2024年安徽省淮南市潘集区中考四模数学试题（原卷版+解析版）

这是一份2024年安徽省淮南市潘集区中考四模数学试题（原卷版+解析版），文件包含2024年安徽省淮南市潘集区中考四模数学试题原卷版docx、2024年安徽省淮南市潘集区中考四模数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共31页， 欢迎下载使用。
一、选择题（每小题4分，共40分）
1. 在2，，，3这四个数中，比小的数是（ ）．
A. 2B. C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了有理数的大小比较，负数的绝对值越大的数反而小，据此即可作答．
【详解】解：是正数比负数大，
则，
∴比小的数是，
故选：C．
2. 今年“清明节”假日期间，我省银联网络交易总金额接近282亿元．其中282亿用科学记数法表示为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法的知识，正确确定和的值是解题关键．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【详解】解：282亿．
故选：B．
3. 下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据合并同类项法则、完全平方公式、同底数幂乘法法则、积的乘方法则逐一进行计算即可得.
【详解】A. ，故A选项错误；
B. ，故B选项错误；
C. ，故C选项错误；
D. ，正确，
故选D.
【点睛】本题考查了整式的运算，涉及了合并同类项、完全平方公式、积的乘方等运算，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键.
4. 一个由圆柱和长方体组成的几何体如图水平放置，它的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【详解】解：从上面看，一个正方形里面有一个圆且是实线．
故选C．
【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
5. 若关于的一元二次方程x(x+1)+ax=0有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】整理成一般式后，根据方程有两个相等的实数根，可得△=0，得到关于a的方程，解方程即可得．
【详解】解：x(x+1)+ax=0，
∴x2+(a+1)x=0，
由方程有两个相等的实数根，可得△=（a+1）2-4×1×0=0，
解得：a1=a2=-1，
故选A．
【点睛】本题考查一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．
6. 如图，正六边形内接于，连接，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了正多边形与圆，等边对等角，先根据正六边形的性质得到，，再由等边对等角得到，则，由此可得．
【详解】解：∵六边形是正六边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
7. 如图，在中，，，过点作，连接交于点，若，，则的长为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先解直角三角形可得、；如图：过E作垂足为F，则，由此可得，继而可得，设，则，，然后代入可得，，最后运用勾股定理即可解答．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
∴．
∵，，
∴．
如图：过E作垂足为F，则，
∴，
∴．
设，则，，
∴，
解得：，，
∴．
故选B．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形、平行线分线段成比例、勾股定理等知识点，灵活运用三角函数和勾股定理解直角三角形是解答本题的关键．
8. 我们把十位上的数字比个位、百位上的数字都要大的三位数叫做“凸数”，如：571就是一个“凸数”．若十位上的数字为4，则从2，3，5，6 中任取两个不同的数，能与4组成“凸数”的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查运用列举法求概率，直接列出所有的可能结果，得到符合要求的数量，利用概率公式计算即可．
【详解】解：本题考查古典概型.由题意，从中任取两个不同的数，有，共种情况，其中能与组成“凸数”的有，共种情况，所以所求概率为 ，
故选A．
9. 如图，一次函数的图象与二次函数的图象相交于，两点，则函数的大致图象可能是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与二次函数图象综合，由图象知点P，Q的横坐标均为负数，进而可得的图象与x轴交点的横坐标为一次函数与二次函数的图象交点的横坐标，均为负值，即可求解．
【详解】由图象知点P，Q的横坐标均为负数，
一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标均为负数，
又，
函数的图象与x轴交点的横坐标为一次函数与二次函数的图象交点的横坐标，均为负值，
只有选项C符合条件．
10. 如图，E是线段上一点，在线段的同侧分别以为斜边作等腰和等腰，，分别是，的中点．若，则下列结论错误的是（ ）．
A. 的最小值为B. 四边形面积的最小值为
C. 周长的最小值为D. 的最小值为3
【答案】B
【解析】
【分析】A、如图，延长交于点P，过点F作直线，可证四边形是矩形，直线是的中位线，且点在直线上运动，作点A关于直线的对称点，连接，由“将军饮马”模型可求；
B、设，，进而即可判断．
C、由四边形是矩形，结合的最小值为3，可求周长的最小值；
D、连接，当时，即点与点重合时，最小．是等腰直角三角形，，故本选项不符合题意；
【详解】解：A、如图，延长交于点P，过点F作直线．
和分别是以为斜边的等腰直角三角形，
，，
，
四边形是矩形．
是的中点，
是的中点．
直线，
直线是的中位线，且点在直线上运动．作点A关于直线的对称点，连接，则．当，，三点共线时，最小．
，，
．
在中，，故本选项不符合题意；
B、设，则．
，
．当时，有最大值，最大值为，
∵，
∴四边形面积的最小值为，故本选项符合题意．
C、四边形是矩形，
，
的周长为．
的最小值为3，，
的周长的最小值为，故本选项不符合题意；
D、连接，当时，即点与点重合时，最小．是等腰直角三角形，
，故本选项不符合题意；
【点睛】本题考查轴对称最短路径问题，涉及等边三角形的性质及应用，三角形面积等知识，解题的关键是求出的运动轨迹是直线．
二、填空题（每小题5分，共20分）
11. 不等式的解集为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，按照解不等式的方法和步骤求解即可．
【详解】解：
去分母得，，
移项、合并同类项得，，
系数化为1得，，
故答案为：．
12. 因式分解：______．
【答案】
【解析】
【分析】直接提取公因式b，进而利用平方差公式分解因式得出即可．
【详解】解：4a2b-b=b（4a2-1）=b（2a-1）（2a+1）．
故答案为：b（2a-1）（2a+1）．
【点睛】本题考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题的关键．
13. 如图，P为平行四边形边上一点，E、F分别为的中点，若的面积分别为2，则平行四边形的面积为__________．
【答案】16
【解析】
【分析】利用三角形中位线定理得出，，再利用相似三角形的判定与性质得出，进而利用平行四边形的面积求法得出答案．此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质以及三角形中位线定理等知识，得出是解题关键．
【详解】解：，分别为，的中点，
∴是的中位线
，，
，
，
，
∵的面积分别为2，
，
四边形是平行四边形，
．
故答案为：16．
14. 如图，已知与中，，点的坐标为，反比例函数的图象恰好经过的中点及点．
（1）_______；
（2）若，则的值为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）如图，过点作轴于，得出轴，可证明，根据相似三角形的性质可得出，根据反比例函数图像上点的坐标特征可得值；
（2）设，根据点坐标表示出、的长，根据得出是等腰直角三角形，即可得出，可得，利用勾股定理即可得答案．
【详解】解：（1）如图，过点作轴于，
∴轴，
∴，
∴，
∵点的坐标为，
∴，，
∵点为的中点，
∴，，即，
∵反比例函数的图象恰好经过的中点，
∴．
故答案为：
（2）设，
∵，，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，，
整理得：
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、反比例函数图像上点的坐标特征、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
三、解答题（本题共90分）
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握零指数幂，特殊角的三角函数值，化简绝对值，二次根式的性质化简是解题的关键．
根据零指数幂，特殊角的三角函数值，化简绝对值，二次根式的性质化简，进行计算即可求解．
【详解】解：
．
16. 春节期间，聪聪两次去超市购买A，B两种不同单价的坚果，第一次购买A种坚果的质量比B种坚果的质量多，第二次购买B种坚果的质量是A种坚果质量的4倍，第二次购买坚果的总质量比第一次购买坚果的总质量多．
（1）设第一次购买B种坚果的质量为x克，请用含x的代数式填表：
（2）若第二次购买坚果的总费用比第一次购买坚果的总费用少（两次购买A，B两种坚果的单价不变），求B种坚果与A种坚果单价的比值．
【答案】（1）；；
（2）
【解析】
【分析】本题考查列代数式.
（1）先求出第二次购买坚果的总质量，再根据第二次购买B种坚果的质量是A种坚果质量的4倍，可得出B种坚果质量和A种坚果质量．
（2）令A，B两种坚果的单价分别为a元和b根据题意建立关于a，b的等式即可解决问元题．
【小问1详解】
解：∵第二次购买坚果的总质量比第一次购买坚果的总质量多，
∴第二次购买的坚果质量为∶(克)；
又∵第二次购买B种坚果的质量是A种坚果质量的4倍，
∴第二次购买的A种坚果质量为∶ (克)，
第二次购买的B种坚果质量为∶(克)，
故答案为∶ ；；
【小问2详解】
设A种坚果的单价为a元，B种坚果的单价为b元，
则，
整理得：，
故B种坚果与A种坚果单价的比值是．
17. 如图，在平面直角坐标系中，ΔABC三个顶点的坐标分别为A（1，1）、B（4，2）、C（3，5）．
（1）请画出△ABC关于x轴的对称图形ΔA1B1C1；
（2）以O为位似中心，在第三象限内画出ΔABC的位似图形ΔA2B2C2，且位似比为1；
（3）借助网格，利用无刻度直尺画出线段CD，使CD平分ΔABC的面积．（保留确定点D的痕迹）．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．
【解析】
【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标变化作图；
（2）根据位似图形的性质及坐标变化作图；
（3）利用格点特征以及矩形对角线互相平分且相等的性质取AB的中点D，从而求解
【详解】解：（1）ΔA1B1C1即所求；
（2）ΔA2B2C2即为所求；
（3）连接格点MN，交AB于点D，连接CD
根据矩形性质可得点D即为AB的中点，
∴CD即为所求
【点睛】本题考查作图-轴对称变换，位似变换，矩形性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
18. 【观察思考】
【规律发现】请用含n的式子填空：
（1）第n个图案中黑色方块的个数为__________．
（2）第n个图案中黑、白两种方块总个数为__________．
【规律应用】
（3）白色方块的个数能比黑色方块的个数多2024吗？若能，求出是第几个图案；若不能，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）不能，理由见解析
【解析】
【分析】（1）依次求出图形中黑色方块及黑、白两种方块的总数，发现规律即可解决问题；
（2）根据（1）中发现的规律即可解决问题．
本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现黑、白两种颜色地砖个数变化的规律是解题的关键．
【详解】解：（1）（2）由所给图形可知。
第1个图案中黑色方块的个数为：，黑、白两种方块的总个数为：；
第2个图案中黑色方块的个数为：，黑、白两种方块的总个数为：
第3个图案中黑色方块的个数为：，黑、白两种方块的总个数为：
…..
∴第n个图案中黑色方块的个数为：，黑、白两种方块的总个数为：；
（2）由（1）得：第n个图案中黑色方块的个数为：，黑、白两种方块的总个数为：
如果白色方块的个数能比黑色方块的个数多2024
则
解得：
因为n为正整数，
所以白色方块的个数不能比黑色方块的个数多2024
19. 杜甫江阁位于长沙市河东城区西湖桥，与岳麓山隔江相望，属于园林仿古建筑，为纪念唐朝诗人杜甫所建．
某数学小组为了测量杜甫江阁高度，进行了如下操作：用一架无人机在楼基A处起飞，沿直线飞行60米至点B，在此处测得楼基A的俯角为，再将无人机沿水平方向向右飞行36米至点C，在此处测得楼顶D的俯角为，请计算杜甫江阁AD的高度．（结果保留整数，，，，，，）
【答案】杜甫江阁AD的高度约为米
【解析】
【分析】在和中，通过解直角三角形分别求出长度，继而求解即可．
【详解】在中，，
∵，即，
∴，，
在中，，
∴，
∵，即，
∴，
米，
所以，杜甫江阁AD的高度约为米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，准确理解题意，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键．
20. 如图，中两条互相垂直的弦交于点P，经过点O，E是的中点，连接，延长交于点F．

（1）若，，求的长；
（2）求证：．
【答案】（1）的长为
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据垂径定理可得垂直平分，从而可得，然后在中，利用勾股定理求出的长，进行计算即可解答；
（2）根据垂直定义可得，从而可得，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得，从而可得，再利用对顶角相等，以及同弧所对的圆周角相等可得，最后利用等量代换可得，从而利用三角形内角和定理进行计算可得，即可解答．
【小问1详解】
解：∵E是的中点，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴的长为；
【小问2详解】
证明：∵，
∴，
∴，
∵E是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，垂径定理，熟练掌握圆周角定理，以及垂径定理是解题的关键．
21. 某校开展了“预防溺水、珍爱生命”的安全知识竞赛．先从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（竞赛成绩用x表示，共分成四组，A．，B．，C．，D．）．
部分信息如下：
七年级10名学生竞赛成绩：81，86，99，95，90，99，100，82，89，99；
八年级10名学生竞赛成绩在C组中的数据：94，94，91．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
八年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）__________，__________，__________，__________；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生安全知识竞赛成绩更好？请说明理由；
（3）若该校七、八年级共2160人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动获得优秀成绩的学生有多少人．
【答案】（1），，，
（2）八年级学生成绩更好，理由见解析
（3）864人
【解析】
【分析】本题考查读扇形统计图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
（1）根据平均数、中位数和众数的定义即可得到结论；
（2）根据八年级的中位数和众数均高于七年级，于是得到八年级学生掌握防溺水安全知识较好；
（3）利用样本估计总体思想求解可得．
【小问1详解】
解：，
（分），
∵八年级10名学生的竞赛成绩的中位数是第5和第6个数据的平均数，
A、B两组共有（人），
（分）；
∵在七年级10名学生的竞赛成绩中99出现的次数最多，
；
故答案为：，，，．
【小问2详解】
解：八年级学生成绩更好，理由如下：八年级学生成绩的中位数、众数都比七年级的高，而方差比七年级的小，成绩比七年级稳定；
【小问3详解】
解： （人），
答：估计参加此次竞赛活动获得优秀成绩的学生约有864人．
22. 在中，，是斜边上的一点，将线段绕点旋转至位置，点在直线外，连接，，且．

（1）如图1，求证：；
（2）已知点和边上的点满足，连接，，．
①如图2，求证：四边形是菱形；
②如图3，连接，若，，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）①见解析②
【解析】
【分析】（1）首先根据旋转的性质可得，进而可得，再证明，易得，即可证明结论；
（2）①连接，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得，结合，易知是的垂直平分线，进而可得，可知，再证明，是的垂直平分线，，可得，，进而可得，即可证明结论；②过点作于点，则，利用勾股定理解得的值，结合菱形的性质可得，再利用三角形函数解得的值，由勾股定理解得的值，进而可得，然后由勾股定理求得的长度，由求解即可．
小问1详解】
证明：由旋转的性质得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
①证明：如图，连接，

∵，是的中点，
∴，
∵，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵
∴，
∴，
∵，是的中点，
∴，
∵，
∴是的垂直平分线，，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
②解：如图，过点作于点，则，

在中，，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、垂直平分线的性质、勾股定理、解直角三角形、菱形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线的性质等知识，综合性强，难度较大，熟练掌握菱形的判定与性质、三角函数的应用是解题关键．
23. 抛物线的图象经过点A( 1，0)，B(0，5)．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线与轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出的面积；
（3）是线段上的一点，过点作轴，与抛物线交于点，若直线把分成面积之比为的两部分，请求出点的坐标．

【答案】（1）（2）15（3）或
【解析】
【分析】（1）将A、B两点的坐标值代入抛物线的解析式中，联立二元一次方程组，求出的b、c值，写出抛物线的解析式即可．
（2）过D点作x轴垂线交BC于点F，S△BCD=S△DFC+S△DFB，△DFC与△DFB有共同底边DF，△DFC与△DFB高之和是OC， ，代入计算得解．
（3）PH交BC于点E，△PCE与△HCE可看作高都是PC，则两个三角形面积之比就是PE∶HE，分情况讨论计算出P点坐标．
【详解】解：（1）∵将点A( 1，0)，B(0，5)代入抛物线可得：
∴解得：
∴抛物线的解析式为：．
（2）DG垂直x轴于点G，交BC于点F，如图：

∵抛物线的顶点为D，可得点D坐标(-2，9)，
∵抛物线交x轴于点A、C，可得点C坐标(-5，0)，
将B、C两点坐标代入一次函数，，
可得直线BC的解析式为：；
∵当时，点F坐标(-2，3)，
∴DF=9-3=6,
∵S△BCD=S△DFC+S△DFB，△DFC与△DFB有共同底边DF，
△DFC的高=CG，△DFB的高=OG，
∵CG+OG=OC=5，
∴
∴的面积是15．
（3）PH交抛物线于点H，交BC于点E，如图：

直线把分成△PCE和△HCE，两个三角形高都是PC，面积之比是PE∶HE，
∵H是抛物线上的点，E是直线上的点，
∴HE=，整理得：，
EP=，整理得：，
根据题意可列等式：或
是线段上的一点，解得：或
∴点P坐标为或．
【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数解析式和二次函数图形问题，运用数形结合的方法是解题关键．A种坚果质量/克
B种坚果质量/克
总质量/克
第一次
x
第二次
___________
___________
___________
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
b
92.5
d
49
八年级
92
c
100
46.8