四川省成都金苹果锦城第一中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试卷

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1．A
【分析】由复数的乘法运算求出z，即可得复数对应的点，判断即可.
【详解】因为z=1+i2-i=2-i+2i-i2=3+i，
所以对应点坐标为3,1，该点在第一象限，
故选：A.
2．D
【分析】根据所给条件可得出x1+x22=8.7，再由x1,x2的范围验证选项即可得解.
【详解】因为去掉最高分与最低分后平均分为8.1+8.4+8.5+9.0+9.55=8.7，
所以x1+8.1+8.4+8.5+9.0+9.5+x27=8.7，
解得x1+x22=8.7，
由于得分按照从低到高的顺序排列的，故x1≤8.1，9.5≤x2≤10，
当x1=7.7时，x2=9.7，满足上述条件，故A错误；当x1=7.8时，x2=9.6，满足上述条件，故B错误；当x1=7.9时，x2=9.5，满足上述条件，故C错误；当x1=8.0时，x2=9.4，不满足上述条件，故D正确.
故选：D
3．B
【分析】根据直线和平面，平面和平面的位置关系，依次判断充分性和必要性得到答案.
【详解】两个不同的平面α，β，直线m⊥平面β，
当α⊥β时，m⊂α或m∥α，不充分；当m∥α时，α⊥β，必要.
故选：B.
4．D
【分析】根据给定条件，设出球半径，求出圆柱及内切球的体积即可计算作答.
【详解】设圆柱的内切球半径为R，则圆柱底面圆半径为R，高为2R，
所以圆柱的体积与球的体积之比为πR2⋅2R4π3R3=32.
故选：D
5．B
【分析】由三视图可得此几何体是上下均为正方形的台体，然后根据棱台的体积公式列方程可求得结果.
【详解】此几何体是上下均为正方形的台体，上底面面积为S1=192=361，下底面面积为S2=102=100，
设高为h，由台体体积公式，得V台=13S1+S2+S1S2h≈2000，
所以13×361+100+190h≈2000，解得h≈9.2.
所以其高约为9厘米，
故选：B.
6. D
【分析】计算出事件“t＝12”的概率可判断A；根据对立事件的概念，可判断B；根据互斥事件的概念，可判断C；计算出事件“t＞8且mn＜32”的概率可判断D；
【详解】连掷一枚均匀的骰子两次，
所得向上的点数分别为m，n，则共有6×6=36个基本事件，
记t＝m＋n，
则事件“t＝12”必须两次都掷出6点，则事件“t＝12”的概率为136，故A错误；
事件“t是奇数”与“m＝n”为互斥不对立事件,如事件m=3,n=5，故B错误；
事件“t＝2”与“t≠3”不是互斥事件，故C错误；
事件“t＞8且mn＜32”有
m=3n=6,m=4n=5,m=4n=6,m=5n=4,m=5n=5,m=5n=6,m=6n=3,m=6n=4,m=6n=5共9个基本事件，
故事件“t＞8且mn＜32”的概率为14，故D正确；
故选：D．
7．A
【分析】由条件结合诱导公式化简可得sinβ，根据“广义互余”的定义结合诱导公式同角关系判断各选项的对错.
【详解】若α+β=π2，则β=π2-α，
所以sinβ=sinπ2-α=csα=±154，故选项A符合条件；
csπ+β=-csπ2-α=-sinα=-14，故选项B不符合条件；
tanβ=155，即sinβ=155csβ，又sin2β+cs2β=1，∴sinβ=±64，故选项C不符合条件.
tanβ=1515，即15sinβ=csβ，又sin2β+cs2β=1，∴sinβ=±14，故选项D不符合条件；
故选：A.
8．D
【分析】根据互斥事件、对立事件、相互独立事件的知识确定正确答案.
【详解】设白球编号为1,2,3，黑球的编号为4,5，
从坛子中不放回地取球2次，基本事件有A52=20，
PA1=PA2=35，PA1A2=A32A52=620=310,
PA1A2≠PA1PA2，所以A1和A2是不相互独立的事件.
基本事件包括“第1次取到白球，第2次取到白球”，即A1和A2可以同时发生，
所以A1和A2不是互斥，也不是对立事件.
故选：D
9．BD
【分析】根据得意求出抽样比，进一步即可判断A，B，D；算出样本中的近视人数即可判断C.
【详解】由题意，抽样比为2000120000+75000+55000=1125，则B正确；
从高中生中抽取了55000×1125=440人，A错误；
高中生近视人数约为：55000×80%=44000人，D正确；
学生总人数为：250000人，小学生占比：120000250000=1225，同理，初中生、高中生分别占比：310，1150，在2000的样本中，小学生、初中生和高中生分别抽取：960人，600人和440人，则近视人数为：960×30%+600×70%+440×80%=1060人，所以估计该地区中小学总体的平均近视率为：10602000=53%，C错误.
故选：ABD.
10．BCD
【分析】根据正方体的平面展开图还原正方体，利用正方体的性质，结合异面直线的位置关系，线面位置关系及面面平行的性质依次判断各项正误.
【详解】
如图，把正方体的平面展开图还原成正方体ADBG-FCEH.
在正方体ADBG-FCEH中，可知AC//EG,AC=EG=EF=FG，
故异面直线AC与EF所成的角即为EG与EF所成的角为60°，故A项错误；
同理，EF与BC所成的角即为FG与EF所成的角为60°，故B项正确；
在正方体ADBG-FCEH中，AC=CH，HC⊥EF，HC⊥EB，EF∩EB=E，故HC⊥平面ABEF，则点C到平面ABE的距离为12HC=12AC，
设直线AC与平面ABE所成的角为θ，则sinθ=12HCAC=12，故θ=30°，故C项正确；
在正方体ADBG-FCEH中，AC//EG,AB//EF,AC∩AB=A,EG∩EF=E，
则平面ABC//平面EFG，平面EFG∩平面CEF于直线EF，平面ABC∩平面CEF=l，故直线EF∥直线l，故D项正确.
故选：ABD.
11．BC
【分析】利用正弦定理结合正弦函数的性质可判断A；根据边角关系判断三角形解的个数可判断B； 由已知得π2>A>π2-B>0，结合正弦函数性质可判断C；利用二倍角的余弦公结合余弦定理可判断D.
【详解】对于A，由正弦定理可得sinAcsA=sinBcsB，∴sin2A=sin2B，∴A=B或2A+2B=180∘即A+B=90∘，∴△ABC为等腰或直角三角形，故A错误；
对于B，asinB=40sin25∘<40sin30∘=40×12=20，即asinB对于C，∵ △ABC是锐角三角形，∴A+B>π2，即π2>A>π2-B>0，由正弦函数性质结合诱导公式得sinA>sinπ2-B=csB，故C正确；
对于D，利用二倍角的余弦公式知1-2sin2A+1-2sin2B-1+2sin2C<1，即sin2A+sin2B-sin2C>0，即a2+b2-c2>0，∴csC>0，即C为锐角，不能说明△ABC为锐角三角形，故D错误.
故选：BC
【点睛】方法点睛：在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：
（1）若式子含有sinx的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；
（2）若式子含有a,b,c的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；
（3）若式子含有csx的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；
12．ABD
【分析】构造线面角∠PA1E，由已知线段的等量关系求tan∠PA1E=EPAE的值即可判断A的正误；利用线面垂直的性质，可证明A1P⊥OB1即可知B的正误；由中位线的性质有PQQA1=12可知C的正误；由直线的平行关系构造线线角为∠B1A1P，结合动点P分析角度范围即可知D的正误
【详解】直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，AB=BC=BB1
选项A中，当点P运动到BC1中点时，有E为B1C1的中点，连接A1E、EP，如下图示
即有EP⊥面A1B1C1
∴直线A1P与平面A1B1C1所成的角的正切值：tan∠PA1E=EPAE
∵EP=12BB1，AE=A1B12+B1E2=52BB1
∴tan∠PA1E=55，故A正确
选项B中，连接B1C，与BC1交于E，并连接A1B，如下图示
由题意知，B1BCC1为正方形，即有B1C⊥BC1
而AB⊥BC且ABC-A1B1C1为直三棱柱，有A1B1⊥面B1BCC1，BC1⊂面B1BCC1
∴A1B1⊥BC1，又A1B1∩B1C=B1
∴BC1⊥面A1B1C，OB1⊂面A1B1C，故BC1⊥OB1
同理可证：A1B⊥OB1，又A1B∩BC1=B
∴OB1⊥面A1BC1，又A1P⊂面A1BC1，即有A1P⊥OB1，故B正确
选项C中，点P运动到BC1中点时，即在△A1B1C中A1P、OB1均为中位线
∴Q为中位线的交点
∴根据中位线的性质有：PQQA1=12，故C错误
选项D中，由于A1B1//AB，直线A1P与AB所成角即为A1B1与A1P所成角：∠B1A1P
结合下图分析知：点P在BC1上运动时
当P在B或C1上时，∠B1A1P最大为45°
当P在BC1中点上时，∠B1A1P最小为arctan22>arctan33=30°
∴∠B1A1P不可能是30°，故D正确
故选：ABD
【点睛】本题考查了利用射影定理构造线面角，并计算其正弦值；利用线面垂直证明线线垂直；中位线的性质：中位线交点分中位线为1：2的数量关系；由动点分析线线角的大小
13．4π9/49π
【分析】根据扇形的面积公式求得扇形的弧长，列出方程求得圆锥底面圆的半径，进而求得底面面积.
【详解】由题意，半径为2，圆心角为2π3的扇形的弧长为l=2π3×2=4π3，
设卷成后的圆锥的底面圆的半径为r，则2πr=4π3，解得r=23，
所以圆锥底面圆的面积为S=πr2=4π9.
故答案为：4π9.
14．23
【分析】由题知AM=λAC+1-λAB，BN=12AC-AB，进而根据题意，结合向量数量积运算律得λ=23.
【详解】解：因为BM=λBC,N为AC中点，
所以，AM=AB+BM=AB+λBC=AB+λAC-AB=λAC+1-λAB，
BN=BA+AN=BA+12AC=12AC-AB，
因为AB=3,AC=2,∠BAC=120∘，AM⋅BN=-16
所以AM⋅BN=λAC+1-λAB⋅12AC-AB=-16，
因为AC⋅AB=AC⋅ABcs∠BAC=-3
所以，2λ+3λ-3-3λ2-91-λ=-16，解得λ=23.
故答案为：23
15．60
【分析】先判断更正前后平均分没有变化都是80分，再根据方差的概念先表示出更正前的方差和更正后的方差，比较其异同，然后整体代入即可求解.
【详解】因为甲实得80分，记为60分，少记20分，乙实得70分，记为90分，多记20分，
所以总分没有变化，因此更正前后的平均分没有变化，都是80分，
设甲乙以外的其他同学的成绩分别为a3,a4,...,a40，
因为更正前的方差为70，
所以60-802+90-802+a3-802+...+a40-802=70×40，
所以a3-802+...+a40-802=2800-400-100=2300，
更正后的方差为：
s2=80-802+70-802+a3-802+...+a40-80240=100+230040=60，
所以更正后的方差为60，
故答案为：60.
16．23
【解析】过B作BD'//CD，由题设知四边形BO'OE为矩形且BC⊥面ABD'，根据△ABD'外接圆圆心与四面体A-BCD外接球球心以及BC的关系即可求△ABD'外接圆半径，利用余弦定理求AD'，并得到a2+b2-ab=12(BD'=a,AB=b)，而四面体A-BCD的体积V=3ab6，结合基本不等式即可求体积最大值.
【详解】四面体A-BCD中，AB⊥BC，CD⊥BC，异面直线AB和CD所成的角为60°，可得如下示意图：过B点作BD'//CD且BD'=CD，连接DD'，

则有∠ABD'=60°且BC⊥面ABD'，
如下图，若O'为△ABD'外接圆圆心，则可找到外接球圆心O，E为BC的中点，即OE⊥BC,BE=EC=1，外接球半径为OC=5，
∴四边形BO'OE为矩形，OE=O'B=OC2-EC2=2，
∴在平面ABD'中有O'B=O'A=O'D'=2,∠AO'D'=120°，可得AD'=23，
令BD'=a,AB=b，则四面体A-BCD的体积V=13×bsin60°×12×2×a=3ab6，
而由余弦定理知：a2+b2-2abcs60°=AD'2=12，即ab≤12当且仅当a=b时等号成立，所以V=3ab6≤23，
故答案为：23.
【点睛】思路点睛：
1、由已知线线垂直关系，可知线面垂直：BC⊥面ABD'，以及面面垂直：面BO'OE⊥面ABD'；
2、由上述垂直关系，结合△ABD'外接圆圆心，即可根据在四面体A-BCD外接球半径求得△ABD'外接圆半径；
3、在△ABD'中利用余弦定理得到AD'，以及另两边a，b与AD'的数量关系，应用体积公式用a，b表示四面体的体积，结合基本不等式求最值.
17．（1）设工作人员提供的5道灯谜题目为a，b，c，x，y，甲能答对的题目为x，y.
从这5道题目中随机选取2道，总的事件有ab，ac，ax，ay，bc，bx，by，cx，cy，xy，共10种情况，
甲2道题目全答对的事件有xy这1种情况，故甲能获得奖品的概率为110.
（2）因为甲不能获得奖品的概率为710，所以甲能获得奖品的概率为1-710=310.
设甲能答对所提供灯谜题目的数量为n，由（1）可知，n≥3.
若n=3，不妨设甲能答对的题目为a，b，c，
则甲2道题目全答对的事件有ab，ac，bc，共3种情况，
甲能获得奖品的概率为310，符合题意，
故甲能答对所提供灯谜题目的数量为3.
18．(1)28
(2)12
【分析】（1）若选①则根据余弦定理得accsB=1，且csB>0，于是利用平方公式得csB，即可得ac的值，再根据面积公式即可得△ABC的面积；若选②根据向量数量积定义得AB⋅BC =-accsB，且csB>0，于是利用平方公式得csB，即可得ac的值，再根据面积公式即可得△ABC的面积；
（2）由正弦定理得即可求得b的值.
【详解】（1）若选①a2-b2+c2=2，由余弦定理得csB=a2+c2-b22ac，整理得accsB=1，则csB>0，
又sinB=13，则csB=1-132=223，ac=1csB=324，则S△ABC=12acsinB=28；
若选②AB⋅BC=-1<0，则csB>0，又sinB=13，则csB=1-132=223，
又AB⋅BC =-accsB，得ac=1csB=324，则S△ABC=12acsinB=28；
（2）由正弦定理得：bsinB=asinA=csinC，则b2sin2B=asinA⋅csinC=acsinAsinC=32423=94，则bsinB=32，b=32sinB=12．
19．（1）f(x)=4sin2x+π3；（2）t∈-27,1-143∪1+143,29.
【分析】（1）根据正弦型函数的性质得出A=4,T=π，由周期公式得出ω=2，由函数的最大值得出π6+φ=π2+2kπ,k∈Z，结合φ<π，整理得出该函数的解析式；
（2）将函数hx的零点转化为方程4sin2x+π3=t-17在区间-π2,π6上有两个实根，由x∈-π2,π6得出2x+π3∈-2π3,2π3，结合函数y=sinx在区间-2π3,2π3上的单调性，确定t-17的范围，整理得出实数t的取值范围.
【详解】（1）由题意知A=4，T2=7π12-π12=π2，得周期T=π，∴ω=2πT=2
当x=π12时，f(x)取得最大值4，即4sin2×π12+φ=4，得sinπ6+φ=1，
得π6+φ=π2+2kπ,k∈Z，得φ=π3+2kπ,k∈Z，
又∵ |φ|<π，∴当k=0时，φ=π3，
即f(x)=4sin2x+π3．
（2）由已知h(x)=7f(x)+1-t=0在区间-π2,π6上有两个实根，即方程4sin2x+π3=t-17在区间-π2,π6上有两个实根.
∵x∈-π2,π6，∴2x+π3∈-2π3,2π3，∴sin2x+π3∈-1,1，∴4sin2x+π3∈-4,4
由于函数y=sinx在区间-2π3,-π2上单调递减，在区间-π2,π2上单调递增，在区间π2,2π3上单调递减，
又当2x+π3=-2π3时，4sin-2π3=-23，当2x+π3=-π2时，4sin-π2=-4
当2x+π3=π2时，4sinπ2=4，当2x+π3=2π3时，4sin2π3=23，如图所示：
又∵方程有两个实根，∴t-17∈-4,-23或t-17∈23,4
得t∈-27,1-143或t∈1+143,29，
即实数t的取值范围是：t∈-27,1-143∪1+143,29
【点睛】易错点睛：本题主要考查了由正弦函数的性质求函数的解析式以及由函数零点个数求参数的范围，考查运算求解能力，注意零点问题，区间端点开闭问题，是易错题，属于中档题.
20．(1)假设在线段上存在点，使得平面，
连接，取中点，连接，则,
连接并延长交于点，连接，则平面.
在中，设，则
因为，，三点共线，所以，
，.
(2)
解：由于是的中点，且，
可知为直角三角形，，
因为，则为等腰直角三角形，CE⊥BD，
平面平面，平面，.
设，则，，，
所以是等腰三角形，,
由，可知DF=.
平面，平面平面，
过点作交延长线于点，，，
则平面，
连接，则即为直线与平面所成的角
在中，，，.
直线与平面所成角的正弦值为.
21。(1)0.06；(2)平均数为174.1，中.数为174.5；(3)PE=715．
【分析】(1)由频率分布直方图的性质求第七组的频率；
(2)根据平均数和中位数的定义利用频率分布直方图求平均数和中位数；
(3)确定样本空间，利用古典概型概率公式求概率.
【详解】解：(1)第六组的频率为450=0.08，
∴第七组的频率为1-0.08-5×0.008×2+0.016+0.04×2+0.06=0.06．
(2)由直方图得，身高在第一组155,160的频率为0.008×5=0.04，
身高在第二组160,165的频率为0.016×5=0.08，
身高在第三组165,170的频率为0.04×5=0.2，
身高在第四组170,175的频率为0.04×5=0.2，
由于0.04+0.08+0.2=0.32<0.5，0.04+0.08+0.2+0.2=0.52>0.5，
设这所学校的800名男生的身高中位数为m，则170由0.04+0.08+0.2+m-170×0.04=0.5得m=174.5，
所以这所学校的800名男生的身高的中位数为174.5cm，平均数为
157.5×0.04+162.5×0.08+167.5×0.2+172.5×0.2+177.5×0.06×5+182.5×0.08+187.5×0.06+ 192.5×0.008×5=174.1．
(3)第六组180,185的抽取人数为4，设所抽取的人为a，b，c，d，
第八组190,195的抽取人数为0.008×5×50=2，设所抽取的人为A，B，
则从中随机抽取两名男生有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，aB，bA，bB，cA，cB，dA，dB，AB共15种情况，
因事件E=x-y≤5发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，所以事件E包含的基本事件为ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7种情况．所以PE=715．
22．（1）证明见解析；（2）；（3）不存在，理由见解析.
【详解】
（1）证明：因为在正四棱锥中，为底面正方形的中心，
所以平面，平面，所以，
因为正四棱锥的底面为正方形，所以，
又，，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面．
（2）取的中点，连接，，
可得，，
所以即为侧面与底面所成的二面角的平面角，
所以，
设正四棱锥底面边长为2，则，所以，，
由平面，可得侧棱与底面所成的角为，
所以，
即侧棱与底面所成的角的正切值为．
（3）延长交于，取中点，连接，．
因为，，
所以平面，
所以平面平面．
又，，
所以为正三角形．
所以．又平面平面，
所以平面．
假设在棱上存在一点，使侧面，
则，
因为，平面，平面，
所以平面，又平面平面，
平面，所以，则，
因为为的中点，则为的中点，与已知矛盾，
故假设不成立，
所以在棱上不存在一点，使侧面．