专题01 数与式、方程与不等式的性质及运算（13题型+限时检测）-2024年中考数学二轮复习讲义（全国通用）

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一、复习方法
1.以专题复习为主。 2.重视方法思维的训练。
3.拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。
二、复习难点
1.专题的选择要准，安排时间要合理。 2.专项复习要以题带知识。
3.在复习的过程中要兼顾基础，在此基础上适当增加变式和难度，提高能力。
专题01 数与式、方程与不等式的性质及运算
目 录
TOC \ "1-3" \n \h \z \u
\l "_Tc160741717" 题型01 数与式的混合运算
\l "_Tc160741718" 题型02 科学记数法
\l "_Tc160741719" 题型03 整式与分式的化简求值
\l "_Tc160741720" 题型04 因式分解的运算及应用
\l "_Tc160741721" 题型05 比较大小
\l "_Tc160741722" 题型06 解四大方程（含一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程组、分式方程）
\l "_Tc160741723" 题型07 解不等式（组）
\l "_Tc160741724" 题型08 根据分式方程解的情况求值
\l "_Tc160741725" 题型09 根据判别式判断一元二次方程根的情况
\l "_Tc160741726" 题型10 根据一元二次根的情况求参数
\l "_Tc160741727" 题型11 一元二次方程根与系数的关系
\l "_Tc160741728" 题型12 根的判别式和根与系数关系综合
\l "_Tc160741729" 题型13 特殊解及含参不等式（组）问题
题型01 数与式的混合运算
1．（2022·江苏苏州·统考中考真题）下列运算正确的是（ ）
A．(−7)2=−7B．6÷23=9C．2a+2b=2abD．2a⋅3b=5ab
【答案】B
【分析】通过a2=|a|，判断A选项不正确；C选项中2a、2b不是同类项，不能合并；D选项中，单项式与单项式法则：把单项式的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式；B选项正确．
【详解】A. (−7)2=49=7，故A不正确；
B. 6÷23=6×32=9，故B正确；
C. 2a+2b≠2ab，故C不正确；
D. 2a⋅3b=6ab，故D不正确；
故选B．
【点睛】本题考查二次根式的性质、有理数的除法及整式的运算，灵活运用相应运算法则是解题的关键．
2．（2023·北京石景山·校考一模）计算：−12019+−12−2−2−12+4sin60°．
【答案】5
【分析】直接利用负整数指数幂运算法则、二次根式的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案．
【详解】解：原式=−1+4−2−23+4×32
=−1+4−23+2+23
=5．
【点睛】此题主要考查了实数运算，负整数指数幂，二次根式的性质，特殊角的三角函数值、绝对值的性质，正确化简各数是解题关键．
3．（2023·广东肇庆·统考三模）计算：13−2+−π0−3−64−3−2．
【答案】12+3
【分析】本题考查了实数的混合运算，先化简负整数指数幂、零指数幂、立方根以及绝对值，再运算加减法，即可作答．
【详解】解：原式=9+1+4−2−3
=9+1+4−2+3
=12+3
4．（2022·重庆·统考中考真题）计算：
(1)x+22+xx−4；
(2)ab−1÷a2−b22b．
【答案】(1)2x2+4
(2)2a+b
【分析】（1）先计算乘法，再合并，即可求解；
（2）先计算括号内的，再计算除法，即可求解．
【详解】（1）解：原式=x2+4x+4+x2−4x
=2x2+4
（2）解：原式=a−bb×2b(a+b)(a−b)
=2a+b
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，分式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
题型02 科学记数法
5．（2023·安徽·模拟预测）安徽省统计局网发布消息称，2022年前三季度，全省农林牧渔业总产值约3806亿元．其中3806亿用科学记数法表示为（ ）
A．3.806×103B．3806×108C．3.806×1011D．3.806×1012
【答案】C
【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤a0时，方程有两个不相等的实数根
(2)m=1
【分析】（1）根据一元二次方程有两个不同实数根时，利用Δ>0求解即可；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2=2m+2，代入进行计算即可得到m的值．
【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ>0，
∴Δ=−2m+22−4×1×m2+4>0，即16m>0，
解得：m>0，
∴当m>0时，方程有两个不相等的实数根；
（2）解：根据一元二次方程的根与系数的关系可得：x1+x2=−−2m+21=2m+2，
∵x1+x22−2x1+x2−24=0，
∴2m+22−22m+2−24=0，
解得：m1=1，m2=−4，
∵m>0，
∴m=1．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根与Δ=b2−4ac有如下关系：①Δ>0，方程有两个不相等的实数根，②Δ=0，方程有两个相等的实数根，③Δ12
(2)m=1
【分析】（1）根据判别式的意义得到−42−4×1×−2m+5>0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=4，x1x2=−2m+5，代入已知等式中，求出m值即可．
【详解】（1）解：∵方程有两个实数根x1，x2，并且x1≠x2，
∴−42−4×1×−2m+5>0，
∴m>12；
（2）解：∵x1，x2是该方程的两个根，
∴x1+x2=4，x1x2=−2m+5，
∵x1x2+x1+x2=m2+6，
∴−2m+5+4=m2+6，
解得：m=−3或m=1，
∵m>12，
∴m=1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系，当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ0，
∴x1≠x2，故A不符合题意；
∵x1、x2是关于x的方程x2−2x−1=0的两个实数根，
∴x12−2x1−1=0，x22−2x2−1=0，
∴x12−2x1=1，x22−2x2=1，
∴x12−2x1=x22−2x2，故B符合题意；
∵x1、x2是关于x的方程x2−2x−1=0的两个实数根，
∴x1+x2=2，x1⋅x2=−1，
故C，D不符合题意；
故选B
【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解的含义，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上基础知识是解本题的关键．
52．（2023·安徽·校联考模拟预测）若m，n是一元二次方程x2−3x+2=0的两个实数根，则m2−2m+n的值是 ．
【答案】1
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，以及一元二次方程的解，将m2−2m+n变形为m2−3m+m+n，根据题意得到m2−3m和m+n的值，将值代入变形后的式子即可解题．
【详解】解：∵ m，n是一元二次方程x2−3x+2=0的两个实数根，
∴m2−3m+2=0，即m2−3m=−2，
且m+n=−−31=3，
∴ m2−2m+n=m2−3m+m+n=−2+3=1．
故答案为：1．
题型12 根的判别式和根与系数关系综合
53．（2023·湖北襄阳·统考二模）关于x的一元二次方程x2−2m+1x+m2+5=0有两个实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长恰好是此方程的两个实数根，斜边AB=6，求Rt△ABC的周长．
【答案】(1)m≥2
(2)14
【分析】（1）由方程有两个实数根结合根的判别式，可得出Δ=8m−16≥0，解之即可得出结论；
（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2=2m+1，x1⋅x2=m2+5结合勾股定理可得出关于m的一元二次方程，解之可得出m的值，由方程的两根均为正值可确定m的值，再根据三角形的周长公式即可求出结论．
【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程x2−2m+1x+m2+5=0有两个实数根，
∴Δ=4m+12−4m2+5=8m−16≥0．
解得：m≥2．
（2）解：设x1，x2是关于x的一元二次方程x2−2m+1x+m2+5=0的两实数根，
∴x1+x2=2m+1，x1⋅x2=m2+5，
∵x1+x22=x12+x22+2x1x2，
∴x12+x22=x1+x22−2x1x2
=2m+12−2m2+5
=4m+12−2m2−10
=2m2+8m−6，
根据勾股定理得x12+x22=AB2=62，
∴2m2+8m−6=36，
解得m=3或−7（舍去），
∴x1+x2=2m+1=8，
∴AC+BC=8，
∴△ABC的周长为8+6=14．
【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
54．（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）已知关于x的一元二次方程x2−6x+2m−1=0有x1，x2两实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)是否存在实数m，满足x1−1x2−1=−6m−7？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)m≤5
(2)存在，4
【分析】（1）根据一元二次方程根的情况即可求解；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系：x1+x2=−ba,x1·x2=ca即可求解．
【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程x2−6x+2m−1=0有x1，x2两实数根，
∴Δ=−62−4×1×2m−1=40−8m≥0，
解得m≤5；
（2）解：存在．理由如下：
由根与系数的关系得x1+x2=6,x1·x2=2m−1
∵x1−1x2−1=−6m−7
即x1·x2−x1+x2+1=−6m−7
即2m−1−6+1=−6m−7，化简m2−10m+24=0，
解得m1=4，m2=6，
经检验m1=4，m2=6都是原方程的解，
∵m≤5，
∴m=4．
【点睛】本题考查了根据一元二次方程根的情况求解参数的范围以及根与系数的关系．熟记相关结论是解题关键．
55．（2023·广东广州·统考模拟预测）一元二次方程的根与系数的关系是：关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1、x2，则有： x1+x2=−ba， x1x2=ca．某班学完该内容后，王老师要求学生根据上述知识进行编题、解题训练，其中小明同学编的练习题是：设k=3，方程x2−3x+k=0的两个实数根是x1、x2，求x2x1+x1x2的值．
小明同学对这道题的解答过程是：解：∵k=3，∴已知方程是x2−3x+k=0，
又∵x1+x2=3，x1x2=3，
∴x2x1+x1x2=x22+x12x1x2=(x1+x2)2−2x1x2x1x2=32−2×33=1，
∴x2x1+x1x2=1．
(1)请你针对以上练习题的解答的正误做出判断，并简述理由．
(2)请你对小明同学所编的练习题中的k另取一个适当的正整数，其他条件不变，求x2x1+x1x2的值．
【答案】(1)错误，理由见解析
(2)当k=1时，原式=7；当k=2时，原式=52
【分析】（1）根据使用根与系数的关系的前提条件为Δ≥0，而当k=3时，Δ