河南省南阳市方城县2023-2024学年八年级下册期中数学试题（含解析）

这是一份河南省南阳市方城县2023-2024学年八年级下册期中数学试题（含解析），共25页。试卷主要包含了本试卷分试题卷和答题卡两部分，计算的结果为，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．本试卷分试题卷和答题卡两部分．满分120分，考试时间100分钟．
2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上，答在试题卷上的答案无效．
3．答题前，考生务必将本人姓名、考场、座位号填写在答题卡第一面的指定位置上．
一、选择题（下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，请将其序号填写在答题卡上．每小题3分，共30分．）
1．下列式子是分式的是（ ）
A．B．C．D．
2．纳米是表示微小距离的单位，1纳米毫米，而1毫米相当于我们通常使用的刻度尺上的一小格，可想而知1纳米是多么的小．中科院物理所研究员解思深领导的研究组研制出世界上最细的碳纳米管——直径纳米．纳米相当于毫米，数据用科学记数法可以表示为（ ）
A．B．C．D．
3．在平面直角坐标系中，点落在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．计算的结果为（ ）
A．B．C．D．
5．下列说法正确的是（ ）
A．平行四边形是轴对称图形B．平行四边形的邻边相等
C．平行四边形的对角线互相垂直D．平行四边形的对角线互相平分
6．已知一次函数的图象如图所示，则，的取值范围是（ ）

A．， B．， C．，D．，
7．某校八年级学生去距离学校的游览区游览，一部分学生乘慢车先行，出发后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达．已知快车的速度是慢车速度的倍，求慢车的速度，设慢车的速度是，所列方程正确的是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，O是坐标原点，平行四边形的顶点A的坐标为，顶点C在轴的负半轴上，反比例函数的图像经过顶点B，则平行四边形的面积为（ ）
A．27B．18C．15D．12
9．如图，四边形和均为平行四边形，边，相交于点P，边，在同一直线上，当点P从点C出发向点D运动时（点P不与点C，D重合），则的面积与的面积差的变化情况是（ ）

A．先变小后变大B．先变大后变小C．一直变小D．一直不变
10．小明从家出发到商场购物后返回，如图表示的是小明离家的路程（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系．已知小明购物用时，从商场返回家的速度是从家去商场速度的倍，则的值为（ ）

A．46B．48C．50D．52
二、填空题（每题3分，共15分）
11．在函数中，自变量x的取值范围是 ．
12．如图，的顶点、分别在直线，上，，若，，则 ．
13．如图是某种杆秤．在秤杆的点处固定提纽，点处挂秤盘，点为0刻度点．当秤盘不放物品时，提起提纽，秤砣所挂位置移动到点，秤杆处于平衡．秤盘放入克物品后移动秤砣，当秤砣所挂位置与提扭的距离为毫米时秤杆处于平衡．测得与的几组对应数据如下表：
由表中数据的规律可知，当克时， 毫米．

14．已知关于的分式方程 的解是非正数，则 的取值范围是 ．
15．如图，在中，，，是所在平面内一点，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则的长为 ．
三、解答题（本题8个小题，共75分）
16．（1）计算：
（2）化简：
17．因活动需要购买某种水果，数学活动小组的同学通过市场调查得知：在甲商店购买该水果的费用（元）与该水果的质量x（千克）之间的关系如图所示；在乙商店购买该水果的费用（元）与该水果的质量x（千克）之间的函数解析式为（）.

(1)求与x之间的函数解析式；
(2)现计划用600元购买该水果，选甲、乙哪家商店能购买该水果更多一些？
18．如图，在中，AB>AD．
（1）用尺规完成以下基本作图：在AB上截取AE，使得AE=AD；作∠BCD的平分线交AB于点F．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图形中，连接DE交CF于点P，猜想△CDP按角分类的类型，并证明你的结论．
19．一次函数的图象与轴交于点A，且经过点．
(1)求点A和点B的坐标；
(2)直接在如图所示的平面直角坐标系中画出一次函数的图象；
(3)点P在x轴的正半轴上，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点坐标．
20．如图，在平行四边形中，对角线和交于O点，点E，F在对角线上，，平分．
(1)若，，求的度数；
(2)若，，求的长．
21．随着“双减”政策的落实，中学生有了更多的课余时间进行户外运动，为此某校决定购买一批体育器材，已知足球的单价比排球的单价多30元，且用500元购得排球，排球的数量与用800元购得足球的数量相同．
(1)排球，足球的单价各是多少元．
(2)若该校准备购买排球和足球共11个，且足球不少于2个．设购买排球和足球所需费用为y元，排球有x个，求y与x之间的函数关系式，并设计一种费用最少的购买方案，写出最少费用．
22．如图1，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，点的坐标为，点B的坐标为．

(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)连结，，求的面积；
(3)如图2，点是x轴上的一个动点，过点T作轴的垂线，与一次函数和反比例函数的图象分别交于，两点，当在的上方时，请直接写出的取值范围．
23．中，，垂足为E，连接，将绕点E逆时针旋转，得到，连接．
(1)若，
①如图①，当点E在线段上时，易证，结合图形，请直接写出线段，，的数量关系是 ；（不需说明理由）
②如图②，当点E在线段的延长线上时，请写出线段，，的数量关系，并证明；
(2)如图③，若，当点E在线段延长线上时，猜想并直接写出线段，，的数量关系是 ．（不需说明理由）
(3)在（1）、（2）的情况下，若，，则_______．（不需说明理由）
参考答案与解析
1．D
【分析】本题考查了分式的判断，根据分式的定义，一般地，如果、（不等于零）表示两个整式，且中含有字母，那么式子就叫做分式，其中称为分子，称为分母，逐项分析判断即可求解，掌握分式的定义是解题的关键．
【解答】、是整式，不是分式，不符合题意；
、是整式，不是分式，不符合题意；
、是整式，不是分式，不符合题意；
、是分式，符合题意；
故选：．
2．D
【分析】根据小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，,n为第一位有效数字前面0的个数．
【解答】解：
故选：D．
【点拨】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数；一般形式为，，n为整数，确定a与n的值是解题的关键．
3．C
【分析】本题考查点的坐标与象限的关系．根据第三象限的点的坐标特征，可以判断A在第三象限．
【解答】解：∵点，，
∴点落在第三象限．
故选：C．
4．A
【分析】本题考查了同分母分式的加减法，熟练掌握分式的加减法的运算法则是解题的关键．根据分式的加减法进行计算即可．
【解答】解：，
故选：A．
5．D
【分析】根据平行四边形的性质，逐一判断各个选项，即可得到答案．
【解答】解：A. 平行四边形是中心对称图形不是轴对称图形，故该选项错误，
B. 平行四边形的邻边不一定相等，故该选项错误，
C. 平行四边形的对角线互相平分，故该选项错误，
D. 平行四边形的对角线互相平分，故该选项正确．
故选D．
【点拨】本题主要考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，是解题的关键．
6．B
【分析】本题考查一次函数的系数，对图象的影响．要理解时，图象过一、三象限，时，图象过二、四象限；是图象与轴交点的纵坐标，这样就可以很容易找出正确答案．
【解答】解：由图可知该一次函数图象经过第一、三、四象限，
则，．
故选：B．
7．B
【分析】设出慢车的速度，再利用慢车的速度表示出快车的速度，根据所用时间差为1小时列方程即可．
【解答】解：设慢车的速度是，则快车的速度为，
依题意得，
故选：B．
【点拨】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．
8．C
【分析】过点A作轴于点D，过点B作轴于点E，根据反比例函数系数k的几何意义得，进而求得，进一步得到，根据平行四边形的面积公式即可求得答案．
【解答】解：如图，过点A作轴于点D，过点B作轴于点E，

∵四边形是平行四边形，
∴轴，
∴直线轴，
∴B、A、D三点共线，
∵，
∴四边形是矩形，
∵函数的图象经过顶点B，
∴，
∵平行四边形的顶点A的坐标为，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
故选C．
【点拨】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质，正确得出的长是解题的关键．
9．D
【分析】连接，由平行四边形对边平行且相等可得，，由同底等高的两个三角形面积相等得到，由等底同高的两个三角形面积相等得到，推出，求出面积差为0即可做出判断．
【解答】解：连接，

∵四边形和均为平行四边形，
∴，，
∵边，相交于点P，边，在同一直线上，
∴，，
∴，
∴，
即，
∴，
∴当点P从点出发向点运动时，的面积与的面积差一直不变．
故答案为：D．
【点拨】本题主要考查了平行四边形，平行线，三角形的面积，熟练掌握平行四边形的性质、平行线间的距离相等、三角形的面积公式， 等底等高的三角形面积相等，是解决问题的关键．
10．D
【分析】设小明从家去商场的速度为，则他从商场返回家的速度为，根据“从家去商场和从商场返回家路程不变”列方程求解即可．
【解答】解：设小明从家去商场的速度为，则他从商场返回家的速度为，
根据题意得：，
解得：，
故选：D．
【点拨】本题考查了一次函数的图像、一元一次方程的实际应用，根据函数图象正确列出一元一次方程式解题关键．
11．
【分析】根据分母不能为求出自变量x的取值范围．
【解答】分式中分母不能为，
，
，
故答案为：．
【点拨】本题考查求函数自变量的取值范围，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．
12．##32度
【分析】根据平行四边形的性质得到，再利用平行线的性质得到即可解答．
【解答】解：过点作，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∵在中，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
13．50
【分析】根据表格可得y与x的函数关系式，再将代入求解即可．
【解答】解：由表格可得，物品每增加2克，秤砣所挂位置与提扭的距离增加4毫米，则物品每增加1克，秤砣所挂位置与提扭的距离增加2毫米，
当不挂重物时，秤砣所挂位置与提扭的距离为10毫米，
∴y与x的函数关系式为，
当时，，
故答案为：50．
【点拨】本题考查由表格得函数关系式以及求函数值，通过表格得出函数关系式是解题的关键．
14．且
【分析】本题考查了解分式方程，方程的解，以及解一元一次不等式，先解分式方程，求出方程的解，再根据方程有解，得出，且，建立关于的不等式组，求解即可，熟练掌握解分式方程是解题的关键．
【解答】解：去分母，得，
解得：，
∵，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴且，
故答案为：且．
15．2或.
【分析】分三种情况讨论：①为边，是对角线；②，为边，③，为边，作出图形，分别由平行四边形的性质和勾股定理可求的长．
【解答】①如图，若为边，是对角线，
四边形是平行四边形，且，，
，
②若，为边，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
③若，为边，
是平行四边形，
，
故答案为2或.
【点拨】本题考查了平行四边形的性质和勾股定理，运用数形结合思想与分类讨论思想是解决本题的关键．
16．（1）2；（2）
【分析】本题考查了实数的计算以及分式的化简求值．
（1）先计算负指数幂、绝对值、零指数幂和平方根，再计算即可；
（2）直接利用分式的化简方法化简即可．
【解答】
17．(1)当时，；当时，
(2)选甲家商店能购买该水果更多一些
【分析】（1）利用待定系数法求解析式；
（2）分别计算时时x的值，比较即可得到结论
【解答】（1）解：当时，设，
将代入，得，
∴，
∴；
当时，设，将点，代入，得
，解得，
∴
（2）当时，，解得；
当时，，解得，
∵，
∴选甲家商店能购买该水果更多一些．
【点拨】此题考查了一次函数的实际应用，待定系数法求一次函数的解析式，求自变量的值，正确理解函数图象是解题的关键．
18．（1）见解析；（2）直角三角形，理由见解析
【分析】（1）直接利用角平分线的作法得出符合题意的答案；
（2）先证明∠ADE=∠CDE，再利用平行线的性质“同旁内角互补”，得出∠CPD=90即可得出答案．
【解答】解：（1）解：如图所示：E，F即为所求；
（2）△CDP是直角三角形．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AD∥BC．
∴∠CDE=∠AED，∠ADC+∠BCD=180°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED．
∴∠CED=∠ADE=∠ADC．
∵CP平分∠BCD，
∴∠DCP=∠BCD，
∴∠CDE+∠DCP=90°．
∴∠CPD=90°．
∴△CDP是直角三角形．
【点拨】本题主要考查了基本作图以及平行四边形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
19．(1)点；点
(2)见解析
(3)或
【分析】本题考查了一次函数的综合应用，等腰三角形的性质．
（1）利用x轴上的坐标特点，以及B点的纵坐标即可解答；
（2）利用A、B的坐标描点．连线即可；
（3）利用等腰三角形的定义和性质即可解答．
【解答】（1）解：把代入，得
解得，
∴点A的坐标为
把代入，得
，解得
∴点B的坐标为
（2）过点A，B画出一次函数的图象如图所示．

（3）分别以点A和点B为圆心，AB的长为半径画弧，交x轴的正半轴于点P，可求
，
，
若以A为顶点，则，
若以B为顶点，则，
过点B作，为等腰三角形，
，
，
P的坐标为：，
20．(1)
(2)
【分析】本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质；
（1）根据平行四边形的性质求出，然后可得的度数，再根据角平分线的定义求出，最后利用平行线的性质得出答案；
（2）根据平行线的性质可得，，证明，可得，求出，然后根据平行四边形的性质可得答案．
【解答】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴；
（2）∵，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
21．(1)排球的单价为50元，足球的单价为80元
(2)费用最少的购买方案为：购买排球9个，足球2个，最少费用为610元
【分析】（1）设排球的单价为a元，则足球的单价为（a+30）元，根据数量=总价÷单价结合花500元购买的排球的个数与花800元购买的足球的个数恰好相等，即可得出关于a的分式方程，解之经检验后即可得出答案；
（2）设购买排球x个，足球（11-x）个，根据购买的总费用y等于购买排球的费用+购买足球的费用峛出函数关系式，再根据函数的性质求解即可．
【解答】（1）解：设排球的单价为a元，则足球的单价为元，
根据题意，得，
解得，
经检验是分式方程的解且符合题意，
∴，
答：排球的单价为50元，足球的单价为80元．
（2）解：根据题意，得，
∵，解得，
在中，，
∴y随的增大而减小，
∴当时，取得最小值，，
此时，
即费用最少的购买方案为：购买排球9个，足球2个，最少费用为610元．
【点拨】本题考查了分式方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程和一次函数解析式．
22．(1)，
(2)
(3)或
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合，待定系数法，图象法解不等式；
（1）把分别代入一次函数与反比例函数，即可求解；
（2）求出、点的坐标，分别过点A、B作轴于点D，轴于点E，由即可求解；
（3）画出满足条件的图象，根据图象，即可求解；
掌握待定系数法，割补法，图象法是解题的关键．
【解答】（1）解：把代入一次函数得，
，
解得：，
一次函数的解析式为：，
把代入反比例函数得，
，
解得：，
反比例函数的解析式为：；
（2）解：如图，分别过点A、B作轴于点D，轴于点E，

把代入得
；
，，
设直线与轴交于点，
当时，，
解得：，
，，
∴
；
（3）解：如图，
，
由图象可得：当在的上方时，的取值范围为：或．
23．(1)①；②，证明见解析
(2)
(3)1或7
【分析】（1）①根据全等三角形的性质和平行四边形的性质直接可以得出结论；
②利用等腰三角形的判定证，根据证明，根据全等三角形的性质，结合平行四边形的性质证明即可；
（2）利用证，再证全等三角形，结合平行四边形的性质即可得出结论；
（3）利用（1）、（2）的结论，把，代入计算即可．
【解答】（1）①，证明如下：
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
即；
②线段，，的数量关系是：，
证明：∵
∴，
∵，
∴，
∴
∴
由旋转可知：，，
∴，
∴
在和中
，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴
∴，
∵，
∴．
（2），证明如下：
∵
∴，
∵，
∴，，
∴
∴
由旋转可知：，，
∴，
∴
在和中
，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴
∴，
∵，
∴．
（3）如图①，∵四边形是平行四边形，
∴，
∴
∵
∴
中，，，
由，得；
如图②，，则，
中，，
∴，与矛盾，故图②中，不存在，的情况；
如图③，
∵四边形是平行四边形
∴
∴
∵
∴
中，，
∴
由知，．
综上，或7．
【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，平行四边形的性质，勾股定理，旋转的性质，综合运用相关的知识是解题的关键．
/克
0
2
4
6
10
/毫米
10
14
18
22
30