2022-2023学年四川省成都市树德中学高二上学期期中考试数学（理）试题

树德中学外国语校区高2021级秋期半期考试

（理科）数学试题

一、选择题（每题5分，每题只有一个正确的选项）

1．以椭圆的左焦点为焦点的抛物线的标准方程是（）．

A．  B．  C．  D．

2．曲线（）．

A．关于x轴对称      B．关于y轴对称

C．关于原点对称      D．不具有对称性

3．已知圆，圆，动圆M与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心M的轨迹方程为（）．

A．      B．

C．      D．

4．已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的焦距为（）．

A．7    B．14    C．    D．

5．已知命题，﹔命题﹐，则下列命题中为真命题的是（）．

A．   B．   C．   D．

6．直线l过点与圆C交于A，B且，则直线l的方程为（）．

A．    B．或

C．      D．或

7．执行如图的程序框图，如果输入的，那么输出的S的最大值为（）．

A．0    B．1    C．2    D．3

8．若椭圆的动弦AB斜率为1，则弦中点坐标可能是（）．

A．   B．   C．   D．

9．已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P、A分别在直线l、抛物线C上运动，且，则（O为坐标原点）的最小值为（）．

A．8    B．   C．    D．6

10．在棱长为2的正四面体ABCD中，点P为所在平面内一动点，且满足，则PD的最大值为（）．

A．3    B．   C．   D．2

11．已知圆，，过圆上一点P作圆的两条切线，切点分别是E、F，则的最小值是（）．

A．6    B．5    C．4    D．3

12．设，是双曲线的左､右焦点，过作C的一条渐近线的垂线l，垂足为H，且l与双曲线右支相交于点P，若，且，则下列说法正确的是（）．

A．到直线l的距离为a      B．双曲线的离心率为

C．的外接圆半径为    D．的面积为9

二、填空题（每题5分，请将正确的答案填写在答题卡的对应位置）

13．若4进制数（m为正整数）化为十进制数为177，则m＝______．

14．设；．若是的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是______．

15．已知M为抛物线上一点，过抛物线C的焦点F作直线的垂线，垂足为N，则的最小值为______．

16．已知P是椭圆和双曲线的交点，，是，的公共焦点，，分别为，的离心率，若，则的最大值为______．

三、解答题（本题共6个小题，共70分，请写出必要的推理与演算过程）

17．（本题满分10分）

已知命题p：“方程表示双曲线”，命题q：方程表示椭圆”．

（1）若为真命题，求m的取值范围；

（2）若为真命题，求m的取值范围．

18．（本题满分12分）

已知圆C的圆心在第一象限且在直线上，与x轴相切，被直线截得的弦长为．

（1）求圆C的方程；

（2）由直线上一点P向圆C引切线，A，B是切点，求四边形PACB面积的最小值．

19．（本题满分12分）

已知平面内两个定点，，过动点M作直线AB的垂线，垂足为N，且．

（1）求点M的轨迹E的方程；

（2）若直线与曲线E有且仅有一个交点，求实数k的取值范围．

20．（本题满分12分）

已知椭圆的左右顶点分别为A，B，点P为椭圆上异于A，B的任意一点．

（1）求直线PA与PB的斜率之积；

（2）任意过，且与x轴不重合的直线交椭圆E于M，N两点，证明：以MN为直径的圆恒过点A．

21．（本题满分12分）

设抛物线的准线为l，A、B为抛物线上两动点，于，定点使有最小值．

（1）求抛物线的方程；

（2）当（且）时，是否存在一定点T满足为定值？若存在，求出T的坐标和该定值；若不存在，请说明理由．

22．（本题满分12分）

已知椭圆的离心率为，设是C上的动点，以M为圆心作一个半径的圆，过原点作该圆的两切线分别与椭圆C交于点P、Q，若存在圆M与两坐标轴都相切．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线OP，OQ的斜率都存在且分别为，，求证：为定值；

（3）证明：为定值？并求的最大值．

参考答案

1．C 2．C 3．D 4．B 5．A 6．D 7．C 8．B 9．B 10．B

11．A 12．B

13．3  14．  15．   16．

17．解（1）若p为真，有，即；

若q为真，则有，即．

若为真，则有，即．

（2）若p为真，有，即；

若q为真，则有，即．

若为真，则有，即．

18．【详解】（1）依题意，设圆C的圆心坐标为，，半径为，

到直线的距离为，

所以，解得，

所以圆C的方程为．

（2）由（1）得，圆C的圆心为，半径，

，所以当最小时，最小．

到直线的距离为，

所以的最小值为，

所以四边形PACB面积的最小值为．

19．解（1）设点M坐标为，

则，，，，

∵，∴，即，

∴点M的轨迹方程为．

（2）∵将直线方程与曲线方程联立，∴，

①当，即时，直线l与曲线E渐近线平行，满足；

②当时，直线l与曲线E相切，满足题意，解得．

综上，k的取值范围为或．

20．解：（1），．

设点，则有，即，

所以．

（2）证明：设，，

因为MN与x轴不重合，所以设直线，

由化简得；

由题意可知成立，且；

所以，即以MN为直径的圆恒过点A．

21．解（1）设抛物线焦点为F，有，得，

则抛物线的方程为．

（2）∵，∴K、A、B三点共线．

∴设直线AB方程为，

设，，，联立

得，，

，且有，

而

为满足题设，

取，可得，

即存在定点，使得为定值．

22．（1）由椭圆的离心率，则，

又存在与两坐标轴都相切，则此时圆心，

代入，解得：，则，

∴椭圆方程：．

（2）因为直线，与圆M相切，

由直线与圆联立，

可得，

同理，

由判别式为0，可得，是方程的两个不相等的实数根，

∴，

因为点在椭圆C上，所以，所以．

（3）当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，

设，，

因为，所以，

因为，在椭圆C上，

所以，整理得，

所以，所以．

当直线落在坐标轴上时，显然有，

综上，，所以，

所以的最大值为．