押新高考第15题A 数列综合（解答题）-2024年高考数学押题（新高考通用）

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1．（2023·新高考Ⅰ卷高考真题第20题）设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和．
(1)若，求的通项公式；
(2)若为等差数列，且，求．
2．（2023·新高考Ⅱ卷高考真题第18题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．
3．（2022·新高考Ⅰ卷高考真题第17题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
4．（2022·新高考Ⅱ卷高考真题第17题）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．
(1)证明：；
(2)求集合中元素个数．
5．（2021·新高考Ⅰ卷高考真题第17题）已知数列满足，
（1）记，写出，，并求数列的通项公式；
（2）求的前20项和.
6．（2021·新高考Ⅱ卷高考真题第17题）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．
（1）求数列的通项公式；
（2）求使成立的n的最小值．
等差数列通项公式： 或
等比数列通项公式：
的类型，公式
数列求和的常用方法：
对于等差、等比数列，利用公式法可直接求解；
等差数列求和，等比数列求和
（2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；
（3）对于结构，利用分组求和法；
（4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和.
或通项公式为形式的数列，利用裂项相消法求和.
即
常见的裂项技巧：
；
；

指数型；
对数型.
等
1．（2024·浙江·二模）已知等差数列的前n项和为，且.
(1)求；
(2)求数列的前n项和.
2．（2024·山西吕梁·一模）已知数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
3．（2024·山西·模拟预测）已知数列的前项和为，且．
(1)探究数列的单调性；
(2)证明：．
4．（2024·海南·模拟预测）已知数列的前项和为.
(1)求；
(2)若，求数列的前项和.
5．（2024·云南大理·模拟预测）在数列中，，且数列是等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)若，设数列的前项和为，求.
6．（2024·河北·模拟预测）已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：.
7．（2024·山西晋城·一模）已知数列的前项和．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
8．（2024·河北邯郸·三模）设数列的前项和为，已知，是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
9．（2024·海南海口·模拟预测）已知函数是高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，.若数列满足，且，记.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
10．（2024·黑龙江吉林·二模）已知是数列的前项和，，是公差为1的等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：.
11．（2024·福建·模拟预测）已知各项均为正数的数列满足，且.
(1)写出，，并求的通项公式；
(2)记求.
12．（2024·浙江·一模）已知数列满足，记数列的前项和为．
(1)求；
(2)已知且，若数列是等比数列，记的前项和为，求使得成立的的取值范围．
13．（2024·浙江·模拟预测）记等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
14．（2024·江苏·模拟预测）已知等差数列和等差数列的前项和分别为，，，.
(1)求数列和数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
15．（2024·云南红河·二模）已知数列的前项积为，且满足.
(1)求的值；
(2)试猜想数列的通项公式，并给予证明；
(3)若，记数列的前项和为，证明：.
16．（2024·重庆·一模）已知首项为正数的等差数列的公差为2，前项和为，满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和．
17．（2024·辽宁·一模）已知为数列的前n项和，满足，且成等比数列，当时，．
(1)求证：当时，成等差数列；
(2)求的前n项和．
18．（2024·辽宁辽阳·一模）已知数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)设，证明：.
19．（2024·河北唐山·一模）已知数列是正项等比数列，其前n项和为，且，．
(1)求的通项公式；
(2)记的前n项和为，求满足的最大整数n．
20．（2024·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若存在，使得成立，求实数的取值范围．
21．（2024·湖南·二模）已知是各项都为正数的等比数列，数列满足：，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若对任意的都有，求实数的取值范围.
22．（2024·湖北·模拟预测）已知数列满足：，.
(1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前20项和.
23．（2024·湖北武汉·模拟预测）各项均不为0的数列对任意正整数满足：．
(1)若为等差数列，求；
(2)若，求的前项和．
24．（2024·湖北·二模）已知各项均不为0的数列的前项和为，且．
(1)求的通项公式；
(2)若对于任意成立，求实数的取值范围．
25．（2024·山东菏泽·一模）已知数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，，求证：．
26．（2024·山东济南·一模）已知数列的前n项和为，且，令.
(1)求证：为等比数列；
(2)求使取得最大值时的n的值.
27．（2024·福建莆田·二模）已知等差数列的前项和为，公差，且成等比数列，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
28．（2024·福建漳州·一模）已知正项数列的前项和为，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，为数列的前项和，证明，．
29．（2024·江苏南通·二模）已知数列的前n项和为，，.
(1)证明：数列为等比数列；
(2)设，求数列的前n项和；
(3)是否存在正整数p，q（），使得，，成等差数列？若存在，求p，q；若不存在，说明理由.
30．（2024·广东佛山·二模）已知数列满足，，且．
(1)证明为等比数列，并求数列的通项公式；
(2)设，且数列的前项和为，证明：当时，．
考点
4年考题
考情分析
数列大题
2023年新高考Ⅰ卷第20题
2023年新高考Ⅱ卷第18题
2022年新高考Ⅰ卷第17题
2022年新高考Ⅱ卷第17题
2021年新高考Ⅰ卷第17题
2021年新高考Ⅱ卷第17题
2020年新高考Ⅰ卷第18题
2020年新高考Ⅱ卷第18题
数列大题难度一般，纵观近几年的新高考试题，主要考查等差、等比数列通项公式及前n项和、数列求和、最值问题及数列中的相关证明等知识点，同时也是高考冲刺复习的重点复习内容。可以预测2024年新高考命题方向将继续以等差、等比数列通项公式及前n项和、数列求和、证明及最值问题展开命题．