50，广东省广州市实验外语学校2023-2024学年九年级下学期月考数学试题

这是一份50，广东省广州市实验外语学校2023-2024学年九年级下学期月考数学试题，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 点在数轴上的位置如图所示，则点所表示的数的相反数是（ ）

A B. C. 1D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据数轴可知点A表示的数为2，再由相反数的定义进行求解即可．
【详解】解：由题意得，点A表示的数为2，
∴点所表示的数的相反数是，
故选A．
【点睛】本题主要考查了相反数，用数轴表示有理数，熟知相反数的定义是解题的关键：如果两个数只有符号不同，那么这两个数互为相反数，其中0的相反数是0．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了化简绝对值，积的乘方，完全平方公式和二次根式加减运算，根据化简绝对值，积的乘方，完全平方公式和二次根式加减运算运算法则逐项判断即可，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】、，原选项计算错误，不符合题意；
、，原选项计算正确，符合题意；
、，原选项计算错误，不符合题意；
、，原选项计算错误，不符合题意；
故选：．
3. 2022年1月17日，国务院新闻办公室公布：截至2021年末全国人口总数为141260万，比上年末增加48万人，中国人口的增长逐渐缓慢．141260用科学记数法可表示为（ ）该试卷源自 每日更新，享更低价下载。A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【详解】解：141260＝，
故选：C．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4. 一个立体图形的三视图如图所示，则该立体图形是（ ）

A. 圆柱B. 圆锥C. 长方体D. 三棱柱
【答案】D
【解析】
【分析】根据三视图进行判断即可．
【详解】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形形可判断出这个几何体应该是三棱柱．
故选：D．
【点睛】本题主要考查由三视图判断几何体，掌握基本立体图形的三视图是解题的关键．
5. 如图，平移直线至，直线，被直线所截，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平移的性质，平行线的性质，对顶角相等，根据平移可得，根据平行线的性质以及对顶角相等，即可求解．
【详解】解：如图所示，
∵平移直线至
∴
∴
又∵，
∴
故选：C．
6. 如图，一次函数y1＝x＋b与一次函数y2＝kx＋4的图象交于点P（1，3），则关于x的不等式x＋b＞kx＋4的解集是（ ）
A. x＞﹣2B. x＞0C. x＞1D. x＜1
【答案】C
【解析】
【详解】解：当x＞1时，x+b＞kx+4，
即不等式x+b＞kx+4的解集为x＞1．
故选C．
7. 下表记录了甲、乙、丙、丁四名射击运动员最近几次选拔赛成绩的平均数和方差．根据表中数据，要从中选择一名成绩好且又发挥稳定的运动员参加比赛，应选择( )
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】D
【解析】
【分析】根据甲、乙、丙、丁平均数与方差的情况进行判断即可.
【详解】解：由题意得：乙、丁的平均数最大, 但是丁的方差小于乙的方差, 所以丁成绩好且发挥稳定, 故选丁运动员参加比赛.
故本题正确答案为D.
【点睛】本题主要考查利用平均数、方差、标准差进行决策比较，题中平均数表示整体水平, 方差表示波动大小.
8. 如图，O为原点，点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，4），⊙D过A、B、O三点，点C为上一点（不与O、A两点重合），则csC的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】如图，连接AB，
由圆周角定理，得∠C=∠ABO，
在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，由勾股定理，得AB=5，
∴．
故选D．
9. 如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E．若AB=10，BC=16，则线段EF的长为（ ）

A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】根据直角三角形斜边上中线是斜边的一半可得DF=AB=AD=BD=5且∠ABF=∠BFD，结合角平分线可得∠CBF=∠DFB，即DE∥BC，进而可得DE=8，由EF=DE-DF可得答案．
【详解】解：∵AF⊥BF，
∴∠AFB=90°，
∵AB=10，DAB中点，
∴DF=AB=AD=BD=5，
∴∠ABF=∠BFD，
又∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF，
∴∠CBF=∠DFB，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
即，
解得：DE=8，
∴EF=DE-DF=3，
故选B．
【点睛】本题主要考查直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质，熟练运用其判定与性质是解题的关键．
10. 如图，是等边三角形的外接圆，是劣弧上的动点（不与重合），连接，和，的平分线相交于点，．下列判断正确的有（ ）
；的最大值为；四边形面积的最大值；若点在劣弧上由运动到，则动点的运动路径长为．
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】C
【解析】
【分析】延长，交劣弧于点，交于点，连接，可求得、、的长度：
证明，即可判断说法是否正确；
当点与点重合时，可以取得最大值，此时；
当点与点重合时，四边形的面积最大，；
动点的运动路径长度为：以点为圆心，以为半径，圆心角为的圆弧的长度．
【详解】如图所示，延长，交劣弧于点，交于点，连接．
根据题意可知，，，．
∴．
∴．
∴．
根据题意可知．
∵平分，
∴．
∵，，
∴．
∴．
说法正确．
根据题意可知，当点与点重合时，可以取得最大值，此时．
∵，，
∴为等边三角形．
∴．
∴．
说法正确．
根据题意可知，当点与点重合时，四边形的面积最大．
．
．
．
说法错误．
根据题意可知，动点的运动路径长度为：以点为圆心，以为半径，圆心角为的圆弧的长度．
．
说法正确．
综上所述，说法正确的为：．
故选：C
【点睛】本题主要考查垂径定理、解直角三角形、求弧长、等边三角形的性质及判定，能根据题意绘制辅助线是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）
11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．
【答案】且##且
【解析】
【分析】本题考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握分式有意义的条件，二次根式有意义的条件；
根据被开方数为非负数，以及分式中分母不能为0，列不等式组，即可解答
【详解】解：依题意得：且，
解得：且，
故答案为：且，
12. 因式分解：______．
【答案】##
【解析】
【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，先提公因数，再利用完全平方公式进行因式分解即可，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
【详解】解：原式，
，
故答案为：．
13. 如图，某数学兴趣小组将边长为的等边铁丝框变形为以点为圆心，为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得的扇形与等边面积比为：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了扇形面积公式和等边三角形的性质，过作于点，求出等边的面积，再由的长为，求出扇形的面积即可求解，熟练掌握扇形面积公式和等边三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：过作于点，
∴，，
∴，
∴等边面积为，
由题意得的长为，
∴扇形的面积为，
∴扇形与等边面积比为：，
故答案为：．
14. 如图，在中，，D为上一点，若是的角平分线，则___________．

【答案】5
【解析】
【分析】首先证明，，设，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【详解】解：如图，过点D作的垂线，垂足为P，

在中，∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，，
设，
在中，∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
15. 函数y＝x2＋2x－3，当－2≤x≤2时，函数值y的取值范围是__________.
【答案】－4≤y≤5
【解析】
【分析】求得顶点坐标，得出最小值，然后求出x＝−2，x＝2时y的值，就可得到y的取值范围．
【详解】由二次函数y＝x2＋2x－3=（x＋1）2−4可知：抛物线开口向上，顶点为（−1，−4），
∴函数有最小值y＝−4，
∵当x＝−2时，y＝−3，当x＝2时，y＝5，
∴当−2≤x≤2时，y的取值范围是−4≤y≤5，
故填：−4≤y≤5
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，抛物线的对称轴、顶点坐标与抛物线解析式的关系，抛物线的顶点式：y＝a（x−h）2＋k，顶点坐标为（h，k），对称轴x＝h．
16. 如图，在中，，，，，分别是边，上的动点，且，则的最小值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了正方形和矩形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，过作，使，连接，，作交延长线于点，证明四边形是正方形，由勾股定理得，然后证明，当，，三点共线时，有最小值，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】过作，使，连接，，作交延长线于点，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，即，
当，，三点共线时，有最小值，
故答案为：．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 解方程组：．
【答案】
【解析】
【分析】将方程②进行变形，用代入法即可解答．
【详解】解：
由②得： ③
把代入 ①，得：，
把代入 ③，得：，
∴方程组的解为：
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解法，解题的关键是用代入消元法和加减消元法进行消元．
18. 已知在中，于点，于点．求证：．
【答案】证明见解析．
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂直的定义，平行线的性质，平行四边形的性质，由四边形是平行四边形，得，，又，，则，证明即可求证，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
,
∴，
∴．
19. 已知代数式．
（1）化简；
（2）若一个矩形两条对角线的长为的两根，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据分数的运算法则化简即可；
（2）根据矩形对角线相等可得有两等根，即可求出，再代入求出的值即可．
【小问1详解】
；
【小问2详解】
∵一个矩形两条对角线的长为的两根，
∴有两等根，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了根的判别式，矩形的性质，分式混合运算，熟记分式运算法则是解题的关键．
20. 一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，小明随机从口袋中摸取一个小球，记录摸到小球的标号后放回，再从中摸取一个小球，又放回．小明摸取了60次，结果统计如下：
（1）上述试验中，小明摸取到“2”号小球的频率是 ；小明下一次在袋中摸取小球，摸到“2”号小球的概率是 ；
（2）若小明随机从口袋中摸取一个小球，记录摸到小球的标号后放回，再从中摸取一个小球，请用列举法求小明两次摸取到小球的标号相同的概率．
（3）若小明一次在袋中摸出两个小球，求小明摸出两个小球标号的和为5的概率．
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）摸取到“2”号小球频率为，摸到“2”号小球的概率是；
（2）小明两次摸取到小球的标号为共16种可能的情况，其中两次标号相同的为共4种可能的情况，进而可求概率；
（3）列举法可知一次摸出两个小球的有标号为共6种可能情况，标号和为5有两种情况，进而可求概率．
【小问1详解】
解：摸取到“2”号小球的频率为
摸到“2”号小球的概率是
故答案为： ．
【小问2详解】
解：列举法求小明两次摸取到小球的标号为共16种可能的情况，其中两次标号相同的为共4种可能的情况
∵
∴小明两次摸取到小球的标号相同的概率为．
【小问3详解】
解：列举法可知一次摸出两个小球的有标号为共6种可能情况，标号和为5有两种情况
∵
∴小明摸出两个小球标号的和为5的概率为．
【点睛】本题考查了频率，列举法求概率．解题的关键在于正确的列举所有事件．
21. 如图，已知是的直径，C是半圆上一点（不与点A，B重合）．
（1）用尺规过点C作的切线，交的延长线于点D；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，若，，求的直径．
【答案】（1）作图见解析
（2）12
【解析】
【分析】本题考查作图-复杂作图，切线的判定，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题不，属于中考常考题型．
（1）过点C作交的延长线于点D即可；
（2）证明是等边三角形，即可解决问题．
【小问1详解】
解：如图，直线即为所求；
【小问2详解】
解：是切线，的半径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是直径，
，
，
故的直径为12．
22. 某校九年级组织各班级（每班人数都大于40但不超过50）同学观看励志电影，由各班班长负责买票，票价为每张40元．在询问买团体票的优惠情况时，售票员说：“40人以上的团体票有两个优惠方案可选择：方案一是全班同学打7折；方案二是班级中可有6人免费，剩余同学打8折．”
（1）填空：若三班班长说：“我们班无论选择何种方案，付的钱数都是一样的．”那么，三班人数为_______；
（2）若二班班长通过比较发现，确定二班采用方案一比较优惠，求二班的人数．
【答案】（1）48 （2）49或50人
【解析】
【分析】（1）设三班有人，根据已知得出两种方案费用一样，进而列出方程求解即可．
（2）分别计算出方案一和方案二的花费，然后比较大小即可解答本题；
【小问1详解】
设三班有人，根据题意得，
，
解得．
答：三班有48人．
【小问2详解】
设二班有人，根据题意得，
解得
∵每班人数都大于40但不超过50
∴二班可能是49或50人
【点睛】本题主要考查了一元一次方程以及一元一次不等式的应用，根据已知得出关于的方程是解题关键．
23. 如图，平行四边形的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为，点D在边上，已知三角形的面积是，反比例函数的图象经过C、D两点．
（1）求点C的坐标；
（2）求点D的横坐标．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）过点D作DN⊥AC于点N，过点B作BE⊥x轴于点E，根据面积公式可得平行四边形OABC的面积=2，进而可得点C的坐标；
（2）结合（1）将C（2，3）代入y=，得k=6，将A（，0），B（，3）代入y=kx+b，然后联立方程组，即可求出点D的横坐标．
【详解】解：（1）如图，过点D作DN⊥AC于点N，过点B作BE⊥x轴于点E，
∴平行四边形OABC的面积=OC•DN=OA•BE，
∵S△OCD=×OC•DN，
∴平行四边形OABC的面积=2S△OCD，
∴OA•BE=2×=，
∵B的坐标为（，3），
∴BE=3，
∴OA=，
∴BC=OA=，
∴A（，0），
∴C点的横坐标为：-=2，
∵C点的纵坐标等于B点的纵坐标，
∴点C的坐标为（2，3）；
（2）将C（2，3）代入y=，得k=6，
∴反比例函数y=，
设直线AB解析式为y=kx+b，
将A（，0），B（，3）代入y=kx+b，
可得：y=x-，
所以联立方程组，得，
解得，，
∵点D在第一象限，
∴x＞0，
∴点D的横坐标为．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握反比例函数的图象和性质．
24. 如图，在中，，，D是的中点，M是边上一动点（M不与A、C重合），将射线绕点D顺时针旋转，与边交于点N（点N与点C不重合），连接．
（1）求证：；
（2）求证：平分；
（3）探究：数量关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3），理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
（1）根据，得出，再根据即可进行求解；
（2），得到，等量代换得到，又，推出，得到，即可证明结论成立；
（3）在上取，使，证明，推出，，再证明，即可得到结论．
【小问1详解】
证明：，
，
，，
，
，
；
【小问2详解】
证明：由（1）得，，
，
，
，又，
，
，
∴平分；
【小问3详解】
解：，理由如下，
∵，，D是的中点，
∴，，
在上取，使，连接，
由（2）得，，又，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
25. 已知，是抛物线：（为常数）上的两点，当时，总有．
（1）求的值；
（2）将抛物线平移后得到抛物线：．
当时，探究下列问题：
①若抛物线与抛物线有一个交点，求的取值范围；
②设抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的顶点为点，外接圆的圆心为点．如果对抛物线上的任意一点，在抛物线上总存在一点，使得点的纵坐标相等．求长的取值范围．
【答案】（1）
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）根据当时，总有，构建方程，求解即可；
（2）①求出抛物线经过或时的的值，即可得出结论；②判断出抛物线经过或时的的值，求出的取值范围，再根据，设，构建关系式得出，即可得解．
【小问1详解】
解：由题可得：，，
当时，总有，
，
整理得：，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：①注意到抛物线最大值和开口大小不变，只影响图象左右平移，
下面考虑满足题意的两种临界情况：
当抛物线过点时，如图1所示，
，
此时，，，解得或（舍去）；
当抛物线过点时，如图2所示，
，
此时，，，
解得：或（舍去），
综上所述，；
②同①考虑满足题意的临界情形：
当抛物线过点时，如图3所示，
，
此时，，，解得：或（舍去），
当抛物线过点时，如图4所示，
，
此时，，，解得或（舍去），
综上所述，，
如图，由圆的性质可得，点在线段的垂直平分线上，
，
，
解得：，，
，
，
，
设，
，
，
，
，
，
，即，
，
，即，
，
．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一元二次方程等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊点解决问题，属于中考压轴题．甲
乙
丙
丁
平均数(环)
9.14
9.15
9.14
9.15
方差
6.6
68
6.7
6.6
标号
1
2
3
4
次数
16
14
20
10