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2025年高考数学一轮复习专题4.1 导数的概念及几何意义-(原卷版+解析版)
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题型一平均变化率和瞬时变化率
例1．（北京市第十四中学2022-2023学年高二下学期期中测试数学试题）下图是函数的图象，函数在区间，上的平均变化率分别为，，则，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．无法确定
例2．（福建省2022-2023学年高三下学期质优生“筑梦”联考数学试题）某铁球在时，半径为.当温度在很小的范围内变化时，由于热胀冷缩，铁球的半径会发生变化，且当温度为时铁球的半径为，其中为常数，则在时，铁球体积对温度的瞬时变化率为（ ）
A．0B．C．D．
练习1．（2023春·江西·高二校联考期中）某汽车在平直的公路上向前行驶，其行驶的路程y与时间t的函数图象如图.记该车在时间段，，，上的平均速度的大小分别为，，，，则平均速度最小的是（ ）
A．B．C．D．
练习2．（2023春·贵州·高三校联考期中）函数在区间上的平均变化率为（ ）
A．2B．6C．12D．48
练习3．（2023春·上海嘉定·高三上海市嘉定区第一中学校考期中）蜥蜴的体温与阳光照射的关系近似满足函数关系式：，其中为蜥蜴的体温（单位：），为太阳落山后的时间（单位：）．
(1)求，并解释其实际意义；
(2)蜥蜴体温的瞬时变化率为时的时刻是多少（精确到）？
练习4．（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高一校考开学考试）如图，从上端口往一高为H的水缸匀速注入水，水注满所用时间为T.若当水深为h时，水注入所用时间为t，则函数的图像大致是（ ）
A．B．
C．D．
练习5．（2023春·浙江杭州·高三杭州四中校考期中）若小球自由落体的运动方程为（g为常数），该小球在到的平均速度为，在的瞬时速度为，则和的大小关系为________（填“”，“”或“”）
题型二导数的定义运算
例3．（江西省部分学校2022-2023学年高三下学期4月期中联考数学试题）已知，则（ ）
A．1B．3C．6D．9
例4．若在处可导，则可以等于（ ）．
A．B．
C．D．
练习6．（2023春·湖北武汉·高二校联考阶段练习）设函数，则（ ）
A．3B．C．D．0
练习7．（2023春·四川达州·高三校考期中）已知函数，则________．
练习8．（2023·高三课时练习）如图，函数的图象在点处的切线方程是，则（ ）
A．B．C．D．
练习9．（2023春·山东菏泽·高三统考期中）已知函数在处可导，且，则（ ）
A．B．C．D．
练习10．（2023春·上海杨浦·高三上海市控江中学校考期中）计算：（ ）
A．0B．C．D．
题型三导数的四则运算和复合函数求导
例5．（四川省成都市蓉城名校联盟2022-2023学年高三下学期期中联考理科数学试题）函数的导函数为（ ）
A．B．
C．D．
例6．（黑龙江省哈尔滨市第九中学校2022-2023学年高二下学期期中数学试题）求下列已知函数的导函数
(1)
(2)
(3)
(4)
练习11．（2023春·江西·高三校联考期中）求下列函数的导数：
(1)；
(2).
练习12．（2023春·四川成都·高三四川省成都市新都一中校联考期中）下列导数运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
练习13．（2023春·贵州遵义·高三校考阶段练习）已知函数，则________.
练习14．（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈九中校考期中）（多选）下列求导运算错误的是（ ）
A．B．
C．D．
练习15．（2023春·上海杨浦·高三上海市控江中学校考期中）函数的导函数的定义域为__________.
题型四求曲线切线的斜率（倾斜角）
例7．（山东省菏泽市2022-2023学年高三下学期期中数学试题）正弦曲线在点处的切线斜率是（ ）
A．B．C．D．
例8．（江苏省无锡市四校2022-2023学年高三下学期期中联考数学试题）已知函数与的部分图象如图所示，则（ ）
A．B．
C．D．
练习16．（2023·全国·高三专题练习）函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（ ）
A．B．
C．D．
练习17．（2023春·山东淄博·高三沂源县第一中学校考期中）若直线与曲线相切，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
练习18．（2023春·江西·高三校联考期中）已知函数的导函数为，的图象如图所示，则（ ）
A．B．
C．D．
练习19．（2023秋·江苏盐城·高三江苏省阜宁中学校联考期末）已知点P是曲线上一动点，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
练习20．（2023春·四川德阳·高三德阳五中校考阶段练习）若曲线在处的切线的倾斜角为，则（ ）
A．B．C．D．
题型五曲线上一点处的切线问题
例9．（辽宁省锦州市辽西育明高级中学2022-2023学年高三下学期期中数学试题）曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
例10．（四川省成都市蓉城高中联盟2022-2023学年高三下期期中考试理科数学试题）已知，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
练习21．（2023春·四川成都·高三四川省成都市新都一中校联考期中）已知，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
练习22．（2023春·江苏无锡·高三江阴市华士高级中学校联考期中）已知函数，则在处的切线方程为_______．
练习23．（2023·陕西榆林·统考模拟预测）已知函数，若的图象在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为1，则（ ）
A．B．2C．±2D．
练习24．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）已知函数在点处的切线方程为______________．
练习25．（2023·浙江·校联考模拟预测）函数的图象在点处的切线方程为__________．
题型六过一点的切点问题
例11．（天津市南开大学附属中学2022-2023学年高三下学期阶段检测数学试题）曲线过点的切线方程为______________________.
例12．已知经过点的两条直线，均与曲线相切，若直线的方程为，则m的值为______，直线的方程为______．
练习26．（2023·全国·模拟预测）过坐标原点作曲线的切线，则切点的横坐标为___________.
练习27．（2023春·上海嘉定·高三上海市嘉定区第一中学校考期中）已知曲线，过点作曲线的切线，则切线方程________．
练习28．（2023·海南海口·校联考模拟预测）过轴上一点作曲线的切线，若这样的切线不存在，则整数的一个可能值为_________．
练习29．（2023春·江西·高三校联考期中）（多选）过点且与曲线相切的直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
练习30．（2023·海南·统考模拟预测）已知函数，过点作曲线的切线，则切线的条数为_______________．
题型七已知切线（斜率）求参数
例13．（2023·广西·统考模拟预测）已知曲线在点处的切线与直线平行，则实数的值为________.
例14．（2023·重庆·统考三模）已知直线y＝ax－a与曲线相切，则实数a＝（ ）
A．0B．C．D．
练习31．（2023春·四川成都·高三树德中学校考阶段练习）已知曲线在点P处的切线与直线垂直，则P点的横坐标为___________.
练习32．（2023春·安徽马鞍山·高三马鞍山二中校考阶段练习）若曲线在点(0,)处的切线方程为，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
练习33．（2023·广西南宁·南宁三中校考一模）已知直线是曲线的切线，则（ ）
A．B．1C．D．2
练习34．（2023春·广东深圳·高三红岭中学校考期中）（多选）已知点不在函数的图象上，且过点能作两条直线与的图象相切，则的取值可以是（ ）
A．B．C．0D．
练习35．（2023·浙江金华·统考模拟预测）已知函数，过点存在3条直线与曲线相切，则实数的取值范围是___________.
题型八两切线的平行、垂直问题
例15．（2023·河南·洛阳市第三中学校联考模拟预测）已知曲线，过曲线上A，B两点分别作曲线的切线交于点P，AP⊥BP．记A，B两点的横坐标分别为，则（ ）
A．B．1C．D．2
例16．（2022秋·河北邢台·高三校联考阶段练习）已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)当时，曲线上存在分别以和为切点的两条互相平行的切线，求的最大值.
练习36．（2022秋·青海·高三青海师大附中校考阶段练习）已知曲线y＝存在两条互相平行的切线，请写出一个满足条件的函数：_______.
练习37．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知函数，则（ ）
A．有两个零点B．过坐标原点可作曲线的切线
C．有唯一极值点D．曲线上存在三条互相平行的切线
练习38．（2023春·安徽·高三安徽省太和中学校联考阶段练习）（多选）若函数的图象上不存在互相垂直的切线，则实数的值可以是（ ）
A．B．1C．2D．3
练习39．（2022春·江苏苏州·高三苏州市相城区陆慕高级中学校考阶段练习）已知函数，若f（x）的图象存在两条相互垂直的切线，则a的值可以是（ ）
A．－4B．－3C．－2D．－1
练习40．（2023·高三校考课时练习）（多选）已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A．时，B．在定义域内单调递增时，
C．时，有极值D．时，的图象存在两条相互垂直的切线
题型九公切线问题
例17．（2023春·四川绵阳·高三校考期中）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（ ）
A．2B．3C．1D．1.5
例18．（2022秋·四川绵阳·高三四川省绵阳江油中学校考阶段练习）若存在斜率为3a（a>0）的直线l与曲线与都相切，则实数b的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
练习41．（2023春·陕西咸阳·高二校考期中）已知两曲线和都经过点，且在点处有公切线，试求、、的值．
练习42．（2023春·江苏南京·高三江苏省溧水高级中学校考期中）已知直线是曲线与的公切线，则________.
练习43．（2023春·福建厦门·高三厦门一中校考期中）写出曲线与曲线的公切线的一个方向向量______.
练习44．（2023·河北唐山·统考三模）已知曲线与有公共切线，则实数的取值范围为__________.
练习45．（2023·湖北·统考模拟预测）（多选）若存在直线与曲线都相切，则的值可以是（ ）
A．0B．C．D．
题型一
平均变化率和瞬时变化率
题型二
导数的定义运算
题型三
导数的四则运算和复合函数求导
题型四
求曲线切线的斜率（倾斜角）
题型五
曲线上一点处的切线问题
题型六
过一点的切点问题
题型七
已知切线（斜率）求参数
题型八
两切线的平行、垂直问题
题型九
公切线问题
题型一平均变化率和瞬时变化率
例1．（北京市第十四中学2022-2023学年高二下学期期中测试数学试题）下图是函数的图象，函数在区间，上的平均变化率分别为，，则，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．无法确定
例2．（福建省2022-2023学年高三下学期质优生“筑梦”联考数学试题）某铁球在时，半径为.当温度在很小的范围内变化时，由于热胀冷缩，铁球的半径会发生变化，且当温度为时铁球的半径为，其中为常数，则在时，铁球体积对温度的瞬时变化率为（ ）
A．0B．C．D．
练习1．（2023春·江西·高二校联考期中）某汽车在平直的公路上向前行驶，其行驶的路程y与时间t的函数图象如图.记该车在时间段，，，上的平均速度的大小分别为，，，，则平均速度最小的是（ ）
A．B．C．D．
练习2．（2023春·贵州·高三校联考期中）函数在区间上的平均变化率为（ ）
A．2B．6C．12D．48
练习3．（2023春·上海嘉定·高三上海市嘉定区第一中学校考期中）蜥蜴的体温与阳光照射的关系近似满足函数关系式：，其中为蜥蜴的体温（单位：），为太阳落山后的时间（单位：）．
(1)求，并解释其实际意义；
(2)蜥蜴体温的瞬时变化率为时的时刻是多少（精确到）？
练习4．（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高一校考开学考试）如图，从上端口往一高为H的水缸匀速注入水，水注满所用时间为T.若当水深为h时，水注入所用时间为t，则函数的图像大致是（ ）
A．B．
C．D．
练习5．（2023春·浙江杭州·高三杭州四中校考期中）若小球自由落体的运动方程为（g为常数），该小球在到的平均速度为，在的瞬时速度为，则和的大小关系为________（填“”，“”或“”）
题型二导数的定义运算
例3．（江西省部分学校2022-2023学年高三下学期4月期中联考数学试题）已知，则（ ）
A．1B．3C．6D．9
例4．若在处可导，则可以等于（ ）．
A．B．
C．D．
练习6．（2023春·湖北武汉·高二校联考阶段练习）设函数，则（ ）
A．3B．C．D．0
练习7．（2023春·四川达州·高三校考期中）已知函数，则________．
练习8．（2023·高三课时练习）如图，函数的图象在点处的切线方程是，则（ ）
A．B．C．D．
练习9．（2023春·山东菏泽·高三统考期中）已知函数在处可导，且，则（ ）
A．B．C．D．
练习10．（2023春·上海杨浦·高三上海市控江中学校考期中）计算：（ ）
A．0B．C．D．
题型三导数的四则运算和复合函数求导
例5．（四川省成都市蓉城名校联盟2022-2023学年高三下学期期中联考理科数学试题）函数的导函数为（ ）
A．B．
C．D．
例6．（黑龙江省哈尔滨市第九中学校2022-2023学年高二下学期期中数学试题）求下列已知函数的导函数
(1)
(2)
(3)
(4)
练习11．（2023春·江西·高三校联考期中）求下列函数的导数：
(1)；
(2).
练习12．（2023春·四川成都·高三四川省成都市新都一中校联考期中）下列导数运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
练习13．（2023春·贵州遵义·高三校考阶段练习）已知函数，则________.
练习14．（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈九中校考期中）（多选）下列求导运算错误的是（ ）
A．B．
C．D．
练习15．（2023春·上海杨浦·高三上海市控江中学校考期中）函数的导函数的定义域为__________.
题型四求曲线切线的斜率（倾斜角）
例7．（山东省菏泽市2022-2023学年高三下学期期中数学试题）正弦曲线在点处的切线斜率是（ ）
A．B．C．D．
例8．（江苏省无锡市四校2022-2023学年高三下学期期中联考数学试题）已知函数与的部分图象如图所示，则（ ）
A．B．
C．D．
练习16．（2023·全国·高三专题练习）函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（ ）
A．B．
C．D．
练习17．（2023春·山东淄博·高三沂源县第一中学校考期中）若直线与曲线相切，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
练习18．（2023春·江西·高三校联考期中）已知函数的导函数为，的图象如图所示，则（ ）
A．B．
C．D．
练习19．（2023秋·江苏盐城·高三江苏省阜宁中学校联考期末）已知点P是曲线上一动点，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
练习20．（2023春·四川德阳·高三德阳五中校考阶段练习）若曲线在处的切线的倾斜角为，则（ ）
A．B．C．D．
题型五曲线上一点处的切线问题
例9．（辽宁省锦州市辽西育明高级中学2022-2023学年高三下学期期中数学试题）曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
例10．（四川省成都市蓉城高中联盟2022-2023学年高三下期期中考试理科数学试题）已知，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
练习21．（2023春·四川成都·高三四川省成都市新都一中校联考期中）已知，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
练习22．（2023春·江苏无锡·高三江阴市华士高级中学校联考期中）已知函数，则在处的切线方程为_______．
练习23．（2023·陕西榆林·统考模拟预测）已知函数，若的图象在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为1，则（ ）
A．B．2C．±2D．
练习24．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）已知函数在点处的切线方程为______________．
练习25．（2023·浙江·校联考模拟预测）函数的图象在点处的切线方程为__________．
题型六过一点的切点问题
例11．（天津市南开大学附属中学2022-2023学年高三下学期阶段检测数学试题）曲线过点的切线方程为______________________.
例12．已知经过点的两条直线，均与曲线相切，若直线的方程为，则m的值为______，直线的方程为______．
练习26．（2023·全国·模拟预测）过坐标原点作曲线的切线，则切点的横坐标为___________.
练习27．（2023春·上海嘉定·高三上海市嘉定区第一中学校考期中）已知曲线，过点作曲线的切线，则切线方程________．
练习28．（2023·海南海口·校联考模拟预测）过轴上一点作曲线的切线，若这样的切线不存在，则整数的一个可能值为_________．
练习29．（2023春·江西·高三校联考期中）（多选）过点且与曲线相切的直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
练习30．（2023·海南·统考模拟预测）已知函数，过点作曲线的切线，则切线的条数为_______________．
题型七已知切线（斜率）求参数
例13．（2023·广西·统考模拟预测）已知曲线在点处的切线与直线平行，则实数的值为________.
例14．（2023·重庆·统考三模）已知直线y＝ax－a与曲线相切，则实数a＝（ ）
A．0B．C．D．
练习31．（2023春·四川成都·高三树德中学校考阶段练习）已知曲线在点P处的切线与直线垂直，则P点的横坐标为___________.
练习32．（2023春·安徽马鞍山·高三马鞍山二中校考阶段练习）若曲线在点(0,)处的切线方程为，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
练习33．（2023·广西南宁·南宁三中校考一模）已知直线是曲线的切线，则（ ）
A．B．1C．D．2
练习34．（2023春·广东深圳·高三红岭中学校考期中）（多选）已知点不在函数的图象上，且过点能作两条直线与的图象相切，则的取值可以是（ ）
A．B．C．0D．
练习35．（2023·浙江金华·统考模拟预测）已知函数，过点存在3条直线与曲线相切，则实数的取值范围是___________.
题型八两切线的平行、垂直问题
例15．（2023·河南·洛阳市第三中学校联考模拟预测）已知曲线，过曲线上A，B两点分别作曲线的切线交于点P，AP⊥BP．记A，B两点的横坐标分别为，则（ ）
A．B．1C．D．2
例16．（2022秋·河北邢台·高三校联考阶段练习）已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)当时，曲线上存在分别以和为切点的两条互相平行的切线，求的最大值.
练习36．（2022秋·青海·高三青海师大附中校考阶段练习）已知曲线y＝存在两条互相平行的切线，请写出一个满足条件的函数：_______.
练习37．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知函数，则（ ）
A．有两个零点B．过坐标原点可作曲线的切线
C．有唯一极值点D．曲线上存在三条互相平行的切线
练习38．（2023春·安徽·高三安徽省太和中学校联考阶段练习）（多选）若函数的图象上不存在互相垂直的切线，则实数的值可以是（ ）
A．B．1C．2D．3
练习39．（2022春·江苏苏州·高三苏州市相城区陆慕高级中学校考阶段练习）已知函数，若f（x）的图象存在两条相互垂直的切线，则a的值可以是（ ）
A．－4B．－3C．－2D．－1
练习40．（2023·高三校考课时练习）（多选）已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A．时，B．在定义域内单调递增时，
C．时，有极值D．时，的图象存在两条相互垂直的切线
题型九公切线问题
例17．（2023春·四川绵阳·高三校考期中）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（ ）
A．2B．3C．1D．1.5
例18．（2022秋·四川绵阳·高三四川省绵阳江油中学校考阶段练习）若存在斜率为3a（a>0）的直线l与曲线与都相切，则实数b的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
练习41．（2023春·陕西咸阳·高二校考期中）已知两曲线和都经过点，且在点处有公切线，试求、、的值．
练习42．（2023春·江苏南京·高三江苏省溧水高级中学校考期中）已知直线是曲线与的公切线，则________.
练习43．（2023春·福建厦门·高三厦门一中校考期中）写出曲线与曲线的公切线的一个方向向量______.
练习44．（2023·河北唐山·统考三模）已知曲线与有公共切线，则实数的取值范围为__________.
练习45．（2023·湖北·统考模拟预测）（多选）若存在直线与曲线都相切，则的值可以是（ ）
A．0B．C．D．
题型一
平均变化率和瞬时变化率
题型二
导数的定义运算
题型三
导数的四则运算和复合函数求导
题型四
求曲线切线的斜率（倾斜角）
题型五
曲线上一点处的切线问题
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过一点的切点问题
题型七
已知切线（斜率）求参数
题型八
两切线的平行、垂直问题
题型九
公切线问题
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