江苏省南通市通州区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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考生在答题前请认真阅读本注意事项：
1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．
2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置．
3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 已知中，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题重点考查平行四边形的性质．由平行四边形的性质得，因为，所以，于是得到问题的答案．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
故选：A．
2. 下列各点在函数图象上的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．利用一次函数图象上点的坐标特征，逐一对四个选项进行验证即可求解．
【详解】解：A、当时，，
点不在函数图象上；
B、当时，，
点不在函数图象上；
C、当时，，
点在函数图象上；
D、当时，，
点不在函数图象上；
故选：C．
3. 如图，，分别是，的中点，测得，则池塘两端，的距离为（ ）
A. 45mB. 30mC. 22.5mD. 7.5m
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是三角形中位线定理，三角形中位线等于第三边的一半．根据三角形中位线定理解答即可．
【详解】解：，分别是，的中点，
是的中位线，
，
故选：B．
4. 若直线（是常数，）经过第一、第三象限，则的值可为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】通过经过的象限判断比例系数k的取值范围，进而得出答案．
【详解】∵直线（是常数，）经过第一、第三象限，
∴，
∴的值可为2，
故选：D．
【点睛】本题考查正比例函数的图象与性质，熟记比例系数与图象经过的象限之间的关系是解题的关键．
5. 如图，在中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质逐项分析判断即可求解．
【详解】∵四边形是平行四边形，对角线与相交于点，
A. ，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项正确，符合题意；
C. ，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
6. 如图，四边形中，E，F，G，H分别是，，，的中点．若四边形是菱形，则四边形需满足的条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是中点四边形，掌握菱形的判定定理、三角形中位线定理是解题的关键．
根据三角形中位线定理得到，，，，再根据菱形的判定定理解答即可．
【详解】解：，，，分别是，，，的中点，
、、、分别为、、、的中位线，
，，，，
，，
四边形为平行四边形，
当时，，
平行四边形为菱形，
故选：A．
7. “漏壶”是一种古代计时器，在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出．壶内壁有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间．用x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度．不考虑水量变化对压力的影响，下列图象最适合表示y与x对应关系的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查函数图象．根据题意，可知随的增大而减小，符合一次函数图象，从而可以解答本题．
【详解】解：不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，表示漏水时间，表示壶底到水面的高度，
随的增大而减小，符合一次函数图象，
故选：D．
8. 两张全等的矩形纸片，按如图所示的方式交叉叠放，，，与交于点G，与交于点H．若，，则四边形的面积为（ ）
A. 4B. C. 8D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，矩形的性质，菱形的性质与判定，证明四边形是菱形是解题的关键．
证明四边形是菱形，根据含30度角的直角三角形的性质求得的长，即可求解．
【详解】解：∵两张全等的矩形纸片，按如图所示的方式交叉叠放，，，
∴，，，
，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
四边形的面积．
故选：C．
9. 如图，中，以点为圆心，适当长为半径作弧，交，于，，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接．若，，，则的长为（ ）
A. 1.5B. C. 2D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查作图—基本作图、角平分线的定义、平行四边形的性质、勾股定理．由作图过程可知，为的平分线，则，再结合平行四边形的性质可得．在中，由勾股定理得，．设，则，，在中，由勾股定理得，，代入求出的值，即可得出答案．
【详解】解：由作图过程可知，为的平分线，
，
四边形为平行四边形，
，，，
，
，
．
在中，由勾股定理得，．
设，
则，，
在中，由勾股定理得，，
即，
解得，
的长为2．
故选：C．
10. 对于一次函数，其自变量和函数的两组对应值如表所示，则的值为（ ）
A. B. C. 2D. 7
【答案】A
【解析】
分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，利用待定系数法得到，据此求出，进而可得．
【详解】解：由题意得，，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
二、填空题（本大题共8小题，第11~12小题每小题3分，第13~18小题每小题4分，共30分．不需要写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上）
11. 函数中，自变量的取值范围是_______.
【答案】
【解析】
【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，二次根式有意义的条件是：被开方数为非负数．
【详解】依题意，得x-3≥0，
解得：x≥3．
【点睛】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
12. 若正比例函数的图象经过点，则______．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征．将点代入函数解析式即可求得．
【详解】解：点代入函数解析式得：，
即，
故答案为：．
13. 如图，平面直角坐标系中，四边形是菱形．若点A的坐标是，则菱形的周长为______．
【答案】40
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，平面直角坐标系中两点的距离，勾股定理等知识．于点D，根据勾股定理求出，根据菱形的性质即可求解．
【详解】解：如图，作于点D，
∵点A的坐标是，
∴，
∴菱形的周长为40．
故答案为：40
14. 将函数的图象向下平移2个单位长度，所得图象对应的函数表达式是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的平移，根据一次函数的平移规律“左加右减，上加下减”即可解答．
【详解】解：函数的图象向下平移2个单位长度为，
故答案为：．
15. 我国古代数学经典著作《九章算术》记载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”如图是善行者与不善行者行走路程（单位：步）关于善行者的行走时间的函数图象，则两图象交点的纵坐标是________．

【答案】
【解析】
【分析】设图象交点的纵坐标是m，由“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．”可知不善行者的速度是善行者速度的．根据速度关系列出方程，解方程并检验即可得到答案．
【详解】解：设图象交点的纵坐标是m，由“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．”可知不善行者的速度是善行者速度的．
∴，
解得，
经检验是方程的根且符合题意，
∴两图象交点的纵坐标是．
故答案为：
【点睛】此题考查了从函数图象获取信息、列分式方程解决实际问题，数形结合和准确计算是解题的关键．
16. 如图，在中，，，，于点，是斜边的中点，则线段的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质、等腰直角三角形的性质．根据直角三角形的性质求出，根据直角三角形斜边上的中线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的外角性质求出，根据等腰直角三角形的性质求出．
【详解】解：在中，，，
则，
在中，，，是斜边的中点，
则，
，
，
，
，
，
故答案：．
17. 如图，直线分别交x轴、y轴于A，B两点，C是线段上一点，，则点C的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的性质和判定，熟练掌握一线三垂直证明全等是解答本题的关键．
首先得，，作，交直线于点，作，垂足为点，利用证明得到，，设，则，，将点代入直线解析式解出值即可．
【详解】解：如图，作，交直线于点，作，垂足点，
，
，
，
，
，，
直线解析式为直线，
，，
设则，，
点在直线的图象上，
解得：
，．
故答案为：．
18. 如图，在矩形中，，，点，分别是边，上的动点，且，过点作直线的垂线，垂足为，则线段长的最大值为______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质．由矩形的性质推出，，，，由推出，得到，由勾股定理求出，得到，又，即可得到线段长的最大值为．
【详解】解：四边形是矩形，
，，，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
线段长的最大值为．
故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 已知y是x的一次函数，且当时，；当时，．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）若点在该一次函数的图象上，求a的值．
【答案】（1）该一次函数的解析式为
（2）
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式及一次函数图象上点的坐标特征；
（1）设一次函数解析式为，再把两组对应值代入得到的方程组，然后解方程组即可；（2）把代入（1）中的解析式得到的方程，然后解方程即可．
【小问1详解】
解：设该一次函数的解析式为，
分别把代入得：
解得：
所以，该一次函数的解析式为．
【小问2详解】
把代入，
得：，
解得：
a的值：
20. 如图，在中，E是上一点，，点F在上，．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质等知识．先根据平行四边形的定义得到，再证明，即可证明．
【详解】证明：四边形是平行四边形，
，
，
又∵，，
，
．
21. 如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，直线l经过点A，交y轴于点．
（1）求m的值和直线l的函数表达式；
（2）若点在直线l上，点在直线上．若，求t的取值范围．
【答案】（1），直线的解析式为
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）首先将代入，代入得到，，然后根据求解即可．
【小问1详解】
把点代入得：，
设直线的解析式为，
把和分别代入
得：
解得：
所以，直线的解析式为．
【小问2详解】
把代入，代入，得：
，
因为，
所以，
解得．
22. 如图，在菱形中，过点作于点，延长至点，使，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）的长为
【解析】
【分析】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的判定和性质是解题的关键．
（1）由，可得，即，结合，可得四边形是平行四边形，再结合，可得平行四边形是矩形；
（2）根据矩形的性质和菱形的性质，以及勾股定理即可得到结论．
【小问1详解】
证明：在菱形中，，
，
，
，
，
，
∵，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是矩形；
【小问2详解】
解：设，
，
，
，
，
解得，
．
23. 如图，有两个全等的直角三角形，直角边长分别为2和4，我们知道，用这样的两个直角三角形可以拼成平行四边形．

（1）请画出所有可能拼成的平行四边形：（要求：用直尺画图，并在图上标出平行四边形每一条边的长度．）
（2）在所有拼成的平行四边形中，求最长对角线的长度．
【答案】（1）共有3种拼法，画图见解析
（2）（1）中图（3）中一条对角线最长，长度为
【解析】
【分析】本题考查图形的剪拼，涉及矩形的性质、勾股定理，熟练掌握矩形性质，作辅助线构造直角三角形求解是解答的关键．
（1）根据平行四边形的性质求解即可；
（2）分情况分别利用平行四边形和矩形的性质和勾股定理求解即可．
【小问1详解】
共有3种拼法，如下图：
【小问2详解】
如图①所示：其对角线长；
如图②所示：
∴
∴
∴；
如图③所示：
∴
∴
∴．
∴图③中的一条对角线最长，长度为．
24. 家电超市出售某品牌手机充电器，每个进价50元，了解到有A，B两个厂家可供选择，为了促销、两个厂家给出了不同的优惠方案：
A厂家：一律打8折出售；
B厂家：20个以内（含20个）不打折，超过20个后，超过的部分打7折．
该家电超市计划购买充电器x个，设去A厂家购买应付元，去B厂家购买应付元．
（1）分别求出、与x之间的函数关系；
（2）若该商家只在一个厂家购买，怎样买过算？
【答案】（1），
（2）当时，厂家购买划算；当时，两个厂家付款一样；当时，在厂家购买划算
【解析】
【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意、根据题意写出函数关系式并掌握一元一次不等式的解法是本题的关键．
（1）根据“去厂家购买应付款进价折扣购买数量”求出与之间的函数关系；分别求出当且为整数时、当且为整数时与之间的函数关系即可；
（2）根据不同的取值范围，分别求出当、、时对应的的取值范围即可．
【小问1详解】
解：根据题意，得且为整数）；
当且为整数时，；
当且为整数时，；
综上，，
与之间的函数关系为，与之间的函数关系为．
【小问2详解】
解：当且为整数时：；
当且为整数时：
若，得，解得；
若，得，解得；
若，得，解得；
综上，当时，；当时，；当时，．
当时，选择厂家购买比较划算；当时，选择厂家和厂家一样划算；当时，选择厂家购买比较划算．
25. 已知四边形是正方形，点E是射线上一点，连接，点D关于直线的对称点为M，射线与直线相交于点G．
（1）若点M在对角线上，则 度；
（2）如图，若E是的中点，试用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明；
（3）若点E在边的延长线上，，求的长．
【答案】（1）
（2），证明见解析
（3）
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质、勾股定理、等腰三角形的性质和判定：
（1）根据正方形的性质以及对称的性质得到结果；
（2）先作辅助线，根据正方形的性质以及中点得到角度和边长之间的关系，证明出两个三角形全等，得到对应边以及对应角，再根据边长之间的关系可得到结果；
（3）先作辅助线，根据勾股定理得到，然后根据对称性以及正方形的特点证明出，即可得到结果；
作出正确的辅助线是解题的关键．
【小问1详解】
解：若点M在对角线上，如图所示：
，
此时，
∵点D关于直线的对称点为M，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
解：，证明如下：
延长交的延长线于点，如图所示：
，
四边形是正方形，
，
，
点是中点，
在和中
，
，
，
点与点关于直线对称，
，
，
，
，
而，
；
【小问3详解】
解：设与相交于点，如图所示：
，
在中，，
，
，
点与点关于直线对称，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是正方形，
，
，
在和中
，
，
，
．
26. 如图1，平面直角坐标系中，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，两点，直线与交于点，与轴交于点．
（1）求点D的坐标；
（2）如图2，是线段上的一个动点（不与点重合），过作的垂线交于点．
①若，求的长；
②若的平分线与射线交于点，，，求关于的函数解析式．
【答案】（1）
（2）①的长为2；②
【解析】
【分析】（1）直线，令，求出，即可得点的坐标；
（2）①过作轴于，证明，可得，，设，则，代入直线即可求解；
②在上截取，连接，证明，在中，利用勾股定理求解即可．
【小问1详解】
解：，轴，直线与交于点，
点的纵坐标为6，
直线，令得，
解得，
点的坐标为；
【小问2详解】
解：①过作轴于，
，，
，
，
，
，
，
，，
设，则，
，，
，
，
代入得，解得，
的长为2；
②在上截取，连接，
∵平分，
∴，
∴，
∵，，
∴
∴，
∴，
由（1）中D的坐标可知，
∴，
即．
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质等，能够通过作垂线构造全等三角形是解题的关键．x
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