2024年广东省佛山市南海区、三水区中考二模数学试题（原卷版+解析版）

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说明:
1. 全卷共6页, 23小题, 满分为120分, 考试用时为120分钟．
2.答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、考场号、座位号.用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑．
3.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮檫干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
4.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效．
5.考生务必保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列四个数中，最小的数为（ ）
A. B. 3C. D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了有理数的大小比较，利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可．
【详解】解：∵，
∴最小的数是：．
故选：A．
2. 第33届夏季奥林匹克运动会将于2024年举行，下列图形是本届奥运会运动项目图标，其中属于轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．据此进行分析即可．
【详解】解：A，B， D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，不符合题意；
C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，符合题意；
故选：C．
3. 据港珠澳大桥边检站统计，2024年3月28日至4月6日，经港珠澳大桥珠海公路口岸出入境的客流车流累计超过1000000人次和170000辆次，日均超过100000人次和17000辆次，同比增长、，均处于历史最高位．其中“170000”用科学记数法表示为（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，据此解答即可．
【详解】解：
故选：D．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂相除、同底数幂相乘、幂的乘方与积的乘方，根据合并同类项、同底数幂相除、同底数幂相乘、幂的乘方与积的乘方的运算法则逐项判断即可．
【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意；
B、，故原选项计算错误，不符合题意；
C、，故原选项计算正确，符合题意；
D、，故原选项计算错误，不符合题意；
故选：C．
5. 2024广东3·15消费维权打假论坛在广州举行，本次论坛四大分会场“非遗文化分论坛”、“美妆直播分论坛”、“家装行业分论坛”和“食品行业分论坛”同时进行，若某记者随机选择一场分论坛进行报道，则选中“非遗文化分论坛”概率是（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了概率公式，直接根据概率公式（概率所求情况数与总情况数之比）计算即可．
【详解】解：从“非遗文化分论坛”、“美妆直播分论坛”、“家装行业分论坛”和“食品行业分论坛”四场论坛随机选择一个论坛有4种情况，选中“非遗文化分论坛”的只有一种情况，
选中“非遗文化分论坛”的概率是．
故选：B．
6. 如图，在中，，点是边的中点，则下列结论一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质．根据“直角三角形斜边上中线长度为斜边的一半”即可解答．
【详解】解：∵，点是边的中点，
∴，
故选：C．
7. 已知二次函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质、比较二次函数值的大小，由函数解析式得出抛物线的开口向下，对称轴为直线，根据距离对称轴越远，函数值越小，进行比较即可得出答案．
【详解】解：，
抛物线的开口向下，对称轴为直线，
，
，
故选：D．
8. 如图，是的切线，切点是点D，直线交于点A、B，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了切线的性质和圆周角定理，如图，连接，根据圆的切线垂直于经过切点的半径得到，再根据圆周角定理得到，然后利用互余计算出的度数．
【详解】解：连接，如图，
是的切线，切点是点，
，
，
，
．
故选：B．
9. 在经济学上，通常可以用反比例函数来描述商品需求量与价格之间的关系．假设市场上某商品的需求量D与价格P之间的关系可以用（k是常数）来表示，当该商品价格为50元时，需求量为100件．若该商品价格控制在的范围内，那么需求量D的范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据题意，先求出反比例函数解析式，根据条件列出关于的不等式组，解出不等式组的解集即可．
【详解】解：当该商品价格为50元时，需求量为100件．
．
反比例函数解析式为，
当商品价格控制在的范围内时则有，
解得：，
故选：A．
10. 如图，点是边延长线上一点，连接、、，与交于点．添加以下条件，不能判定四边形为平行四边形的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，理解并掌握平行四边形的判定定理是解题关键．首先根据平行四边形的性质可得，，，，若，由“一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”，即可判断选项A；若，易得，即可证明，由“两组对边分别平行的四边形为平行四边形”即可判断选项B；若，证明，由全等三角形的性质可得，由“一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”，即可判断选项D；由不能证明四边形为平行四边形，即可判断选项C．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，
∴，，，，
即，
若，则有，
∴四边形为平行四边形，故选项A不符合题意；
∵，
∴，
若，则有，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形，故选项B不符合题意；
∵，
∴，
若，则在和中，
，
∴，
∴，
又∵
∴四边形为平行四边形，故选项D不符合题意；
由不能证明四边形为平行四边形，选项C符合题意．
故选：C．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.
11. 因式分解： __________．
【答案】a(a－b)
【解析】
【分析】根据本题特点，用“提公因式法”进行分解即可．
【详解】．
故答案为：．
【点睛】熟知“用提公因式法分解因式的方法并能确定本题中多项式各项的公因式是”是解答本题的关键．
12. 若一个关于x的一元二次方程的两根互为相反数，请你写出一个满足条件的方程：____________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了根与系数的关系．先设所求方程式，根据根与系数的关系、结合两根互为相反数，可求b以及c的取值范围，从而可求方程的解析式．
【详解】解：设所求方程式，
∵方程的两根互为相反数，
∴，
∴所求方程是，
故答案为：（答案不唯一）．
13. 若一个多边形的内角和是900º，则这个多边形是_____边形．
【答案】七
【解析】
【分析】根据多边形的内角和公式，列式求解即可．
【详解】设这个多边形是边形，根据题意得，
，
解得．
故答案为七．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键．
14. 浙江地区向来有打年糕的习俗．糯米做成年糕的过程中，由于增加水分，会使得重量增加20%．如果做成年糕后重量为x斤，则原有糯米__________斤（用含x的代数式表示）．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了列代数式，找出数量关系是解题的关键．基本关系：做成年糕后重量=原有糯米的重量×，据此求解即可．
【详解】解：做成年糕后重量为x斤，
原有糯米的重量为：（斤）．
故答案为：．
15. 如图，在中，，，，动点D从点B出发以的速度沿向点C匀速运动，过点D作，交边于点E，当点E落在边上的中点处时，点D移动的时间为____________．

【答案】
【解析】
【分析】连接，先证是的垂直平分线，然后根据线段的垂直平分线的性质得出，即可求出的度数，再根据锐角三角函数的定义即可求出的长，于是有的长，根据的长即可求解．本题考查了线段垂直平分线的性质，锐角三角函数，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，

，点为的中点，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
是的外角，
，
设
，
，
，
，
，
，
，
，
解得，
即，
点移动的时间，
故答案为：
三、解答题 (一) : 本大题共3小题, 第16题10分, 第17、18题各7分, 共24分.
16. （1）计算：．
（2）整式的值为T，若T的取值范围如图所示，求a的取值范围．
【答案】（1）0，（2）．
【解析】
【分析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，实数的运算和零指数幂，
（1）先算零指数幂，绝对值和算术平方根，再算加减；
（2）根据题意可得不等式，再解不等式即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）根据已知可得：，
，
解得．
17. 如图，在四边形中，平分，，，求的度数．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了多边形的内角和，角平分线的定义，平行线的性质，根据角平分线的定义求出的度数，再根据平行线的性质即可求出的度数，再根据四边形内角和的度数即可求出的度数．
【详解】解：平分，，
，
，
，
，
在四边形中，，
，
．
18. “有一种速度叫中国速度，有一种骄傲叫中国高铁”，高铁的便捷性使得其成为越来越多百姓出行的首选．已知广州到长沙的铁路全程约为700公里，乘坐高铁列车比乘坐特快列车少用4.5小时，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8倍，分别计算高铁列车和特快列车的平均速度．
【答案】高铁列车的平均速度为280公里小时，特快列车的平均速度为100公里小时．
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用，设特快列车的平均速度为公里小时，则高铁列车的平均速度为公里小时，根据广州到长沙的铁路全程约为700公里，乘坐高铁列车比乘坐特快列车少用4.5小时，列出分式方程，解方程即可．
【详解】解：设特快列车的平均速度为公里小时，则高铁列车的平均速度为公里小时，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：高铁列车的平均速度为280公里小时，特快列车的平均速度为100公里小时．
四、解答题 (二)：本大题共3小题，每小题9分，共27分.
19. 国内生产总值等于第一产业增加值、第二产业增加值、第三产业增加值之和，根据国家统计局数据，2011、2015、2019、2023年全国三项产业增加值占国内生产总值比重情况如图1所示．其中，2023年全国三项产业增加值构成情况如图2所示．
（1）2图中2023年第三产业增加值占国内生产总值的比重是____________，请补全图1．
（2）已知2023年第三产业增加值大约为68.8万亿元，求2023年国内生产总值是多少万亿元．（精确到个位）
（3）根据图1分析，描述我国国内生产总值结构变化趋势．
【答案】（1），图见解析
（2）万亿元
（3）我国国内生产总值中第一产业增加值趋于稳定，第二产业增加值逐渐下降，第三产业增加值逐渐增加．（答案不唯一）．
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图，扇形统计图的应用．
（1）用“1”分别减去第一产业和第二产业所占百分比可得答案，根据第三产业增加值的百分比补全图1即可；
（2）用2023年第三产业增加值除以（1）的结论可得答案；
（3）根据图1数据解答即可．
【小问1详解】
解：图中2023年第三产业增加值占国内生产总值的比重是：，
补全图1如下：（，）
故答案为：54.6；
【小问2详解】
（万亿元），
答：2023年国内生产总值大约是126万亿元；
【小问3详解】
由图1可知，我国国内生产总值中第一产业增加值趋于稳定，第二产业增加值逐渐下降，第三产业增加值逐渐增加．（答案不唯一）．
20. 如图，四边形是正方形．

（1）尺规作图：以为边，在正方形内部作等边．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）连接，在第（1）问的基础上，若，求点E到的距离．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）结合等边三角形的判定，以点为圆心，的长为半径画弧，再以点为圆心，的长为半径画弧，两弧在正方形内部交于点，连接，即可．
（2）过点作，交于点，作，分别交、于点、，利用等边三角形的性质、正方形性质可得：，，利用锐角三角函数在和中分别求出，的值，再在中，求出的值，即为点到的距离．
【小问1详解】
解：如图，以点为圆心，的长为半径画弧，再以点为圆心，的长为半径画弧，两弧在正方形内部交于点，连接，，
则等边三角形即为所求．
【小问2详解】
过点作，交于点，作，分别交、于点、，
∵四边形是正方形，，
∴，，
∴，
∵是等边三角形，，
∴，，，
在和中，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
∴，即点到的距离为．
【点睛】本题考查作图—复杂作图、等边三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．
21. 综合与实践
【发现问题】
当运动中的赛车撞到物体时，赛车所受的损坏程度可以用“撞击影响”来衡量，而赛车的撞击影响与赛车行驶速度存在某种函数关系．以下是某型号赛车的行驶速度与撞击影响的试验数据：
（1）请在图中描出上表对应的点，并用光滑的曲线连接．
（2）【猜想验证】
观察图象并猜测：是的 函数．请你据此求出关于的函数表达式，并验证所求表达式的合理性．
（3）【实际应用】
2005年某车队搭载引擎的赛车马力达到了接近1000匹，在某赛道跑出的极速．利用你得到的撞击影响公式，计算此速度的撞击影响是多少？
【答案】（1）见解析；
（2）二次，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，
（1）根据表中给出的数据，作出图象即可；
（2）观察图象并猜测：是的二次函数；设函数表达式为，代入数据求解验证即可；
（3）把数据代入，即可得解．
【小问1详解】
解：如图所示；
【小问2详解】
是的二次函数；理由如下：
函数图象经过点，
设函数表达式为，将，代入得：
，
解得：，
函数表达式为，
时，，
所求表达式合理；
故答案为：二次；
【小问3详解】
，
撞击影响是．
五、解答题 (三)：本大题共2小题，每小题12分，共24分．
22. 四边形是的内接矩形，点E是上的一动点，连接，，，其中交于点F．
（1）如1图，当时，
①求证：；
②若，连接，．求证：四边形是菱形．
（2）如2图，若，，请用含k的式子表示的值．
【答案】（1）①见解析，②见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查了圆与相似三角形综合；利用相似三角形和三角函数转换线段比是解题关键．
（1）①由得，进而可得，再用AAS即可证明结论．②连接、、，可证明，是等边三角形，进而可得四边相等，即可得出结论．
（2）由可证明，进而可得，再证明，可得，即得，由此即可得出结论．
【小问1详解】
①证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∴
②证明：如图1，连接、、，
∵四边形是矩形，，
∴，，
∴，
∴，
∴
∵
∴
∵，
∴是等边三角形，
∴
∴
∴四边形菱形
【小问2详解】
证明：如图2，连接，过点E作于点，
∵，
∴是的直径，
∴，
在中，，
在中，，
∵，
∴，
∴，即
∵，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
∴
23. 综合探究
如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，的项点B、C在x轴上，A在y轴上，，直线分别与x轴、y轴、线段、直线交于点E、F、P、Q．
（1）当时，求证：．
（2）探究线段、之间的数量关系，并说明理由．
（3）在x轴上是否存在点M，使得，且以点M、P、Q为顶点三角形与相似，若存在，请求出此时t的值以及点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）时，；时，；时，
【解析】
【分析】（1）根据，求出与交点的坐标，即可求解；
（2）先求出直线的表达式为，再联立直线与直线求出，再求出点，利用坐标系中两点距离公式求出即可，结合即可求解；
（3）证明，得到或，分四种情况画图求解．
【小问1详解】
证明：由知，，，
则，
则点、的坐标分别为：、，
当时，，则，
即点，
∴；
【小问2详解】
解：，理由：
设直线的表达式为：，将、代入得：
，解得：．
∴直线的表达式为：，
联立上式和得
，解得，
即点，
同理（1）可得，点，
∴
∵，
∴；
【小问3详解】
分别过点、作轴，轴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设点，由（2）知，点、的坐标分别为：、，
①若，如图2，则，，，当时，
∴，
∴．
∴，，
联立方程组：
，解得：
∴时，，
②若，，，，如图3，当时，
∴
∴
∴，，
联立方程组：
，解得．
∴时，
③若，当时，如图4，，，，
∴，
∴，
∴
∴，，
联立方程组：
，解得：
∴，
④，的情况不存在，
综上，时，；时，；时，
【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到三角形相似、平行四边形的性质等，分类求解是解题的关键．
0
1
2
3
4
0
3
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48