2024年广东省深圳市罗湖区中考数学二模试卷

这是一份2024年广东省深圳市罗湖区中考数学二模试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.等于( )
A. B. C. D. 5
2.由6个完全相同的小正方体组成的几何体如图所示，则从上面看得到的平面图形是( )
A.
B.
C.
D.
3.据科学研究表明，5G移动通信技术的网络理论下载速度可达每秒1300000KB以上.其中1300000用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
4.九年级一班甲、乙、丙、丁四名学生本学期数学测验成绩的平均分都是90分，方差分别是，，，，这四名学生中成绩最稳定的是( )
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
5.如图，菱形ABCD中，，，则菱形的面积为( )
A. 48
B. 40
C. 24
D. 20
6.下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
7.如图，将沿BC方向平移到，若A，D之间的距离为2，，则BF等于( )
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
8.某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率，设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是( )
A. B.
C. D.
9.2022北京冬奥会延庆赛区正在筹建的高山滑雪速滑雪道的平均坡角约为，在此雪道向下滑行100米，高度大约下降了米.( )
A. B. C. D.
10.如图，在四边形ACDB中，，，P是线段AC上一点不与点A、C重合，，连接BP，交AD于点Q，则DQ：BP的最小值是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.为了描述我市某一天气温变化情况，从“扇形统计图”“条形统计图”“折线统计图”中选择一种统计图，最适合的统计图是______.
12.如图，同一时刻在阳光照射下，树AB的影子，小明的影子，已知小明的身高，则树高______.
13.如图，OA、OB是的半径，C是上一点，，______
14.直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则不等式的解集为______.
15.如图，直线与反比例函数只有唯一的公共点A，与反比例函数
交于点C，与x轴交于点B，如果，则k的值为______.
三、解答题：本题共7小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题5分
计算：
17.本小题7分
先化简，再求值：，其中
18.本小题8分
为了推动阳光体育运动的广泛开展，引导学生走向操场，积极参加体育锻炼，学校准备购买一批运动鞋供学生借用.现从各年级随机抽取了部分学生的鞋号，绘制了如下的统计图1和图2，请根据相关信息，解答下列问题：
本次接受随机抽样调查的学生人数为______人，图1中m的值为______；
根据样本数据，若学校计划购买200双运动鞋，则建议购买35号运动鞋多少双？
19.本小题8分
如图，AB是的直径，弦于点E，点P在上，
求证：；
若，，求的半径.
20.本小题8分
2023年“尔滨”厚积薄发，旅游业火爆出圈，某纪念品经销店欲购进A、B两种纪念品，用900元购进的A种纪念品与用1200元购进的B种纪念品的数量相同，每件B种纪念品的进价比每件A种纪念品的进价多5元.
求A、B两种纪念品每件的进价分别为多少元？
若该纪念品经销店A种纪念品每件售价18元，B种纪念品每件售价25元，这两种纪念品共购进500件，且这两种纪念品全部售出后总获利不低于1700元，求A种纪念品最多购进多少件.
21.本小题9分
综合与应用
如果将运动员的身体看作一点，则他在跳水过程中运动的轨迹可以看作为抛物线的一部分.建立如图2所示的平面直角坐标系xOy，运动员从点起跳，从起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度与水平距离满足二次函数的关系.
在平时的训练完成一次跳水动作时，运动员甲的水平距离x与竖直高度y的几组数据如表：
根据上述数据，求出y关于x的关系式；
在的这次训练中，求运动员甲从起点A到入水点的水平距离OD的长；
信息1：记运动员甲起跳后达到最高点B到水面的高度为，从到达到最高点B开始计时，则他到水面的距离与时间之间满足
信息2：已知运动员甲在达到最高点后需要的时间才能完成极具难度的270C动作.
问题解决：
①请通过计算说明，在的这次训练中，运动员甲能否成功完成此动作？
②运动员甲进行第二次跳水训练，此时他的竖直高度与水平距离的关系为，若选手在达到最高点后要顺利完成270C动作，则a的取值范围是______.
22.本小题10分
【问题提出】
如图1，在边长为6的等边中，点D在边BC上，，连接AD，则的面积为______；
【问题探究】
如图2，已知在边长为6的正方形ABCD中，点E在边BC上，点F在边CD上，且，若，求的面积；
【问题解决】
如图3是我市华南大道的一部分，因自来水抢修，需要在米，米的矩形ABCD区域内开挖一个的工作面，其中E、F分别在BC、CD边上不与点B、C、D重合，且，为了减少对该路段的交通拥堵影响，要求面积最小，那么是否存在一个面积最小的？若存在，请求出面积的最小值；若不存在，请说明理由.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：表示的相反数，即等于
故选：
根据一个负数的相反数为正数即可作答．
本题考查了相反数的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：从上面看得到的平面图形为：.
故选：
从上面看，可以看到三行，中间一行有3个小正方形，上面一行最右侧有1个小正方形，下面一行最左侧有1个小正方形．
本题考查从不同方向观察几何体，掌握几何体三种视图的空间想象能力是关键．
3.【答案】B
【解析】解：
故选：
由题意可知本题中，，即可得到答案．
本题考查了正整数指数科学记数法，“对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为正整数．”正确确定a和n的值是解答本题的关键，
4.【答案】A
【解析】解：，
这四名学生成绩最稳定的是甲，
故选：
根据方差的意义求解即可．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
5.【答案】C
【解析】解：菱形的面积为，
故选：
根据菱形的面积等于对角线乘积的一半可得答案．
本题主要考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】【分析】
根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变进行计算即可．
此题主要考查了合并同类项，关键是掌握合并同类项法则．
【解答】
解：A、，故原题计算正确；
B、，故原题计算错误；
C、，故原题计算错误；
D、2a和b不能合并，故原题计算错误；
故选：
7.【答案】B
【解析】解：将沿BC方向平移到的位置，点A，D之间的距离为2，
，
，
，
故选：
根据平移的性质，对应点连接的线段相等，求得BE和CF的长，再结合图形可直接求解．
本题考查平移的性质，解题的关键是根据平移的性质得到
8.【答案】D
【解析】解：设每次降价的百分率为x，由题意得：
，
故选：
设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格降价的百分率，则第一次降价后的价格是，第二次后的价格是，据此即可列方程求解．
本题考查一元二次方程的应用，关键是根据题意列出方程．
9.【答案】C
【解析】解：由题意得：，
在中，，米，
米，
高度大约下降了米，
故选：
根据题意可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：作于点E，则，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
的最小值是，即DQ：BP的最小值是，
故选：
作于点E，由，，证明是等边三角形，则，，再证明∽，得，则，所以是等边三角形，则，，所以，由，得，所以的最小值是，于是得到问题的答案．
此题重点考查相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形、垂线段最短等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
11.【答案】折线统计图
【解析】解：描述我市某一天气温变化情况，最适合的统计图是折线统计图，
故答案为：折线统计图．
根据题意，天气变化情况复杂，用折线图表示，即可求解．
本题主要考查统计图的特点，扇形图：描述百分比构成比的大小；折线图：用线条的升降表示事物的发展变化趋势，主要用于 计量资料，描述两个变量间关系；条形图：表示独立指标在不同阶段的情况．
12.【答案】
【解析】解：根据题意得，即，
所以
故答案为
利用同一时刻物体的高度与其影长成正比得到，然后利用比例性质求出AB即可．
本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的．
13.【答案】21
【解析】解：，
，
故答案为：
利用圆周角定理，进行计算即可解答．
本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：由函数图象可知，
当时，
直线在直线图象的下方，
故答案为：
数形结合解不等式的解集即可得出答案．
本题主要考查一次函数与一元一次不等式，数形结合是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：联立方程组得，整理得，
只有一个交点，
，
，舍去负值，
此时交点，
一次函数解析式为，当时，，，
线段BD的中点D坐标为，
，
，
，，
，，
，
在反比例函数图象上，
故答案为：
联立方程组根据只有一个交点求出a值得到交点坐标，根据直线解析式求出B点坐标，依据中点坐标公式分别求出点D和点C坐标，即可得到k值．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，求出点C坐标是关键．
16.【答案】解：

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
17.【答案】解：
；
当时，原式
【解析】先计算括号内的，再计算除法，然后把代入，即可求解．
本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．
18.【答案】40 15
【解析】解：本次接受随机抽样调查的学生人数为：人，图中m的值为：，
故答案为：40；
依题意得：
双，
答：建议购买35号运动鞋60双．
根据条形统计图中数据的人数相加即可求解；
利用35号的百分比乘数量即可求解．
本题考查了扇形统计图与条形统计图的关联，解题的关键是分析题目中所给的直方图及扇形图，然后从中得到数据进行求解．
19.【答案】证明：，，
，
；
解：如图所示，连接CO，
设，则，
在中：由勾股定理得，
在中：由勾股定理得，
，
解得
的半径为
【解析】根据同圆中，同弧所对的圆周角相等可得，再由条件可得，然后可得；
设，则，利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案．
本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，垂径定理勾股定理，熟练掌握圆周角定理是解答本题的关键．
20.【答案】解：设A种纪念品每件的进价为x元，则B种纪念品每件的进价元，
由题意得，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，
，
答：A种纪念品每件的进价为15元，则B种纪念品每件的进价20元；
设A种纪念品购进a件，由题意得：
，
解得：，
为整数，
的最大值为
答：A种纪念品最多购进400件．
【解析】设A种纪念品每件的进价为x元，则B种纪念品每件的进价元，根据用900元购进的A种纪念品与用1200元购进的B种纪念品的数量相同列出分式方程，再解即可；
设A种纪念品购进a件，由题意得不等关系：A种纪念品的总利润种纪念品的总利润元，根据不等关系列出不等式，再解即可．
此题主要考查了分式方程和一元一次不等式的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系或不等关系，再列出不等式和分式方程即可．
21.【答案】
【解析】解：由运动员的竖直高度与水平距离满足二次函数的关系，
设二次函数的关系为，
代入，，，
得，
解得，
关于x的关系式为；
把代入，
得，
解得，不合题意，舍去，
运动员甲从起点A到入水点的水平距离OD的长为2米；
①运动员甲不能成功完成此动作，理由如下：
由运动员的竖直高度与水平距离满足二次函数的关系为，
整理得，
得运动员甲起跳后达到最高点B到水面的高度k为，即，
把代入，
得，
解得，不合题意，舍去，
，
运动员甲不能成功完成此动作；
②由运动员甲进行第二次跳水训练，竖直高度与水平距离的关系为，
得顶点为，
得，
得，
把代入，
得，
由运动员甲在达到最高点后需要的时间才能完成极具难度的270C动作，得，
则，即，
解得
故答案为：
设二次函数的关系为，代入，，，算出a、b、c的值，即可得到函数表达式；
把代入，即可求出结果；
①把二次函数整理为，得，把代入，计算t的值，再与比较即可得到结果；
②求得顶点为，得，把代入，得，由，列不等式即可求出t的取值范围．
本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的应用，本题的关键是理清题目条件，熟练运用二次函数的性质解题．
22.【答案】
【解析】解：如图1所示，过点A作于E，
是边长为6的等边三角形，
，，
，
，
；
故答案为：；
如图2所示，延长EB到G使得，连接AG，
四边形ABCD是正方形，
，，
≌，
，，
，
，
，
，
又，
≌，
，，
又，
；
存在一个面积最小的；理由如下：
把绕点A顺时针旋转并把边长缩小为原来的，得到，
，
，
，
过点E作于M，作于N，则四边形AMEN是矩形，
，
，
，
，
当的面积最小时，的面积最小；
如图3所示，作的外接圆，圆心为O，连接OA，OG，OE，过点O作于H，设，
，
，
，
，
当r最小时，的面积最小，
，
，
，
当A、O、H三点共线时，r有最小值，最小值为，
，
存在一个面积最小的，其最小值为
如图所示，过点A作于E，利用等边三角形的性质得到，，再利用勾股定理得到，即可利用求出答案；
如图所示，延长EB到G使得，连接AG，证明≌，得到，，再证明≌，得到，，则；
把绕点A顺时针旋转并把边长缩小为原来的，得到，则，；过点E作于M，作于N，则四边形AMEN是矩形，则，解直角三角形得到，进而得到，即，则当的面积最小时，的面积最小；如图所示，作的外接圆，圆心为O，连接OA，OG，OE，过点O作于H，设，由圆周角定理得到，则，推出，由于，则当r最小时，的面积最小，故当A、O、H三点共线时，r有最小值，最小值为，则，即存在一个面积最小的，其最小值为
本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，旋转的性质，解直角三角形，正方形的性质，等边三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等，通过作出辅助线构造直角三角形，全等三角形是解题的关键．水平距离
0
1
竖直高度
10
10