天津市滨海新区塘沽第五中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
试卷满分120分，考试时间100分钟。
答卷前，请你务必将自己的姓名、考生号、考点校、考场号、座位号填写准确！祝你考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：1．请用黑色字迹的签字笔，将正确答案的代号填在“答题卡”相应的表格中。
2．本卷共12题，共36分。
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据最简二次根式的定义，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，判断即可．
【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意；
B、不是最简二次根式，不符合题意；
C、不是最简二次根式，不符合题意；
D、不是最简二次根式，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．
2. 下列各组数中，以a、b、c为边的三角形不是直角三角形的是（ ）
A. a=1、b=2、c=B. a=1.5、b=2、c=3
C. a=6、b=8、c=10D. a=3、b=4、c=5
【答案】B
【解析】
【分析】“如果一个三角形的三条边长分别为a、b、c，且有，那么这个三角形是直角三角形.”
【详解】解：A. 12+= 22; B. 1.52+22≠32;
C. 62+82=102; D. 32+42=52.
故选B．
【点睛】本题考核知识点：勾股定理逆定理.解题关键点：理解勾股定理逆定理的意义.
3. 下列计算错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】，不是同类二次根式，无法合并，计算错误.
故选：B.
4. 估算的值在（ ）
A. 1和2之间B. 2和3之间C. 3和4之间D. 4和5之间
【答案】B
【解析】
【分析】先估算出的大小，进而即可估算出的大小．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了无理数大小的估算，能估算出的大小是解题关键．
5. 如图，在平行四边形ABCD中，∠A＋∠C＝160°，则∠B的度数是( )
A. 130°B. 120°C. 100°D. 90°
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质可得：∠A=∠C，∠A+∠B=180°，再根据∠A+∠C=160°计算出∠A的度数，进而可算出∠B的度数．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，∠A+∠B=180，
∵∠A+∠C=160，
∴∠A=80，
∴∠B=180−80=100.
故选C.
【点睛】本题考查平行四边形的性质，对角相等，对边平行.
6. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE⊥AC于点E，∠AOD＝110°，则∠CDE的大小是（ ）
A. 55°B. 40°C. 35°D. 20°
【答案】C
【解析】
【分析】由矩形的性质得出OC=OD，得出∠ODC=∠OCD=55°，由直角三角形的性质求出∠ODE=20°，即可得出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，AC=BD，OA=OC，OB=OD，
∴OC=OD，
∴∠ODC=∠OCD，
∵∠AOD=110°，
∴∠DOE=70°，∠ODC=∠OCD=（180°-70°）=55°，
∵DE⊥AC，
∴∠ODE=90°-∠DOE=20°，
∴∠CDE=∠ODC-∠ODE=55°-20°=35°；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
7. 如图，在四边形中，对角线，相交于点，且，．若要使四边形为矩形，则可以添加的条件是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据对角线互相平分四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，再根据菱形的判定定理和矩形的判定定理逐一分析即可．
【详解】∵在四边形中， ，
∴四边形是平行四边形
若添加，无法判断，故A不符合题意；
若添加，则四边形是矩形，故B符合题意；
若添加，则四边形是菱形，故C不符合题意；
若添加，则四边形是菱形，故D不符合题意；
故选B．
【点睛】此题考查的是平行四边形的判定、矩形的判定和菱形的判定，掌握平行四边形的判定定理、矩形的判定定理和菱形的判定定理是解决此题的关键．
8. 已知，为正数，且，如果以，的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（ ）
A. 5B. 25C. 7D. 15
【答案】C
【解析】
【分析】本题可根据两个非负数相加和为0，则这两个非负数的值均为0解出x、y的值，然后运用勾股定理求出斜边的长．斜边长的平方即为正方形的面积．
【详解】依题意得：，
∴，
斜边长，
所以正方形的面积．
故选C．
考点：本题综合考查了勾股定理与非负数的性质
点评：解这类题的关键是利用直角三角形，用勾股定理来寻求未知系数的等量关系．
9. 如图，已知菱形的对角线AC；BD交于点O，E为CD的中点，若，则菱形的周长为（ ）．
A. 18B. 48C. 24D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】由菱形的性质可得出AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出CD的长，结合菱形的周长公式即可得出结论．
【详解】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA，
∴△COD为直角三角形，
∵OE＝6，点E为线段CD的中点，
∴CD＝2OE＝12，
∴C菱形ABCD＝4CD＝4×12＝48，
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的性质以及直角三角形的性质，解题的关键是求出CD．
10. 如图，正方形网格中的，若小方格边长为，则的形状为（ ）
A. 直角三角形B. 锐角三角形
C. 钝角三角形D. 以上答案都不对
【答案】A
【解析】
【分析】根据勾股定理求得△ABC各边长的平方，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状．
【详解】解：∵正方形小方格边长为1，
∴，
，
，
在△ABC中，
∵BC2＋AC2＝52＋13＝65，AB2＝65，
∴BC2＋AC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a2＋b2＝c2，则三角形ABC是直角三角形．
11. 如图，点E，F，P，Q分别是正方形ABCD的四条边上的点，并且，则下列结论不一定正确的是（ ）
A. B.
C. 四边形EFPQ是正方形D. 四边形PQEF的面积是四边形ABCD面积的一半
【答案】D
【解析】
【分析】根据正方形的性质可证得△AFP≌△BPQ≌△CQE≌△DEF，再根据全等三角形的性质和勾股定理，逐项判断即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠A=∠B=90°，
又CQ=BP ，
∴AB-BP=BC-CQ，即AP=BQ
在△AFP和△BPQ中，
∵AF=BP，∠A=∠B，AP=BQ，
∴△AFP≌△BPQ（SAS），
∴∠AFP=∠BPQ，故A选项正确，不符合题意；
同理：△AFP≌△BPQ≌△CQE≌△DEF，
∴PF=PQ=QE=EF，
∴四边形EFPQ为菱形，
∴EF∥QP，故B选项正确，不符合题意；
∵△AFP≌△BPQ
∴∠BPQ=∠AFP，
又∵∠A=90°，
∴∠AFP+∠APF=90°，
∴∠AFP+∠APF=∠BPQ+∠APF=90°，
∴∠FPQ=180°-（∠BPQ+∠APF）=90°，
∴四边形EFPQ是正方形，故C选项正确，不符合题意；
设正方形ABCD的边长为a，BP=AF=x，则，
∴AB=a，
∴，
∴正方形EFPQ的面积为，
而x的值无法确定，
∴四边形PQEF的面积不一定是四边形ABCD面积的一半，故D选项错误，符合题意；
故选：D
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和勾股定理，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的性质和勾股定理是解题的关键．
12. 如图，已知矩形纸片，，，点在边上，将沿折叠，点落在点处，、分别交于点、，且，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据折叠的性质可得出，进而、，由、、可得出，根据全等三角形的性质可得出、，设，则，，，依据中，，解方程得，即可确定的长．
【详解】解：根据折叠可知：，
，．
在和中，
，
，
，，
，
设，则，，，
，
中，由勾股定理可得，即，解得，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，解题时常常设要求的线段长为，然后根据折叠和轴对称的性质用含的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列方程求解是解决问题的关键．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13. 计算×＝_______．
【答案】3
【解析】
【分析】根据二次根式乘法法则进行计算即可．
【详解】解：原式＝＝3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法运算，解答关键是按法则进行计算．
14. 二次根式有意义的条件是______
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x＋3≥0，再解不等式即可．
【详解】解：∵要使有意义，必须，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
15. 已知，为实数，且，则________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的性质求出m的取值，故可求出m，n的值，即可求解．
【详解】依题意可得m-2≥0且2-m≥0
∴m=2
∴n-3=0
∴n=3
∴=
故答案为：．
【点睛】此题主要考查二次根式的性质及求值，解题的关键是熟知二次根式被开方数为非负数．
16. 如图，在校园内有两棵树相距12米，一棵树高14米，另一棵树高9米，一只小鸟从一棵树顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞______米．

【答案】13
【解析】
【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的顶端进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
【详解】如图所示，

AB，CD为树，且AB＝14米，CD＝9米，BD为两树距离12米，
过C作CE⊥AB于E，
则CE＝BD＝12，AE＝AB−CD＝5，
在直角三角形AEC中，
AC＝＝＝13．
答：小鸟至少要飞13米．
故答案为：13．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，关键是从实际问题中构建出数学模型，转化为数学知识，然后利用直角三角形的性质解题．
17. 如图，在平行四边形中，，的平分线交于点E，交的延长线于点F，则_____cm．
【答案】3
【解析】
【分析】先证明，再结合平行四边形的性质，计算即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角的平分线的意义，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
18. 如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上的一个动点（不与B、D重合），连结AP，过点B作直线AP的垂线，垂足为H，连结DH．若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，取AB的中点O，连接OH、OD，然后求出OH＝AB＝2，利用勾股定理列式求出OD，然后根据三角形的三边关系可知当O、D、H三点共线时，DH的长度最小．
【详解】解：如图，取AB的中点O，连接OH、OD，
则OH＝AO＝AB＝2，
在中，，
根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，
∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，且最小值=OD-OH=．
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的性质，直角三角形的性质，勾股定理以及三角形三边关系．利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半来作辅助线是解答本题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共6分，解答应写出文字说明、演算步骤和证明过程）
19. 计算：
（1）
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，二次根式的乘法计算：
（1）先化简小括号内的二次根式，再计算小括号内的二次根式减法，最后计算二次根式除法即可；
（2）利用平方差公式求解即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
20. 已知x=2﹣，y=2+，求：x2+xy+y2的值．
【答案】15
【解析】
【分析】将x2+xy+y2变形x2+2xy+y2﹣xy，得到原式=（x+y）2﹣xy，再把x=2﹣，y=2+代入计算即可求解．
【详解】解：∵x=2﹣，y=2+，
∴x2+xy+y2
=x2+2xy+y2﹣xy
=（x+y）2﹣xy
=（2﹣+2+）2﹣（2﹣）（2+）
=16﹣4+3
=15．
【点睛】考查了二次根式的混合运算和代数式的求值，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解答问题的关键．
21. 如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是边AB、CD的中点．求证：DE=BF．
【答案】证明见试题解析．
【解析】
【分析】由矩形的性质和已知得到DF=BE，AB//CD，故四边形DEBF是平行四边形，即可得到答案．
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴AB//CD，AB=CD，
又E、F分别是边AB、CD的中点，
∴DF=BE，
又AB//CD，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴DE=BF．
22. 如图，四边形ABCD中，AD=4，AB=2，BC=8，CD=10，∠BAD=90°．
（1）求证：BD⊥BC；
（2）计算四边形ABCD的面积．
【答案】（1）见解析；（2）4+24．
【解析】
【分析】（1）先根据勾股定理求出BD的长度，然后根据勾股定理的逆定理，即可证明BD⊥BC；
（2）根据图形得到四边形ABCD的面积=2个直角三角形的面积和即可求解．
【详解】解：（1）∵AD=4，AB=2，∠BAD=90°，
∴BD==6．
又BC=8，CD=10，
∴BD2+BC2=CD2，
∴BD⊥BC；
（2）四边形ABCD的面积=△ABD的面积+△BCD的面积
=×4×2+×6×8
=4+24．
【点睛】此题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，把四边形的面积分解成两个直角三角形的面积来求是解本题的关键所在．
23. 如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DEAC，CEBD．
（1）试判断四边形OCED的形状，并说明理由；
（2）若AB=6，BC=8，求四边形OCED的面积．
【答案】（1）菱形，理由见解析
（2）24
【解析】
【分析】（1）首先可根据DEAC，CEBD判定四边形是平行四边形，然后根据矩形性质：矩形的对角线相等且互相平分，可得，由此可判定四边形是菱形；
（2）连接，通过证四边形是平行四边形，得；根据菱形的面积是对角线乘积的一半，可求得四边形的面积．
【详解】解：（1）四边形是菱形．
∵DEAC，CEBD，
四边形是平行四边形，
又在矩形中，，
四边形是菱形．
（2）连接．由菱形得：，
又，
（在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行），
又，
四边形是平行四边形；
，
．
【点睛】本题主要考查矩形性质，平行四边形、菱形的判定，菱形面积的求法，解题的关键是熟记菱形的各种判断方法．
24. 如图，菱形ABCD的边长为2，，对角线AC，BD相交于点O，又有E，F分别为AB，AD的中点，连接EF．
（1）求对角线AC的长；
（2）求EF的长．
【答案】（1）2 （2）
【解析】
【分析】（1）由菱形的性质得AB=BC=2，∠BCA=∠DCA=∠BCD=60°，再证△ABC是等边三角形即可；
（2）由三角形中位线定理得EF=BD，再由菱形的性质得AO=AC=1，BO=DO，AC⊥BD，最后运用勾股定理解答即可．
【小问1详解】
解： 四边形ABCD是菱形，
∴，，
∵，
∴
是等边三角形
∴．
【小问2详解】
解：∵E，F分别为AB，AD的中点，
∴是中位线，
∴．
又∵四边形ABCD是菱形，
∴，，
∴，
∴在中，由勾股定理得，，
∴，
∴（负舍）
∴
∴．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理以及勾股定理等知识点，灵活运用相关性质定理是解答本题的关键．
25. 如图，在中，，，，点从点出发沿以每秒的速度向点运动，同时点从点出发沿以每秒的速度向点运动，运动时间为秒（），过点作于点．
（1）试用含的式子表示、、的长；
（2）如图①，连接，求证四边形是平行四边形；
（3）如图②，连接，当为何值时，四边形是矩形？并说明理由．
【答案】（1）；；；（2）证明见解析；（3）；理由见解析．
【解析】
【分析】（1）根据题意用含t的式子表示AE、CD，结合图形表示出AD，根据直角三角形的性质表示出DF；
（2）根据对边平行且相等的四边形是平行四边形证明；
（3）根据矩形的定义列出方程，解方程即可．
【详解】解：（1）由题意得，，，
则，
∵，，∴
（2）∵，，∴，
∵，，∴，
∴四边形是平行四边形；
（3）当时，四边形是矩形，
理由如下：∵，，
∴，
∵，
∴时，四边形是平行四边形，
即，解得，，
∵，∴四边形是矩形，
∴时，四边形是矩形．
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、平行四边形的判定、矩形的判定，掌握平行四边形、矩形的判定定理是解题的关键．