陕西省咸阳市渭城区第二初级中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共4页，总分120分．考试时间120分钟．
2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名、班级和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）．
3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效．
4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑．
5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题 共24分）
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1. 计算：的结果为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，掌握同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键．
根据同底数幂的乘法和幂的乘方进行计算即可求解．
【详解】
．
故选：C．
2. 如图，直线，，相交于点，直线与相交，则和的位置关系是（ ）
A. 对顶角B. 同位角C. 内错角D. 同旁内角
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了“三线八角”，熟练掌握同位角、内错角、同旁内角的图形特征是解题的关键．
结合图形，根据同位角、内错角、同旁内角的概念进行判断即可．
【详解】根据题意可得，和的位置关系是同位角．
故选：B．
3. 如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽站在点A处，她觉得沿AP走过斑马线到达马路边BC更节省时间，这一想法体现的数学依据是（ ）
A. 两点之间，线段最短
B. 两点确定一条直线
C. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D. 垂线段最短
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查垂线的性质，解题的关键是掌握垂线段最短．
根据垂线的性质进行解答即可．
【详解】解：A、连接两点的所有线中，线段最短，故A不符合题意；
B、两点确定一条直线，是直线的性质，故B不符合题意．
C、垂线的性质，故C不符合题意；
D、直线外一点到这条直线上各点的连线中，垂线段最短，故D符合题意；
故选：D．
4. 下列等式中，能成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析】利用完全平方公式和平方差公式进行计算，即可作出判断．
【详解】解：A、 ，故选项错误；
B、，故选项错误；
C、，故选项正确；
D、，故选项错误．
故选：C
【点睛】本题考查完全平方公式和平方差公式，熟记公式是解题的关键．
5. 某日广东省遭受台风袭击，大部分地区发生强降雨．某条河流因受到暴雨影响，水位急剧上升，下表为这一天的水位记录，观察表中数据，水位上升最快的时间段是（ ）
A. 8时到12时B. 12时到16时
C. 16时到20时D. 20时到24时
【答案】D
【解析】
【分析】根据表中数据计算出每个选项中水位上升的速度即可.
【详解】A选项，水位上升的速度为：（4–3）÷（12–8）=0.25米/时，
B选项，水位上升的速度为：（5–4）÷（16–12）=0.25米/时，
C选项，水位上升的速度为：（6–5）÷（20–16）=0.25米/时，
D选项，水位上升的速度为：（8–6）÷（24–20）=0.5米/时，
故选D．
【点睛】本题考查了函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法．根据表中数据计算出每个选项中水位上升的速度是解答本题的关键.其特点分别是：①列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；②解析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；③图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律．
6. 已知与互补，与互余，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查余角和补角，熟练掌握余角和补角的意义是解决问题的关键．
与互补，与互余，列出关系式，然后根据求出，即可求出的度数．
【详解】解：∵与互补，与互余，
，
，
，
．
故选：B．
7. 若，则等于（ ）
A. 2B. 1C. 0D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查多项式乘多项式，解题的关键是熟练运用多项式乘多项式的运算．
根据多项式乘多项式的法则即可求出答案．
【详解】解：由于，
，
，
，
，
故选：D．
8. 研究表明，当潮水高度不低于时，货轮能够安全进出该港口，海洋研究所通过实时监测获得6月份某天记录的港口湖水高度和时间的部分数据，绘制出函数图像如图：小颖观察图象得到了以下结论：①当时，；②当时，y随x的增大而增大；③当时，y有最小值为80；④当天只有在时间段时，货轮适合进出此港口．以上结论正确的个数为（ ）

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是从函数图象中获取信息，根据图象逐一分析即可，理解图象的横纵坐标的含义是解本题的关键．
详解】解：由图象可得：当时，；故①符合题意；
当时，y随x先减小后增大；故②不符合题意；
当时，y有最小值为80；故③符合题意；
当天在或时间段时，货轮适合进出此港口．故④不符合题意；
故选B
第二部分（非选择题 共96分）
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9. 某种樱桃营养丰富，富含铁、维生素A、B、C及钙、磷等矿质元素．每克该种樱桃含维生素C不低于克．将用科学记数法表示为_________．
【答案】
【解析】
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：，
故答案为：
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
10. 某市话费按每分钟元计，则乐乐一个月的话费（元）与通话时长（分钟）之间的关系式是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了列函数关系式，掌握话费与通话时间和每分钟计费的关系成为解题的关键．
根据“话费=每分钟收费×时间”进行列式即可解答．
【详解】解：根据“话费=每分钟收费×时间”可得话费（元）与通话时长（分钟）之间的关系式是．
故答案为：．
11. 如图，直线分别交直线，于点，，若，增加一个条件使得，这个条件可以是__________．（写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题主要考查平行线的判定，掌握平行线的判定是解题的关键，即①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行．
根据平行线的判定，可利用内错角相等或同旁内角互补，两直线平行得出答案．
【详解】解：根据平行线的判定，可添加，
∵
∴
∴．
故答案为：（答案不唯一）．
12. 如果单项式与的差是一个单项式，则这两个单项式的积是______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查的是单项式乘单项式、同类项的概念，掌握单项式与单项式相乘的运算法则是解题的关键．
根据同类项的概念分别求出、，再根据单项式与单项式相乘的运算法则计算即可．
【详解】解：∵单项式与的差是一个单项式，
∴单项式与是同类项，
∴，
解得：，
则，
故答案为：．
13. 共享单车为市民的绿色出行提供了方便．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面平行，，，，则是________．（用含，的式子表示）
【答案】
【解析】
【分析】由得到，代入，得到，由即可得到．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14. 计算：．
【答案】1
【解析】
【分析】本题主要考查了零次幂、负整数次幂等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键．
先根据零次幂、负整数次幂的知识化简，然后再进行计算即可．
【详解】解：
．
15. 使用乘法公式计算：．
【答案】1
【解析】
【分析】本题主要考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式，是解题的关键．
利用平方差公式计算即可．
详解】
．
16. 如图，在三角形中，请用尺规作图法在上找一点P，使．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了尺规作图—作与已知角相等的角，以点C为圆心，任意的长为半径画弧分别交于D、E两点，再以B为圆心，的长为半径画弧交为G，接着以G为圆心，的长为半径画弧交圆B于F，连接并延长交于P，点P即为所求．
【详解】解：如图所示，以点C为圆心，任意的长为半径画弧分别交于D、E两点，再以B为圆心，的长为半径画弧交为G，接着以G为圆心，的长为半径画弧交圆B于F，连接并延长交于P，点P即为所求．
17. 一个蓄水池有水，打开放水闸门放水，水池里的水和放水时间的关系如表，回答下面问题：
（1）如图所示，将表格补充完整；
（2）根据表格中的数据，说明在放完水前，水池中水量是随放水时间的增长而怎样变化的？
（3）当放水时间为7分钟时，水池中水量是多少立方米？
【答案】（1）44 （2）水池中水量随放水时间的增长而减少
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了列式计算，数字规律等知识点，从表格数据中发现规律是解决本题的关键．
（1）先算出放水速度，然后列式计算即可解答；
（2）根据表格数据总结规律即可解答；
（3）根据表格列式计算即可．
【小问1详解】
解：由表格可知放水速度为：分，则第三分钟水池中的水量为．
故答案为：44．
【小问2详解】
解：通过观察发现：水池中水量是随放水时间的增长减少．
【小问3详解】
解：当放水时间为7分钟时，水池中水量．
18. 如图，与相交于点O，平分．和互余，且，求的度数．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，余角的定义，先根据余角的定义得到，则由平角的定义得到，再由角平分线的定义和角之间的关系可得，则．
【详解】解：∵和互余，
∴，即，
∴．
∵，平分，
∴，
∴．
19. 已知，求．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查幂的乘方和同底数幂的乘法，利用幂的乘方、同底数幂的乘法法则将原式变形为是解题的关键．
【详解】解：∵
∴
．
20. 如图，平分，且与线段相交于点，是上一点，连接．若，．与平行吗？说明理由．
【答案】平行，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判与性质定，首先根据角平分线可求出，结合题意可得，根据内错角相等两直线平行，先证出，得到，结合题意可得到，根据同位角相等两直线平行即可得出结论．
【详解】解：平行．理由如下：
平分，
，
，
，
，
．
，
．
21. 先化简再求值：，其中．
【答案】，3
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先把所给代数式化简，再把代入计算即可．
【详解】
，
当时，
原式．
22. 如图，长方形的四个顶点在互相平行的两条直线上，，当点B，C在平行线上同方向匀速运动时，长方形的面积发生了变化．
（1）在这个变化过程中，自变量、因变量各什么？
（2）如果长方形的长为，那请用含的式子表示长方形的面积；
（3）当长方形的长从变到时，长方形的面积怎么变化？
【答案】（1）自变量是（或）的长，因变量为长方形的面积
（2）
（3）长方形面积从变到
【解析】
【分析】本题考查函数的函数的定义及函数关系式，解题关键是熟练掌握函数的定义及通过题于求关系式的方法．
（1）根据函数的定义求解；
（2）通过长方形的面积=长×宽求解；
（2）分别代入两值求解；
【小问1详解】
解：在这个变化过程中，自变量是（或）的长，因变量为长方形的面积．
【小问2详解】
长方形的面积，即，
答：长方形的面积与之间的关系式为：．
【小问3详解】
当时，，
当时，，
答：当长方形的长从变到时，长方形的面积从变到．
23. 如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOC，∠COF=90°，
（1）若∠BOE=70°，求∠AOF的度数；
（2）若∠BOD：∠BOE=1：2，求∠AOF的度数．
【答案】（1）∠AOF=50°，（2）∠AOF=54°．
【解析】
【分析】（1）根据角平分线的定义求出的度数，根据邻补角的性质求出的度数，根据余角的概念计算即可；
（2）根据角平分线的定义和邻补角的性质计算即可．
【详解】（1）∵OE平分∠BOC,
∴
∴
∵
∴．
（2）∵∠BOD:∠BOE=1:2，OE平分∠BOC，
∴∠BOD:∠BOE:∠EOC=1:2:2，
∴
∴
∵
∴．
24. 某居民小组正在进行美丽乡村建设，为了提升居民的幸福指数，现规划将一块长、宽的长方形场地（如图）打造成居民健身场所，具体规划为：在这块场地中分割出一块长、宽的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材．

（1）求安装健身器材的区域面积；
（2）当，时，求安装健身器材的区域面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查整式的乘法及整式的减法的应用，掌握相关运算法则是解题的关键．
（1）用大长方形的面积减去小长方形的面积列式化简即可；
（2）先列出篮球长的面积代数式，再代入求值即可．
【小问1详解】
解：
．
答：安装健身器材的区域面积为．
【小问2详解】
（2）当，时，（）．
答：安装健身器材的区域面积为．
25. 为体验大学校园文化，小华周末骑电动车从家出发去西安交大，当他骑了一段路时，想起要帮在交大读书的张浩买一本书，于是原路返回到刚经过的书店，买到书后继续前往交大，如图是他离家的距离与时间的关系示意图，请根据图中提供的信息解答下列问题:
（1）小华家离西安交大的距离是多少?
（2）小华在书店停留了多长时间?
（3）本次去西安交大途中，小华一共行驶了多少米?其中小华买到书后从书店前往西安交大的速度为多少?
【答案】（1）4800米；
（2）小华在书店停留了8分钟；
（3）小华一共行驶了6800米，小华买到书后从书店前往西安交大的速度为450米/分钟．
【解析】
【分析】（1）根据函数图象，可知小华家离西安交大的距离是4800米；
（2）由函数图象可知，16～24分钟的路程没变，所以小华在新华书店停留了了8分钟；
（3）根据函数图象，可知本次去西安交大途中，小华一共行驶的路程．另外根据书店到西安交大的距离与小华所用的时间可求出小华买到书后从书店前往西安交大的速度．
【小问1详解】
解：根据图象，可知小华家离西安交大的距离是4800米；
【小问2详解】
解：（分钟）．
答：小华在书店停留了8分钟；
【小问3详解】
解：根据函数图象，小华一共行驶了（米）．
根据函数图象，
小华买到书后从书店前往西安交大的速度为（米/分钟）．
答：小华一共行驶了6800米，小华买到书后从书店前往西安交大的速度为450米/分钟．
【点睛】本题主要考查了函数图象的读图能力，要理解横纵坐标表示的含义以及小华的运动过程是解题的关键．
26. 【问题背景】
如图，，点为上方一点，、为上两点，连接、，分别交于、两点，且．
【探究求证】
（1）如图，过点作，求证：；
（2）如图，点为上一点，连接，作于点，，求证： ；
【延伸扩展】
（3）如图，在（2）的条件下，连接并延长到点，连接，过点作，若，，求的度数．
【答案】（1）见详解
（2）见详解
（3），过程见详解
【解析】
【分析】本题考查平行线的判定和性质，垂线的定义，角的运算，掌握相关的知识是解题的关键。
（1）过点作，根据平行线的判定和性质，结合垂线的定义求证即可；
（2）根据同位角相等证明，根据内错角相等证明即可；
（3）作，根据平行线的判定和性质，结合角的比值求解即可；
【详解】解；（1）证明：过点作,
∴
∵
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴;
（2）∵,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴;
（3）∵,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
作,
∴, ,
∴。
时间/时
0
4
8
12
16
20
24
水位/米
2
2.5
3
4
5
6
8
放水时间（分钟）
1
2
3
4
5
…
水池中水量
48
46
__
42
40
…