四边形，
∴，,
∴，
∴，
∵O是中点，
∴，
在和中，
，
∴．
【小问2详解】
解：四边形是矩形，理由如下：
∵，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形，,
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵是的角平分线，
∴，
∵,
∴，
∴,
∵，
∴，即，
∵四边形为平行四边形，
∴四边形为矩形．
23. 如图，在四边形中，，，．延长到，使，连接，由直角三角形的性质可知．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿向终点运动，设点运动的时间为秒．
（1）当时， ．
（2）当 时，点运动到角平分线上；
（3）请用含的代数式表示的面积；
（4）当从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着向终点运动，连接，设点的运动时间为秒，是否存在，使为等腰三角形？若存在，请直接写出的值，若不存在，说明理由．
【答案】（1）
（2）当时，点运动到的角平分线上
（3）
（4）当或或时，为等腰三角形
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的定义、矩形的判定与性质、等腰三角形的定义、一元一次方程的应用、勾股定理、三角形面积公式等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
（1）根据题意可得，进而即可得出答案；
（2）作的角平分线交于，证明出，得出，求出，得出，求解即可；
（3）分三种情况：当点上运动时；当点在上运动时；当点在上运动时；分别利用三角形面积公式求解即可；
（4）分三种情况：当时；当时；当时；分别建立方程求解即可．
【小问1详解】
解：当时，；
【小问2详解】
解：如图，作的角平分线交于，
，
则，
，
四边形为矩形，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
当时，点运动到的角平分线上，
【小问3详解】
解：当点在上运动时，，
；
当点在上运动时，；
当点在上运动时，，
；
综上所述，；
【小问4详解】
解：，，
，
由题意得：，则
为等腰三角形，
当时，
，
，
，即，
解得：；
当时，
，
，即，
解得：；
当时，
，
，
，
，
，
，
解得：；
综上所述，当或或时，为等腰三角形．