北京市西城区华夏女子中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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初二数学试题
注意事项：
1．本试卷共8页，满分100+10分，考试时间100分钟．
2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名和学号
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4．在答题卡上，选择题、画图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作
答．
5．考试结束，请将考试材料一并交回．
一、单项选择题：本大题共8小题．每题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求．把正确答案填涂在答题卡上．
1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了最简二次根式，最简二次根式的定义：1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式，那么，这个根式叫做最简二次根式，据此判断即可．
【详解】解：A．是最简二次根式，故A选项符合题意；
B．不是最简二次根式，故B选项不符合题意；
C．不是最简二次根式，故C选项不符合题意；
D．不是最简二次根式，故D选项不符合题意；
故选：A．
2. 下列各式中，从左向右变形正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式的性质和运算法则逐一判断即可得．
【详解】解A．，错误，故此选项不符合题意；
B．，错误，故此选项不符合题意；
C．，正确，故此选项符合题意；
D．，错误，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查二次根式的性质，二次根式的加法运算，正确计算是解题的关键．
3. 以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（ ）
A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形．先分别求出两小边的平方和和最长边的平方，再看看是否相等即可判断．
【详解】解：A、因为所以，，不能构成直角三角形，故不符合题意；
B、因为所以，，不能构成直角三角形，故不符合题意；
C、因为所以，，能构成直角三角形，故符合题意；
D、因为所以，，不能构成直角三角形，故不符合题意；
故选：C．
4. 如图，在中，，，则的度数是（ ）
A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°
【答案】D
【解析】
【分析】因为，，所以可得到，根据平行四边形的性质对角相等，从而得出的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及平行四边形的性质，清楚掌握其性质并能灵活运用是解题关键．
5. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，的坐标分别是，，点在轴上，则点的横坐标是（ ）
A. 4B. C. 5D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别过点A、C作AE⊥x轴，CD⊥x轴于点E，D，证明得BE=OD，从而可得OB，即可解答此题．
【详解】解：分别过点A、C作AE⊥x轴，CD⊥x轴于点E，D，如图，
∴
∵点A的坐标是（4，-2），点C的坐标是（1，2）
∴OD=1，OE=4
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CO，AB//CO
∴
在和中

∴≌
∴
∴
∴点的横坐标是5
故选：C．
【点睛】此题主要考查了坐标与图形，全等三角形的判定与性质，矩形的性质等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解答此题的关键．
6. 在平面直角坐标系中，将直线向下平移2个单位长度后，所得的直线的解析式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图像的平移，根据一次函数向下平移k值不变，只有b只发生改变解答即可．
【详解】解：由题意得：平移后的解析式为，
故选：A．
7. 如图，A，B为的正方形网格中的两个格点，称四个顶点都是格点的矩形为格点矩形，在此图中以A，B为顶点的格点矩形共可以画出（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】根据网格特点、矩形的判定画出相应的图形即可得．
【详解】解：共可以画出以下4个格点矩形：
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形与网格问题，熟练掌握矩形的判定是解题关键．
8. 若定义一种新运算：，例如：；．则函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据，可得当时，，分两种情况当时和当时，分别求出一次函数的关系式，然后判断即可．
【详解】解：当时，，
∴当时，，
即：，
当时，，
即：，
∴，
∴当时，，函数图像向上，随的增大而增大，
∴，
综上所述，A选项符合题意，
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数的图象，一次函数性质，能在新定义下，求出函数关系式是解题的关键
二、填空题：（本大题共8小题，每题2分，共16分）
9. 函数中，自变量的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据被开方式是非负数列式求解即可.
【详解】解：依题意，得，
解得：，
故答案为．
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．
10. 平面直角坐标系中，点A，B，C，D的位置如图所示，当且时，A，B，C，D四点中，一定不在一次函数图象上的点为___________．
【答案】D
【解析】
【分析】根据一次函数的图象和性质即可进行判断
【详解】解：∵且，
∴一次函数的图象过一、三、四象限，
∴点D一定不在一次函数的图象上
故答案为：D
【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
11. 如图，在中，点D，点E分别是，的中点，点F是上一点，且，若，，则的长为________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据三角形中线定理求出，再根据直角三角形的性质求出，再进行计算即可．
【详解】解：∵点D、E分别是、的中点，
是的中线，
，
，
，
在中，，点E是的中点，，
，
，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了三角形中线定理和直角三角形的性质，熟练掌握三角形的中线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
12. 如图，菱形对角线相交于点O，P为边上一动点（不与点A，B重合），于点E，于点F，若，则的最小值为 ______．

【答案】
【解析】
【分析】连接，根据菱形的性质得到，，根据矩形的判定定理得到四边形是矩形，求得，当时，最小，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可．
【详解】解：连接，如图所示，

∵四边形是菱形，
∴，，，
∵于点，于点，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵当取最小值时，的值最小，
∴当时，最小，即的值最小，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，垂线段最短，菱形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握垂线段最短是解题的关键．
13. 若直线与两条坐标轴围成的三角形的面积是2，则k的值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】先判断出，再求出直线与两条坐标轴的交点坐标，然后利用直角三角形的面积公式即可得．
【详解】解：由题意得：，
当时，，解得，
即直线与轴的交点坐标为，
当时，，即直线与轴的交点坐标为，
则，
解得，
经检验，是所列方程的解，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．
14. 我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，绘制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”如图1所示．在图2中，若正方形的边长为7，正方形的边长为1，且，则正方形的边长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的证明，解题关键是熟练掌握正方形面积公式以及面积的和差关系，难点是得到正方形的面积．根据正方形的面积公式，结合面积的和差关系可得8个直角三角形的面积，进而得到一个直角三角形的面积，再结合正方形的面积等于4个直角三角形的面积与1个小正方形面积之和，进行列式计算，即可求解．
【详解】解：依题意
，
设正方形的边长为
∵正方形的面积等于4个直角三角形的面积与1个小正方形面积之和
∴
∴（舍去）
则正方形的边长为．
故答案为：．
15. 如图，把矩形沿直线向上折叠，使点落在点的位置上，交于点，若，，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】先根据折叠的性质得到，再由得到，则，可判断，设，则，然后在中利用勾股定理得到，再解方程即可得出的长．
【详解】解：四边形是矩形，
，
是由折叠得到，
，
，
设，则，
在中，，
即，
解得，
故答案为∶．
【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠变换的性质、等腰三角形的判定以及勾股定理；熟练掌握折叠变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．
16. 如图，在中，O为中点，点E，M为同一边上任意两个不重合的动点（不与端点重合），的延长线分别与的另一边交于点F，N，连接，下面四个推断：

①②③若是菱形，则至少存在一个四边形是菱形
④对于任意的，存在无数个四边形ENFM是矩形
其中，所有正确有______．（填写序号）
【答案】②④##④②
【解析】
【分析】由“”可证，，可证四边形是平行四边形，可得，与不一定相等，故①错误，②正确，由菱形的判定和性质和矩形的判定可判断③错误，④正确．
【详解】解：如图1，∵O为对角线的中点，
∴，，
∴，
在△AOE和△COF中，
，

∴，
∴，
同理可得：，
∴，即；
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，故②正确；
根据现有条件无法证明，故①错误．
若平行四边形是菱形，则，
∴，
∵点E，M为边上任意两个不重合的动点(不与端点重合)，
∴，
∴四边形不可能是菱形，故③不正确；
如图2，当时，则，
∵四边形是平行四边形，
∴边形矩形，
又∵存在无数个点E、M满足，
∴对于任意的，存在无数个四边形ENFM是矩形，故④正确；

故答案为：②④．
【点睛】本题考查了矩形的判定，菱形的判定和性质，平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定和性质，证明四边形是平行四边形是解题的关键．
三、解答题：（本大题共10小题，17题10分，18、19每题5分，20-23题每题6分，24、25题每题8分，共60分）
17. （1）
（2）已知，求代数式的值．
【答案】（1）
（2）5
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算：
（1）根据二次根式的乘法和二次根式的性质化简，再进行加减运算；
（2）先将代数式进行因式分解，再代值计算即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：，
当时，原式．
18. 已知：为锐角三角形，．
求作：菱形．
作法：如图，
①以点A为圆心，适当长为半径作弧，交于点M，交于点N；
②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点E，作射线与交于点O；
③以点O为圆心，以长为半径作弧，与射线交于点D，连接，；
四边形就是所求作的菱形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）：
（2）完成下面的证明：
证明：∵平分，
∴__________．
∵，
∴四边形是平行四边形（ ）（填推理的依据）．
∵，
∴四边形是菱形（ ）（填推理的依据）．
【答案】（1）图见解析
（2）OB，对角线互相平分的四边形是平行四边形，一组邻边相等的平行四边形是菱形
【解析】
【分析】（1）根据所给几何语言画出对应的图形即可；
（2）先根据等腰三角形的性质得到CO=OB，再根据平行四边形和菱形的判定解答即可.
【小问1详解】
解：如图，菱形ABDC即为所求作；
【小问2详解】
证明：∵，平分，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．
∵，
∴四边形是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）．
故答案为：OB，对角线互相平分的四边形是平行四边形，一组邻边相等的平行四边形是菱形.
【点睛】本题考查基本尺规作图-作角平分线、等腰三角形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定，熟练掌握基本尺规作图的方法步骤，熟知平行四边形的判定和菱形的判定是解答的关键.
19. 在本学期小组活动中，在平行四边形中添加线段，得到相应的基本图形，其中有一个小组画出的图形如图：中，点，分别在边，上，且，连结，．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，根据平行四边形的性质可得，，结合，可得，再根据有一组边平行且相等的四边形是平行四边形推出是平行四边形，从而得证．
【详解】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
．
20. 平面直角坐标系中，直线与直线交于点．

（1）求，的值；
（2）直线与直线，分别交于，两点，当时，若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标．
【答案】（1），
（2）点Q的坐标为，或
【解析】
【分析】本题是考查一次函数与几何综合题，解题的关键是熟知一次函数的图象与性质、平行四边形的特点．
（1）把分别代入两函数即可求出m，b的值；
（2）先求出直线与y轴的交点和M，N的坐标，再根据平行四边形的性质分情况即可求解．
【小问1详解】
解：直线与直线交于点，
，
，；
【小问2详解】
解：由（1）可知直线，
直线与y轴的交点为，
线与直线，分别交于，两点，
M，N不是y轴上的点，
设，
，
解得，
，，
以，，，为顶点的四边形是平行四边形，
①如图，当为四边形的对角线时，的中点坐标为，

点、Q关于对称，
点Q的坐标为；
②如图，当为四边形的一边时，，且与y轴平行，

点Q的坐标为或；
综上，点Q的坐标为，或．
21. 如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，过点B作BF⊥AE于点H，交AD于点F，连接EF．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）连接CF，若CE＝1，CF＝2，，求菱形ABEF的面积．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】(1)证明四边形ABEF为平行四边形，再由BF⊥AE即可得到四边形ABEF为菱形；
(2)连接CF，由菱形性质得到EF=AB=BE=，由勾股定理逆定理验证△EFC为直角三角形，进而求出∠FCE=90°，由此得到FC为菱形的高，BE为菱形底即可求出面积．
【详解】解：(1)证明：如下图所示:
∵四边形是平行四边形，
∴AF∥BE，
∴，
∵AE平分∠BAD，
∴∠1=∠2，
∴∠1=∠3，即△BAE为等腰三角形，
∴AB=BE，
∵BF⊥AE，
∴∠AGB=∠AGF=90°，
又∠1=∠2，且AG=AG，
∴△ABG≌△AFG(ASA)，
∴AB=AF，
∴AF=BE，又AF∥BE，
∴四边形是平行四边形．
又∵BF⊥AE，
∴四边形是菱形．
(2)连接CF，如下图所示：
∵四边形是菱形，
∴.
∵CE=1，CF=2，
∴.
∴.
∴.
∴菱形ABEF的面积为．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用面积法求出高FG，记住菱形的三种判定方法，所以中考常考题型．
22. 有这样一个问题：探究函数的图像，并利用图像解决问题.小泽根据学习函数的经验，对函数的图像进行了探究.下面是小泽的探究过程，请补充完整：
（1）函数的自变量的取值范围是_______；
（2）下表是与的几组对应值.
其中的值为_____；
（3）如下图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各组对应值为坐标的点.根据描出的点，画出该函数的图像；
（4）结合函数图像，解决问题：当时，的值约为______.
【答案】（1）；（2）；（3）见解析；（4）1.85.
【解析】
【分析】（1）由分式有意义的条件可求得答案；
（2）把x=3代入函数解析式可求得答案；
（3）利用描点法可画出函数图象；
（4）结合函数图象可得出答案．
【详解】解：（1）∵函数，
∴，
∴x≠0，
故答案为x≠0；
（2）当x=3时，=
故答案为，
（3）根据描点可画出函数图象，如图：
（4）结合函数图像可知：当时，的值约为1.85.
故答案为1.85.
【点睛】本题主要考查函数的性质，掌握自变量的取值范围的求法、描点法画函数图象等是解题的关键．
23. 下表是一次函数（，为常数，）中与的两组对应值．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）已知直线，当时，对于的每一个值，都有，直接写出的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，求一次函数解析式：
（1）将与的两组对应值代入求解即可；
（2）先求得时的值，画出图象，根据一次函数的性质即可得到答案．
【小问1详解】
解：将，代入，
得，
解得
一次函数的表达式为；
【小问2详解】
解：当时，，
将代入，得，
解得，
当时，方程无解，两直线平行，总有；
如图，
当时，对于x的每一个值，都有，
．
24. 在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下：
对于两个数，，
称为，这两个数的算术平均数，
称为，这两个数的几何平均数，
称为，这两个数的平方平均数．
小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程，请你补充完整：
（1）若，，则______，______，______；
（2）小聪发现当，两数异号时，在实数范围内没有意义，所以决定只研究当，都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题：如图，画出边长为的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表示．
①请分别在图2，图3中用阴影标出一个面积为，的图形；
②借助图形可知当，都是正数时，，，的大小关系是：______（把，，从小到大排列，并用“”或“”号连接）．
③当时，的最大值是______．
【答案】（1）
（2）①见详解；②；③
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的应用、完全平方公式、正方形的性质，较难的是题（2）③，正确利用完全平方公式进行变形运算是解题关键．
（1）将分别代入求值即可得；
（2）①分别求出，再根据正方形的性质、矩形和直角三角形的面积公式即可得；
②根据（2）①中的所画的图形可得，由此即可得出结论，③根据可得即结合完全平方公式可求得即可求解．
【小问1详解】
解：当，时，
，
，
，
故答案为∶；
【小问2详解】
①，
用阴影标出一个面积为的图形如下所示：
，
用阴影标出一个面积为的图形如下所示：
②根据（2）①中的所画的图形可得，当且仅当时，等号成立，
都是正数，
都是正数，
，
故答案：；
③，
当时，N取得最大值，
此时即，
整理可得：，
，
，
，
N的最大值为：．
25. 点在正方形的边上（不与点，重合），点关于直线的对称点为，作射线交交于点，连接．
（1）求证：；
（2）过点作交射线于点．
①求的度数；
②用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）证明见解析；
（2）；，理由见解析．
【解析】
【分析】（）由四边形是正方形,得，再利用等角的余角相等证明即可；
（）连接，证明，再根据等边对等角和四边形的内角和求出，可得结论；
过点作于点，证明，推出，再证明 ，，可得结论．
【小问1详解】
∵四边形是正方形,
∴，即，
∵，关于对称，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
连接，
∵，关于对称，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
，理由：
过点作于点，

∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，关于对称，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质，轴对称变换，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，同角的等角相等等知识，解题的关键是熟练掌握知识点的应用．
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