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2022年广东省深圳市罗湖区中考数学二模试卷
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这是一份2022年广东省深圳市罗湖区中考数学二模试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022年广东省深圳市罗湖区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．（3分）下列四个几何体中，从正面看是三角形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）一个数的相反数是﹣2，则这个数是（ ）
A．2 B．2或﹣2 C．﹣2 D．
3．（3分）用不等式表示如图的解集，其中正确的是（ ）
A．x≤2 B．x＜2 C．x≥2 D．x＞2
4．（3分）冬季来临，某同学对甲、乙、丙、丁四个菜市场第四季度的白菜价格进行调查．发现白菜价格的平均值均为2.50元，方差分别为S甲2＝18.3，S乙2＝17.4，S丙2＝20.1，S丁2＝12.5．第四季度白菜价格最稳定的菜市场是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．5ab﹣2a＝3b B．a+a＝a2
C．2ab+3ba＝5ab D．7x2y﹣7xy2＝0
6．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AB＝2，BC＝1，那么sinB的值是（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使小路的面积为100平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为（ ）
A．32×20﹣32x﹣20x＝100 B．（32﹣x）（20﹣x）+x2＝100
C．32x+20x＝100+x2 D．（32﹣x）（20﹣x）＝100
8．（3分）下列命题是真命题的是（ ）
A．平行四边形的对角互补
B．对角线相等的四边形是矩形
C．相似三角形的面积比等于对应高的比
D．位似三角形是相似三角形
9．（3分）如图，AB是圆O的直径，C，D是AB上的两点，连接AC，BD相交于点E，若∠BEC＝56°，那么∠DOC的度数为（ ）
A．28° B．56° C．64° D．68°
10．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边CD上，且CE＝1，连结AE，点F在边AD上，连结BF，把△ABF沿BF翻折，点A恰好落在AE上的点G处，下列结论：①AE＝BF；②AD＝3DF；③S△ABF＝6；④GE＝0.2，其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①③④ C．①②③ D．①③
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）分解因式：x2﹣9y2 ．
12．（3分）在一个不透明纸箱中放有除了数字不同外，其它完全相同的2张卡片，分别标有数字1、2，从中任意摸出一张，放回搅匀后再任意摸出一张，两次摸出的数字之积为偶数的概率为 ．
13．（3分）如图，在△ABC中，分别以A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点，直线PQ交BC于点D，连接AD；再分别以A、C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于M，N两点，直线MN交BC于点E，连接AE．若CD＝11，△ADE的周长为17，则BD的长为 ．
14．（3分）如图，A、B是函数y（x＞0）图象上两点，作PB∥y轴，PA∥x轴，PB与PA交于点P，若S△BOP＝2，则S△ABP＝ ．
15．（3分）如图，△ABO中，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，边AB与⊙O相切于点A，把△ABO绕点A逆时针旋转得到△AB'O'，点O的对应点O'恰好落在⊙O上，则sin∠B'AB的值是 ．
三、解答题（本题共7小题，共55分）
16．（5分）解方程：x2+2x﹣3＝0（公式法）
17．（8分）某校760名学生参加植树活动，要求每人植树的范围是2≤x≤5棵，活动结束后随机抽查了若干名学生每人的植树量，并分为四种类型，A：2棵；B：3棵；C：4棵；D：5棵，将各类的人数绘制成扇形统计图（如图2）和条形统计图（如图1）．回答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）被调查学生每人植树量的众数、中位数分别是多少？
（3）估计该校全体学生在这次植树活动中共植树多少棵？
18．（7分）在坐标系中作出函数y＝x+2的图象，根据图象回答下列问题：
（1）方程x+2＝0的解是 ；
（2）不等式x+2＞1的解 ；
（3）若﹣2≤y≤2，则x的取值范围是 ．
19．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是BC的中点，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，连接DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若CD＝3cm，DEcm，求⊙O直径的长．
20．（8分）某中学计划购买A、B两种学习用品奖励学生，已知购买一个A比购买一个B多用20元，若用400元购买A的数量是用160元购买B数量的一半．
（1）求A、B两种学习用品每件各需多少元？
（2）经商谈，商店给该校购买一个A奖品赠送一个B奖品的优惠，如果该校需要B奖品的个数是A奖品个数的2倍还多8个，且该学校购买A、B两种奖品的总费用不超过670元，那么该校最多可购买多少个A奖品？
21．（9分）【探索发现】
如图①，是一张直角三角形纸片，∠B＝90°，小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为 ．
【拓展应用】
如图②，在△ABC中，BC＝a，BC边上的高AD＝h，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为 ．（用含a，h的代数式表示）
【灵活应用】
如图③，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB＝32，BC＝40，AE＝20，CD＝16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（∠B为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积．
【实际应用】
如图④，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB＝50cm，BC＝108cm，CD＝60cm，且tanB＝tanC，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M、N在边BC上且面积最大的矩形PQMN，求该矩形的面积．
22．（10分）【实践与探究】九（1）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践一一应用一一探究的过程：
（1）实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得隧道的路面宽为10m，隧道顶部最高处距地面6.25m，并画出了隧道截面图，建立了如图①所示的直角坐标系，则该抛物线的解析式为 ．
（2）应用：按规定，机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为0.5m．为了确保安全，问该隧道能否让最宽3m、最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶（两车并列行驶时不考虑两车之间的空隙）？
（3）探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，提出了以下两个问题，请予解答：
Ⅰ．如图②，在抛物线内作矩形ABCD，使顶点C、D落在抛物线上，顶点A、B落在x轴上．设矩形ABCD的周长为l，求l的最大值．
Ⅱ．如图③，过原点作一条y＝x的直线OM，交抛物线于点M，交抛物线对称轴于点N，P为直线OM上一动点，过P点作x轴的垂线交抛物线于点Q．问：在直线OM上是否存在点P，使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
2022年广东省深圳市罗湖区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．（3分）下列四个几何体中，从正面看是三角形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】找到从正面看所得到的图形为三角形即可．
【解答】解：A．主视图为长方形，不符合题意；
B．主视图为三角形，符合题意；
C．主视图为长方形，不符合题意；
D．主视图为长方形，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
2．（3分）一个数的相反数是﹣2，则这个数是（ ）
A．2 B．2或﹣2 C．﹣2 D．
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．
【解答】解：∵2的相反数是﹣2，
∴这个数是2．
故选：A．
【点评】本题考查了相反数的定义．熟记相反数的定义是解题的关键．
3．（3分）用不等式表示如图的解集，其中正确的是（ ）
A．x≤2 B．x＜2 C．x≥2 D．x＞2
【分析】根据图中数轴上所表示的不等式的解集，即可得到答案．
【解答】解：用不等式表示如图的解集为：x≥2．
故选：C．
【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，注意：不等式的解集在数轴上表示出来（＞，⩾向右画；＜，⩽向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，在表示解集时“⩾”，“⩽”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
4．（3分）冬季来临，某同学对甲、乙、丙、丁四个菜市场第四季度的白菜价格进行调查．发现白菜价格的平均值均为2.50元，方差分别为S甲2＝18.3，S乙2＝17.4，S丙2＝20.1，S丁2＝12.5．第四季度白菜价格最稳定的菜市场是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定．
【解答】解：∵S甲2＝18.3，S乙2＝17.4，S丙2＝20.1，S丁2＝12.5，
∴S丙2＞S甲2＞S乙2＞S丁2，
∴第四季度白菜价格最稳定的菜市场是丁；
故选：D．
【点评】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．5ab﹣2a＝3b B．a+a＝a2
C．2ab+3ba＝5ab D．7x2y﹣7xy2＝0
【分析】根据合并同类项的法则进行计算，逐一判断即可．
【解答】解：A、5ab与2a不能合并，故A不符合题意；
B、a+a＝2a，故B不符合题意；
C、2ab+3ba＝5ab．故C符合题意；
D、7x2y与﹣7xy2不能合并，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项的法则是解题的关键．
6．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AB＝2，BC＝1，那么sinB的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】先由勾股定理求出AC的长，再根据正弦＝对边÷斜边计算即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，
∵∠C＝90°，AB＝2，BC＝1，
∴AC，
∴sinB，
故选：B．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，解题时牢记定义是关键．
7．（3分）如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使小路的面积为100平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为（ ）
A．32×20﹣32x﹣20x＝100 B．（32﹣x）（20﹣x）+x2＝100
C．32x+20x＝100+x2 D．（32﹣x）（20﹣x）＝100
【分析】设道路的宽x米，小路的面积+x²＝一个长32宽x的矩形面积+一个长20宽x的矩形的面积，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设道路的宽x米，则
32x+20x＝100+x2．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．（3分）下列命题是真命题的是（ ）
A．平行四边形的对角互补
B．对角线相等的四边形是矩形
C．相似三角形的面积比等于对应高的比
D．位似三角形是相似三角形
【分析】根据平行线的性质、矩形的判定定理、相似三角形的性质、位似三角形的概念判断即可．
【解答】解：A、平行四边形的对角相等，不一定互补，本选项说法是假命题，不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，本选项说法是假命题，不符合题意；
C、相似三角形的面积比等于对应高的比的平方，本选项说法是假命题，不符合题意；
D、位似三角形是相似三角形，本选项说法是真命题，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，掌握平行线的性质、矩形的判定定理、相似三角形的性质、位似三角形的概念是解题的关键．
9．（3分）如图，AB是圆O的直径，C，D是AB上的两点，连接AC，BD相交于点E，若∠BEC＝56°，那么∠DOC的度数为（ ）
A．28° B．56° C．64° D．68°
【分析】连接BC，利用直径所对的圆周角是直角，可得∠ACB＝90°，易得∠1，利用圆周角定理可得结果．
【解答】解：连接BC，
∵AB是圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BEC＝56°，
∴∠1＝90°﹣∠BEC＝90°﹣56°＝34°，
∴∠DOC＝2∠1＝2×34°＝68°，
故选：D．
【点评】本题主要考查了圆周角定理及其推论，作出恰当的辅助线是解答此题的关键．
10．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边CD上，且CE＝1，连结AE，点F在边AD上，连结BF，把△ABF沿BF翻折，点A恰好落在AE上的点G处，下列结论：①AE＝BF；②AD＝3DF；③S△ABF＝6；④GE＝0.2，其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①③④ C．①②③ D．①③
【分析】根据翻折的性质证△ABF≌△DAE（ASA），得出AF＝DE＝3，BF＝AE，即可判断①正确；根据DF＝AD﹣AF＝4﹣3＝1，即可判断②错误；由勾股定理得出BF＝5，由S△ABF求出即可求得③正确；根据S△ABFAB•AFBF•AH，求出AH，即可判断④正确，进而得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD＝CD＝4，∠BAD＝∠D＝90°，
∵CE＝1，
∴DE＝3，
由折叠的性质可知，△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG，
∴BF⊥AE，AH＝GH，
∴∠BAH+∠ABH＝90°，
∵∠FAH+∠BAH＝90°，
∴∠ABH＝∠FAH，
在△ABF和△DAE中，
，
∴△ABF≌△DAE（ASA），
∴AF＝DE＝3，BF＝AE，故①正确；
∵DF＝AD﹣AF＝4﹣3＝1，
∴AD＝4DF，故②错误；
在Rt△ABF中，
∵BF5，
∴S△ABFAB•AF4×3＝6，故③正确；
∵S△ABFAB•AFBF•AH，
∴4×3＝5AH，
∴AH，
∴AG＝2AH，
∵AE＝BF＝5，
∴GE＝AE﹣AG＝50.2，故④正确；
综上所述：正确的是①③④，
故选：B．
【点评】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）分解因式：x2﹣9y2 ＝（x+3y）（x﹣3y） ．
【分析】直接利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：原式＝（x+3y）（x﹣3y）．
故答案为：（x+3y）（x﹣3y）．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
12．（3分）在一个不透明纸箱中放有除了数字不同外，其它完全相同的2张卡片，分别标有数字1、2，从中任意摸出一张，放回搅匀后再任意摸出一张，两次摸出的数字之积为偶数的概率为 ．
【分析】根据题意，可以画出相应的树状图，然后即可计算出相应的概率．
【解答】解：树状图如下所示，
由上可得，一共有4种可能性，其中数字之积为偶数的可能性有3种，
∴数字之积为偶数的概率为：，
故答案为：．
【点评】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图．
13．（3分）如图，在△ABC中，分别以A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点，直线PQ交BC于点D，连接AD；再分别以A、C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于M，N两点，直线MN交BC于点E，连接AE．若CD＝11，△ADE的周长为17，则BD的长为 6 ．
【分析】先利用基本作图得到PQ垂直平分AB，MN垂直平分AC，则利用线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，EA＝EC，再利用等线段代换得到BC＝17，然后计算BC﹣CD即可．
【解答】解：由作法得PQ垂直平分AB，MN垂直平分AC，
∴DA＝DB，EA＝EC，
∵△ADE的周长为17，
∴DA+EA+DE＝17，
∴DB+DE+EC＝17，
即BC＝17，
∴BD＝BC﹣CD＝17﹣11＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质．
14．（3分）如图，A、B是函数y（x＞0）图象上两点，作PB∥y轴，PA∥x轴，PB与PA交于点P，若S△BOP＝2，则S△ABP＝ 4 ．
【分析】设点M的纵坐标为m，点N的横坐标为n，求出矩形OMPN＝2，进而得出mn＝2，根据三角形的面积公式计算，即可得出结论．
【解答】解：如图，延长BP交x轴于N，延长AP交y轴于M，设点M的纵坐标为m，点N的横坐标为n，
∴AM⊥y轴，BN⊥x轴，又∠MON＝90°，
∴四边形OMPN是矩形，
∵点A，B在双曲线y上，
∴S△AMO＝S△BNO＝3，
∵S△BOP＝2，
∴S△PMO＝S△PNO＝1，
∴S矩形OMPN＝2，
∴mn＝2，
∴m，
∴BP＝|n|＝|3n﹣n|＝2|n|，
AP＝|m|＝||，
∴S△ABP2|n|×||＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查的是反比例函数的性质、三角形面积公式、矩形的判定和性质，掌握反比例函数图象上点的坐标特征、正确作出辅助线是解本题的关键．
15．（3分）如图，△ABO中，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，边AB与⊙O相切于点A，把△ABO绕点A逆时针旋转得到△AB'O'，点O的对应点O'恰好落在⊙O上，则sin∠B'AB的值是 ．
【分析】由旋转得OA＝O′A，则OA＝O′A＝OO′，△OO′A是等边三角形，可得∠O′AO＝60°，根据切线的性质以及旋转的性质得∠OAB＝∠O′AB′＝90°，可得∠B'AB＝60°，根据特殊角的三角函数值即可求解．
【解答】解：由旋转得OA＝O′A，∠OAB＝∠O′AB′，
∴OA＝O′A＝OO′，
∴△OO′A是等边三角形，
∴∠O′AO＝60°，
∵边AB与⊙O相切于点A，
∴∠OAB＝∠O′AB′＝90°，
∴∠B'AB＝60°，
∴sin∠B'AB．
故答案为：．
【点评】此题考查圆的切线的性质、等边三角形的判定和性质，锐角三角函数．
三、解答题（本题共7小题，共55分）
16．（5分）解方程：x2+2x﹣3＝0（公式法）
【分析】先计算判别式的值，然后利用求根公式解方程．
【解答】解：a＝1，b＝2，c＝﹣3，
△＝22﹣4×（﹣3）＝16＞0，
x，
所以x1＝1，x2＝﹣3．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
17．（8分）某校760名学生参加植树活动，要求每人植树的范围是2≤x≤5棵，活动结束后随机抽查了若干名学生每人的植树量，并分为四种类型，A：2棵；B：3棵；C：4棵；D：5棵，将各类的人数绘制成扇形统计图（如图2）和条形统计图（如图1）．回答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）被调查学生每人植树量的众数、中位数分别是多少？
（3）估计该校全体学生在这次植树活动中共植树多少棵？
【分析】（1）由B类型的人数及其所占百分比可得总人数，总人数乘以D类型的对应的百分比即可求出其人数，据此可补全图形；
（2）根据众数和中位数的概念可得答案；
（3）先求出样本的平均数，再乘以总人数即可．
【解答】解：（1）这次调查一共抽查植树的学生人数为8÷40%＝20（人），
D类人数＝20×10%＝2（人），补全统计图如下：
（2）∵植3棵的人数最多，
∴众数是3棵，
把这些数从小到大排列，中位数是第10、11个数的平均数，则中位数是3（棵）．
（3）这组数据的平均数是：（4×2+8×3+4×6+5×2）＝3.3（棵），
3.3×760＝2508（棵）．
答：估计这760名学生共植树2508棵．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
18．（7分）在坐标系中作出函数y＝x+2的图象，根据图象回答下列问题：
（1）方程x+2＝0的解是 x＝﹣2 ；
（2）不等式x+2＞1的解 x＞﹣1 ；
（3）若﹣2≤y≤2，则x的取值范围是 ﹣4≤x≤0 ．
【分析】先画出函数图象，然后根据函数图象可以解答（1）（2）（3）三个小题．
【解答】解：y＝x+2
列表如下：
图象如下图所示：
（1）由图形可得，方程x+2＝0的解是x＝﹣2，
故答案为x＝﹣2；
（2）由图象可得，不等式x+2＞1的解是x＞﹣1，
故答案为x＞﹣1；
（3）若﹣2≤y≤2，则x的取值范围是﹣4≤x≤0，
故答案为﹣4≤x≤0．
【点评】本题考查一次函数的图象、一次函数与一元一次方程，一次函数与一元一次不等式，解题的关键是利用数形结合的思想解答问题．
19．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是BC的中点，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，连接DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若CD＝3cm，DEcm，求⊙O直径的长．
【分析】（1）连接OD，由圆周角定理得出∠ADC＝∠BDC＝90°，由直角三角形的性质得出ED＝EC，进而得出∠EDC＝∠ECD，由OD＝OC，得出∠ODC＝∠OCD，由∠ACB＝90°，得出∠OCD+∠ECD＝90°，进一步得出∠EDC+∠ODC＝90°，即可证明结论；
（2）由直角三角形的性质及勾股定理得出BCcm，BD（cm），再证明△BDC∽△CDA，得出，进而得出⊙O直径的长cm．
【解答】（1）证明：如图1，连接OD，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
∵E是BC的中点，
∴ED＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD，
∵∠ACB＝90°，
∴∠OCD+∠ECD＝90°，
∴∠EDC+∠ODC＝90°，
∵OD为半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：如图2，
∵DE是Rt△BDC斜边上的中线，DEcm，CD＝3cm，
∴BC＝2DEcm，
∴BD（cm），
∵∠A+∠ACD＝∠BCD+∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝∠A，
∵∠BDC＝∠CDA＝90°，
∴△BDC∽△CDA，
∴，即，
∴AC（cm），
∴⊙O直径的长cm．
【点评】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，掌握直角三角形的性质，圆周角定理，切线的判定方法，相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
20．（8分）某中学计划购买A、B两种学习用品奖励学生，已知购买一个A比购买一个B多用20元，若用400元购买A的数量是用160元购买B数量的一半．
（1）求A、B两种学习用品每件各需多少元？
（2）经商谈，商店给该校购买一个A奖品赠送一个B奖品的优惠，如果该校需要B奖品的个数是A奖品个数的2倍还多8个，且该学校购买A、B两种奖品的总费用不超过670元，那么该校最多可购买多少个A奖品？
【分析】（1）设A种学习用品每件x元钱，则B种学习用品每件（x﹣20）元钱，由题意：用400元购买A的数量是用160元购买B数量的一半．列出分式方程，解方程即可；
（2）设该校可购买y个A奖品，则可购买（2y+8﹣y）个B奖品，由题意：商店给该校购买一个A奖品赠送一个B奖品的优惠，且该公司购买A、B两种奖品的总费用不超过670元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设A种学习用品每件x元钱，则B种学习用品每件（x﹣20）元钱，
由题意得：，
解得：x＝25，
经检验，x＝25是原方程的解，且符合题意，
则x﹣20＝5，
答：A种学习用品每件25元钱，则B种学习用品每件5元钱；
（2）设该校可购买y个A奖品，则可购买（2y+8﹣y）个B奖品，
由题意得：25y+5（2y+8﹣y）≤670，
解得：y≤21，
答：该校最多可购买21个A奖品．
【点评】本题主要考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
21．（9分）【探索发现】
如图①，是一张直角三角形纸片，∠B＝90°，小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为 ．
【拓展应用】
如图②，在△ABC中，BC＝a，BC边上的高AD＝h，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为 ．（用含a，h的代数式表示）
【灵活应用】
如图③，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB＝32，BC＝40，AE＝20，CD＝16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（∠B为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积．
【实际应用】
如图④，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB＝50cm，BC＝108cm，CD＝60cm，且tanB＝tanC，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M、N在边BC上且面积最大的矩形PQMN，求该矩形的面积．
【分析】【探索发现】：由中位线知EFBC、EDAB、由可得；
【拓展应用】：由△APN∽△ABC知，可得PN＝aPQ，设PQ＝x，由S矩形PQMN＝PQ•PN（x）2，据此可得；
【灵活应用】：添加如图1辅助线，取BF中点I，FG的中点K，由矩形性质知AE＝EH＝20、CD＝DH＝16，分别证△AEF≌△HED、△CDG≌△HDE得AF＝DH＝16、CG＝HE＝20，从而判断出中位线IK的两端点在线段AB和DE上，利用【探索发现】结论解答即可；
【实际应用】：延长BA、CD交于点E，过点E作EH⊥BC于点H，由tanB＝tanC知EB＝EC、BH＝CH＝54，EHBH＝72，继而求得BE＝CE＝90，可判断中位线PQ的两端点在线段AB、CD上，利用【拓展应用】结论解答可得．
【解答】解：【探索发现】
∵EF、ED为△ABC中位线，
∴ED∥AB，EF∥BC，EFBC，EDAB，
又∠B＝90°，
∴四边形FEDB是矩形，
则，
故答案为：；
【拓展应用】
∵PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，
∴，即，
∴PN＝aPQ，
设PQ＝x，
则S矩形PQMN＝PQ•PN＝x（ax）x2+ax（x）2，
∴当PQ时，S矩形PQMN最大值为，
故答案为：；
【灵活应用】
如图1，延长BA、DE交于点F，延长BC、ED交于点G，延长AE、CD交于点H，取BF中点I，FG的中点K，
由题意知四边形ABCH是矩形，
∵AB＝32，BC＝40，AE＝20，CD＝16，
∴EH＝20、DH＝16，
∴AE＝EH、CD＝DH，
在△AEF和△HED中，
∵，
∴△AEF≌△HED（ASA），
∴AF＝DH＝16，
同理△CDG≌△HDE，
∴CG＝HE＝20，
∴BI24，
∵BI＝24＜32，
∴中位线IK的两端点在线段AB和DE上，
过点K作KL⊥BC于点L，
由【探索发现】知矩形的最大面积为BG•BF（40+20）（32+16）＝720，
答：该矩形的面积为720；
【实际应用】
如图2，延长BA、CD交于点E，过点E作EH⊥BC于点H，
∵tanB＝tanC，
∴∠B＝∠C，
∴EB＝EC，
∵BC＝108cm，且EH⊥BC，
∴BH＝CHBC＝54cm，
∵tanB，
∴EHBH54＝72cm，
在Rt△BHE中，BE90cm，
∵AB＝50cm，
∴AE＝40cm，
∴BE的中点Q在线段AB上，
∵CD＝60cm，
∴ED＝30cm，
∴CE的中点P在线段CD上，
∴中位线PQ的两端点在线段AB、CD上，
由【拓展应用】知，矩形PQMN的最大面积为BC•EH＝1944cm2，
答：该矩形的面积为1944cm2．
【点评】本题主要考查四边形的综合问题，熟练掌握中位线定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质及类比思想的运用是解题的关键．
22．（10分）【实践与探究】九（1）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践一一应用一一探究的过程：
（1）实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得隧道的路面宽为10m，隧道顶部最高处距地面6.25m，并画出了隧道截面图，建立了如图①所示的直角坐标系，则该抛物线的解析式为 y＝﹣0.25（x﹣5）2+6.25 ．
（2）应用：按规定，机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为0.5m．为了确保安全，问该隧道能否让最宽3m、最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶（两车并列行驶时不考虑两车之间的空隙）？
（3）探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，提出了以下两个问题，请予解答：
Ⅰ．如图②，在抛物线内作矩形ABCD，使顶点C、D落在抛物线上，顶点A、B落在x轴上．设矩形ABCD的周长为l，求l的最大值．
Ⅱ．如图③，过原点作一条y＝x的直线OM，交抛物线于点M，交抛物线对称轴于点N，P为直线OM上一动点，过P点作x轴的垂线交抛物线于点Q．问：在直线OM上是否存在点P，使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用顶点式将顶点坐标（5，6.25）代入，求出二次函数解析式即可；
（2）根据已知得出当x＝2时，正好是汽车宽度，代入函数解析式求出即可；
（3）I．首先用未知数表示出矩形周长，再利用二次函数最值公式求出；
Ⅱ•利用等腰直角三角形的性质得出QN＝AB＝AO，以及P在y＝x的图象上，即可得出P点的坐标．
【解答】解：（1）根据坐标系可知此函数顶点坐标为（5，6.25），且图象过（10，0）点，
代入顶点式得：
y＝a（x﹣5）2+6.25，
∴0＝a（10﹣5）2+6.25，
解得：a＝﹣0.25，
∴y＝﹣0.25（x﹣5）2+6.25；
故答案为：y＝﹣0.25（x﹣5）2+6.25．
（2）当最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶时，
∴10﹣3×2＝4，
4÷2＝2，
∴x＝2代入解析式得：
y＝﹣0.25（2﹣5）2+6.25；
y＝4，
4﹣3.5＝0.5，
∴隧道能让最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶；
（3）I．假设AO＝x，可得AB＝10﹣2x，
∴AD＝﹣0.25（x﹣5）2+6.25；
∴矩形ABCD的周长为l为：l＝2[﹣0.25（x﹣5）2+6.25]+2（10﹣2x）＝﹣0.5x2+x+20，
∴l的最大值为：20.5．
Ⅱ如图④，当以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，
∵P在y＝x的图象上，过P点作x轴的垂线交抛物线于点Q．
∴∠POA＝∠OPA＝45°，
∴Q点的纵坐标为5，
∴5，
解得：m＝5±，
如图⑤，当∠P3NQ3＝90°时，过点Q3作Q3K1⊥对称轴，
当△NQ3K1为等腰直角三角形时，△NP3Q3为等腰直角三角形，
Q点在OM的上方时，P3Q3＝2Q3K1，P3Q3x2+﹣x，
Q3K1＝5﹣x，
Q点在OM的下方时，P4Q4＝2Q4K2，P4Q4＝x﹣（x2），
Q4K2＝x﹣5，
∴x2x+10＝0，
解得：x1＝4，x2＝10，
P3（4，4），P4（10，10）．
∴使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，P点的坐标为：（5，5）或（5，5）或（4，4）或（10，10）．
【点评】此题主要考查了顶点式求二次函数解析式以及二次函数最值求法和等腰直角三角形的性质，根据函数图象获取正确点的坐标以及利用y＝x图象上点的性质是解决问题的关键．
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2022年广东省深圳市罗湖区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．（3分）下列四个几何体中，从正面看是三角形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）一个数的相反数是﹣2，则这个数是（ ）
A．2 B．2或﹣2 C．﹣2 D．
3．（3分）用不等式表示如图的解集，其中正确的是（ ）
A．x≤2 B．x＜2 C．x≥2 D．x＞2
4．（3分）冬季来临，某同学对甲、乙、丙、丁四个菜市场第四季度的白菜价格进行调查．发现白菜价格的平均值均为2.50元，方差分别为S甲2＝18.3，S乙2＝17.4，S丙2＝20.1，S丁2＝12.5．第四季度白菜价格最稳定的菜市场是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．5ab﹣2a＝3b B．a+a＝a2
C．2ab+3ba＝5ab D．7x2y﹣7xy2＝0
6．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AB＝2，BC＝1，那么sinB的值是（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使小路的面积为100平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为（ ）
A．32×20﹣32x﹣20x＝100 B．（32﹣x）（20﹣x）+x2＝100
C．32x+20x＝100+x2 D．（32﹣x）（20﹣x）＝100
8．（3分）下列命题是真命题的是（ ）
A．平行四边形的对角互补
B．对角线相等的四边形是矩形
C．相似三角形的面积比等于对应高的比
D．位似三角形是相似三角形
9．（3分）如图，AB是圆O的直径，C，D是AB上的两点，连接AC，BD相交于点E，若∠BEC＝56°，那么∠DOC的度数为（ ）
A．28° B．56° C．64° D．68°
10．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边CD上，且CE＝1，连结AE，点F在边AD上，连结BF，把△ABF沿BF翻折，点A恰好落在AE上的点G处，下列结论：①AE＝BF；②AD＝3DF；③S△ABF＝6；④GE＝0.2，其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①③④ C．①②③ D．①③
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）分解因式：x2﹣9y2 ．
12．（3分）在一个不透明纸箱中放有除了数字不同外，其它完全相同的2张卡片，分别标有数字1、2，从中任意摸出一张，放回搅匀后再任意摸出一张，两次摸出的数字之积为偶数的概率为 ．
13．（3分）如图，在△ABC中，分别以A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点，直线PQ交BC于点D，连接AD；再分别以A、C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于M，N两点，直线MN交BC于点E，连接AE．若CD＝11，△ADE的周长为17，则BD的长为 ．
14．（3分）如图，A、B是函数y（x＞0）图象上两点，作PB∥y轴，PA∥x轴，PB与PA交于点P，若S△BOP＝2，则S△ABP＝ ．
15．（3分）如图，△ABO中，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，边AB与⊙O相切于点A，把△ABO绕点A逆时针旋转得到△AB'O'，点O的对应点O'恰好落在⊙O上，则sin∠B'AB的值是 ．
三、解答题（本题共7小题，共55分）
16．（5分）解方程：x2+2x﹣3＝0（公式法）
17．（8分）某校760名学生参加植树活动，要求每人植树的范围是2≤x≤5棵，活动结束后随机抽查了若干名学生每人的植树量，并分为四种类型，A：2棵；B：3棵；C：4棵；D：5棵，将各类的人数绘制成扇形统计图（如图2）和条形统计图（如图1）．回答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）被调查学生每人植树量的众数、中位数分别是多少？
（3）估计该校全体学生在这次植树活动中共植树多少棵？
18．（7分）在坐标系中作出函数y＝x+2的图象，根据图象回答下列问题：
（1）方程x+2＝0的解是 ；
（2）不等式x+2＞1的解 ；
（3）若﹣2≤y≤2，则x的取值范围是 ．
19．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是BC的中点，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，连接DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若CD＝3cm，DEcm，求⊙O直径的长．
20．（8分）某中学计划购买A、B两种学习用品奖励学生，已知购买一个A比购买一个B多用20元，若用400元购买A的数量是用160元购买B数量的一半．
（1）求A、B两种学习用品每件各需多少元？
（2）经商谈，商店给该校购买一个A奖品赠送一个B奖品的优惠，如果该校需要B奖品的个数是A奖品个数的2倍还多8个，且该学校购买A、B两种奖品的总费用不超过670元，那么该校最多可购买多少个A奖品？
21．（9分）【探索发现】
如图①，是一张直角三角形纸片，∠B＝90°，小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为 ．
【拓展应用】
如图②，在△ABC中，BC＝a，BC边上的高AD＝h，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为 ．（用含a，h的代数式表示）
【灵活应用】
如图③，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB＝32，BC＝40，AE＝20，CD＝16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（∠B为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积．
【实际应用】
如图④，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB＝50cm，BC＝108cm，CD＝60cm，且tanB＝tanC，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M、N在边BC上且面积最大的矩形PQMN，求该矩形的面积．
22．（10分）【实践与探究】九（1）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践一一应用一一探究的过程：
（1）实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得隧道的路面宽为10m，隧道顶部最高处距地面6.25m，并画出了隧道截面图，建立了如图①所示的直角坐标系，则该抛物线的解析式为 ．
（2）应用：按规定，机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为0.5m．为了确保安全，问该隧道能否让最宽3m、最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶（两车并列行驶时不考虑两车之间的空隙）？
（3）探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，提出了以下两个问题，请予解答：
Ⅰ．如图②，在抛物线内作矩形ABCD，使顶点C、D落在抛物线上，顶点A、B落在x轴上．设矩形ABCD的周长为l，求l的最大值．
Ⅱ．如图③，过原点作一条y＝x的直线OM，交抛物线于点M，交抛物线对称轴于点N，P为直线OM上一动点，过P点作x轴的垂线交抛物线于点Q．问：在直线OM上是否存在点P，使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
2022年广东省深圳市罗湖区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．（3分）下列四个几何体中，从正面看是三角形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】找到从正面看所得到的图形为三角形即可．
【解答】解：A．主视图为长方形，不符合题意；
B．主视图为三角形，符合题意；
C．主视图为长方形，不符合题意；
D．主视图为长方形，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
2．（3分）一个数的相反数是﹣2，则这个数是（ ）
A．2 B．2或﹣2 C．﹣2 D．
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．
【解答】解：∵2的相反数是﹣2，
∴这个数是2．
故选：A．
【点评】本题考查了相反数的定义．熟记相反数的定义是解题的关键．
3．（3分）用不等式表示如图的解集，其中正确的是（ ）
A．x≤2 B．x＜2 C．x≥2 D．x＞2
【分析】根据图中数轴上所表示的不等式的解集，即可得到答案．
【解答】解：用不等式表示如图的解集为：x≥2．
故选：C．
【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，注意：不等式的解集在数轴上表示出来（＞，⩾向右画；＜，⩽向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，在表示解集时“⩾”，“⩽”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
4．（3分）冬季来临，某同学对甲、乙、丙、丁四个菜市场第四季度的白菜价格进行调查．发现白菜价格的平均值均为2.50元，方差分别为S甲2＝18.3，S乙2＝17.4，S丙2＝20.1，S丁2＝12.5．第四季度白菜价格最稳定的菜市场是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定．
【解答】解：∵S甲2＝18.3，S乙2＝17.4，S丙2＝20.1，S丁2＝12.5，
∴S丙2＞S甲2＞S乙2＞S丁2，
∴第四季度白菜价格最稳定的菜市场是丁；
故选：D．
【点评】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．5ab﹣2a＝3b B．a+a＝a2
C．2ab+3ba＝5ab D．7x2y﹣7xy2＝0
【分析】根据合并同类项的法则进行计算，逐一判断即可．
【解答】解：A、5ab与2a不能合并，故A不符合题意；
B、a+a＝2a，故B不符合题意；
C、2ab+3ba＝5ab．故C符合题意；
D、7x2y与﹣7xy2不能合并，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项的法则是解题的关键．
6．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AB＝2，BC＝1，那么sinB的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】先由勾股定理求出AC的长，再根据正弦＝对边÷斜边计算即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，
∵∠C＝90°，AB＝2，BC＝1，
∴AC，
∴sinB，
故选：B．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，解题时牢记定义是关键．
7．（3分）如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使小路的面积为100平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为（ ）
A．32×20﹣32x﹣20x＝100 B．（32﹣x）（20﹣x）+x2＝100
C．32x+20x＝100+x2 D．（32﹣x）（20﹣x）＝100
【分析】设道路的宽x米，小路的面积+x²＝一个长32宽x的矩形面积+一个长20宽x的矩形的面积，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设道路的宽x米，则
32x+20x＝100+x2．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．（3分）下列命题是真命题的是（ ）
A．平行四边形的对角互补
B．对角线相等的四边形是矩形
C．相似三角形的面积比等于对应高的比
D．位似三角形是相似三角形
【分析】根据平行线的性质、矩形的判定定理、相似三角形的性质、位似三角形的概念判断即可．
【解答】解：A、平行四边形的对角相等，不一定互补，本选项说法是假命题，不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，本选项说法是假命题，不符合题意；
C、相似三角形的面积比等于对应高的比的平方，本选项说法是假命题，不符合题意；
D、位似三角形是相似三角形，本选项说法是真命题，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，掌握平行线的性质、矩形的判定定理、相似三角形的性质、位似三角形的概念是解题的关键．
9．（3分）如图，AB是圆O的直径，C，D是AB上的两点，连接AC，BD相交于点E，若∠BEC＝56°，那么∠DOC的度数为（ ）
A．28° B．56° C．64° D．68°
【分析】连接BC，利用直径所对的圆周角是直角，可得∠ACB＝90°，易得∠1，利用圆周角定理可得结果．
【解答】解：连接BC，
∵AB是圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BEC＝56°，
∴∠1＝90°﹣∠BEC＝90°﹣56°＝34°，
∴∠DOC＝2∠1＝2×34°＝68°，
故选：D．
【点评】本题主要考查了圆周角定理及其推论，作出恰当的辅助线是解答此题的关键．
10．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边CD上，且CE＝1，连结AE，点F在边AD上，连结BF，把△ABF沿BF翻折，点A恰好落在AE上的点G处，下列结论：①AE＝BF；②AD＝3DF；③S△ABF＝6；④GE＝0.2，其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①③④ C．①②③ D．①③
【分析】根据翻折的性质证△ABF≌△DAE（ASA），得出AF＝DE＝3，BF＝AE，即可判断①正确；根据DF＝AD﹣AF＝4﹣3＝1，即可判断②错误；由勾股定理得出BF＝5，由S△ABF求出即可求得③正确；根据S△ABFAB•AFBF•AH，求出AH，即可判断④正确，进而得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD＝CD＝4，∠BAD＝∠D＝90°，
∵CE＝1，
∴DE＝3，
由折叠的性质可知，△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG，
∴BF⊥AE，AH＝GH，
∴∠BAH+∠ABH＝90°，
∵∠FAH+∠BAH＝90°，
∴∠ABH＝∠FAH，
在△ABF和△DAE中，
，
∴△ABF≌△DAE（ASA），
∴AF＝DE＝3，BF＝AE，故①正确；
∵DF＝AD﹣AF＝4﹣3＝1，
∴AD＝4DF，故②错误；
在Rt△ABF中，
∵BF5，
∴S△ABFAB•AF4×3＝6，故③正确；
∵S△ABFAB•AFBF•AH，
∴4×3＝5AH，
∴AH，
∴AG＝2AH，
∵AE＝BF＝5，
∴GE＝AE﹣AG＝50.2，故④正确；
综上所述：正确的是①③④，
故选：B．
【点评】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）分解因式：x2﹣9y2 ＝（x+3y）（x﹣3y） ．
【分析】直接利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：原式＝（x+3y）（x﹣3y）．
故答案为：（x+3y）（x﹣3y）．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
12．（3分）在一个不透明纸箱中放有除了数字不同外，其它完全相同的2张卡片，分别标有数字1、2，从中任意摸出一张，放回搅匀后再任意摸出一张，两次摸出的数字之积为偶数的概率为 ．
【分析】根据题意，可以画出相应的树状图，然后即可计算出相应的概率．
【解答】解：树状图如下所示，
由上可得，一共有4种可能性，其中数字之积为偶数的可能性有3种，
∴数字之积为偶数的概率为：，
故答案为：．
【点评】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图．
13．（3分）如图，在△ABC中，分别以A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点，直线PQ交BC于点D，连接AD；再分别以A、C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于M，N两点，直线MN交BC于点E，连接AE．若CD＝11，△ADE的周长为17，则BD的长为 6 ．
【分析】先利用基本作图得到PQ垂直平分AB，MN垂直平分AC，则利用线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，EA＝EC，再利用等线段代换得到BC＝17，然后计算BC﹣CD即可．
【解答】解：由作法得PQ垂直平分AB，MN垂直平分AC，
∴DA＝DB，EA＝EC，
∵△ADE的周长为17，
∴DA+EA+DE＝17，
∴DB+DE+EC＝17，
即BC＝17，
∴BD＝BC﹣CD＝17﹣11＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质．
14．（3分）如图，A、B是函数y（x＞0）图象上两点，作PB∥y轴，PA∥x轴，PB与PA交于点P，若S△BOP＝2，则S△ABP＝ 4 ．
【分析】设点M的纵坐标为m，点N的横坐标为n，求出矩形OMPN＝2，进而得出mn＝2，根据三角形的面积公式计算，即可得出结论．
【解答】解：如图，延长BP交x轴于N，延长AP交y轴于M，设点M的纵坐标为m，点N的横坐标为n，
∴AM⊥y轴，BN⊥x轴，又∠MON＝90°，
∴四边形OMPN是矩形，
∵点A，B在双曲线y上，
∴S△AMO＝S△BNO＝3，
∵S△BOP＝2，
∴S△PMO＝S△PNO＝1，
∴S矩形OMPN＝2，
∴mn＝2，
∴m，
∴BP＝|n|＝|3n﹣n|＝2|n|，
AP＝|m|＝||，
∴S△ABP2|n|×||＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查的是反比例函数的性质、三角形面积公式、矩形的判定和性质，掌握反比例函数图象上点的坐标特征、正确作出辅助线是解本题的关键．
15．（3分）如图，△ABO中，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，边AB与⊙O相切于点A，把△ABO绕点A逆时针旋转得到△AB'O'，点O的对应点O'恰好落在⊙O上，则sin∠B'AB的值是 ．
【分析】由旋转得OA＝O′A，则OA＝O′A＝OO′，△OO′A是等边三角形，可得∠O′AO＝60°，根据切线的性质以及旋转的性质得∠OAB＝∠O′AB′＝90°，可得∠B'AB＝60°，根据特殊角的三角函数值即可求解．
【解答】解：由旋转得OA＝O′A，∠OAB＝∠O′AB′，
∴OA＝O′A＝OO′，
∴△OO′A是等边三角形，
∴∠O′AO＝60°，
∵边AB与⊙O相切于点A，
∴∠OAB＝∠O′AB′＝90°，
∴∠B'AB＝60°，
∴sin∠B'AB．
故答案为：．
【点评】此题考查圆的切线的性质、等边三角形的判定和性质，锐角三角函数．
三、解答题（本题共7小题，共55分）
16．（5分）解方程：x2+2x﹣3＝0（公式法）
【分析】先计算判别式的值，然后利用求根公式解方程．
【解答】解：a＝1，b＝2，c＝﹣3，
△＝22﹣4×（﹣3）＝16＞0，
x，
所以x1＝1，x2＝﹣3．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
17．（8分）某校760名学生参加植树活动，要求每人植树的范围是2≤x≤5棵，活动结束后随机抽查了若干名学生每人的植树量，并分为四种类型，A：2棵；B：3棵；C：4棵；D：5棵，将各类的人数绘制成扇形统计图（如图2）和条形统计图（如图1）．回答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）被调查学生每人植树量的众数、中位数分别是多少？
（3）估计该校全体学生在这次植树活动中共植树多少棵？
【分析】（1）由B类型的人数及其所占百分比可得总人数，总人数乘以D类型的对应的百分比即可求出其人数，据此可补全图形；
（2）根据众数和中位数的概念可得答案；
（3）先求出样本的平均数，再乘以总人数即可．
【解答】解：（1）这次调查一共抽查植树的学生人数为8÷40%＝20（人），
D类人数＝20×10%＝2（人），补全统计图如下：
（2）∵植3棵的人数最多，
∴众数是3棵，
把这些数从小到大排列，中位数是第10、11个数的平均数，则中位数是3（棵）．
（3）这组数据的平均数是：（4×2+8×3+4×6+5×2）＝3.3（棵），
3.3×760＝2508（棵）．
答：估计这760名学生共植树2508棵．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
18．（7分）在坐标系中作出函数y＝x+2的图象，根据图象回答下列问题：
（1）方程x+2＝0的解是 x＝﹣2 ；
（2）不等式x+2＞1的解 x＞﹣1 ；
（3）若﹣2≤y≤2，则x的取值范围是 ﹣4≤x≤0 ．
【分析】先画出函数图象，然后根据函数图象可以解答（1）（2）（3）三个小题．
【解答】解：y＝x+2
列表如下：
图象如下图所示：
（1）由图形可得，方程x+2＝0的解是x＝﹣2，
故答案为x＝﹣2；
（2）由图象可得，不等式x+2＞1的解是x＞﹣1，
故答案为x＞﹣1；
（3）若﹣2≤y≤2，则x的取值范围是﹣4≤x≤0，
故答案为﹣4≤x≤0．
【点评】本题考查一次函数的图象、一次函数与一元一次方程，一次函数与一元一次不等式，解题的关键是利用数形结合的思想解答问题．
19．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是BC的中点，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，连接DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若CD＝3cm，DEcm，求⊙O直径的长．
【分析】（1）连接OD，由圆周角定理得出∠ADC＝∠BDC＝90°，由直角三角形的性质得出ED＝EC，进而得出∠EDC＝∠ECD，由OD＝OC，得出∠ODC＝∠OCD，由∠ACB＝90°，得出∠OCD+∠ECD＝90°，进一步得出∠EDC+∠ODC＝90°，即可证明结论；
（2）由直角三角形的性质及勾股定理得出BCcm，BD（cm），再证明△BDC∽△CDA，得出，进而得出⊙O直径的长cm．
【解答】（1）证明：如图1，连接OD，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
∵E是BC的中点，
∴ED＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD，
∵∠ACB＝90°，
∴∠OCD+∠ECD＝90°，
∴∠EDC+∠ODC＝90°，
∵OD为半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：如图2，
∵DE是Rt△BDC斜边上的中线，DEcm，CD＝3cm，
∴BC＝2DEcm，
∴BD（cm），
∵∠A+∠ACD＝∠BCD+∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝∠A，
∵∠BDC＝∠CDA＝90°，
∴△BDC∽△CDA，
∴，即，
∴AC（cm），
∴⊙O直径的长cm．
【点评】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，掌握直角三角形的性质，圆周角定理，切线的判定方法，相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
20．（8分）某中学计划购买A、B两种学习用品奖励学生，已知购买一个A比购买一个B多用20元，若用400元购买A的数量是用160元购买B数量的一半．
（1）求A、B两种学习用品每件各需多少元？
（2）经商谈，商店给该校购买一个A奖品赠送一个B奖品的优惠，如果该校需要B奖品的个数是A奖品个数的2倍还多8个，且该学校购买A、B两种奖品的总费用不超过670元，那么该校最多可购买多少个A奖品？
【分析】（1）设A种学习用品每件x元钱，则B种学习用品每件（x﹣20）元钱，由题意：用400元购买A的数量是用160元购买B数量的一半．列出分式方程，解方程即可；
（2）设该校可购买y个A奖品，则可购买（2y+8﹣y）个B奖品，由题意：商店给该校购买一个A奖品赠送一个B奖品的优惠，且该公司购买A、B两种奖品的总费用不超过670元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设A种学习用品每件x元钱，则B种学习用品每件（x﹣20）元钱，
由题意得：，
解得：x＝25，
经检验，x＝25是原方程的解，且符合题意，
则x﹣20＝5，
答：A种学习用品每件25元钱，则B种学习用品每件5元钱；
（2）设该校可购买y个A奖品，则可购买（2y+8﹣y）个B奖品，
由题意得：25y+5（2y+8﹣y）≤670，
解得：y≤21，
答：该校最多可购买21个A奖品．
【点评】本题主要考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
21．（9分）【探索发现】
如图①，是一张直角三角形纸片，∠B＝90°，小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为 ．
【拓展应用】
如图②，在△ABC中，BC＝a，BC边上的高AD＝h，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为 ．（用含a，h的代数式表示）
【灵活应用】
如图③，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB＝32，BC＝40，AE＝20，CD＝16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（∠B为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积．
【实际应用】
如图④，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB＝50cm，BC＝108cm，CD＝60cm，且tanB＝tanC，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M、N在边BC上且面积最大的矩形PQMN，求该矩形的面积．
【分析】【探索发现】：由中位线知EFBC、EDAB、由可得；
【拓展应用】：由△APN∽△ABC知，可得PN＝aPQ，设PQ＝x，由S矩形PQMN＝PQ•PN（x）2，据此可得；
【灵活应用】：添加如图1辅助线，取BF中点I，FG的中点K，由矩形性质知AE＝EH＝20、CD＝DH＝16，分别证△AEF≌△HED、△CDG≌△HDE得AF＝DH＝16、CG＝HE＝20，从而判断出中位线IK的两端点在线段AB和DE上，利用【探索发现】结论解答即可；
【实际应用】：延长BA、CD交于点E，过点E作EH⊥BC于点H，由tanB＝tanC知EB＝EC、BH＝CH＝54，EHBH＝72，继而求得BE＝CE＝90，可判断中位线PQ的两端点在线段AB、CD上，利用【拓展应用】结论解答可得．
【解答】解：【探索发现】
∵EF、ED为△ABC中位线，
∴ED∥AB，EF∥BC，EFBC，EDAB，
又∠B＝90°，
∴四边形FEDB是矩形，
则，
故答案为：；
【拓展应用】
∵PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，
∴，即，
∴PN＝aPQ，
设PQ＝x，
则S矩形PQMN＝PQ•PN＝x（ax）x2+ax（x）2，
∴当PQ时，S矩形PQMN最大值为，
故答案为：；
【灵活应用】
如图1，延长BA、DE交于点F，延长BC、ED交于点G，延长AE、CD交于点H，取BF中点I，FG的中点K，
由题意知四边形ABCH是矩形，
∵AB＝32，BC＝40，AE＝20，CD＝16，
∴EH＝20、DH＝16，
∴AE＝EH、CD＝DH，
在△AEF和△HED中，
∵，
∴△AEF≌△HED（ASA），
∴AF＝DH＝16，
同理△CDG≌△HDE，
∴CG＝HE＝20，
∴BI24，
∵BI＝24＜32，
∴中位线IK的两端点在线段AB和DE上，
过点K作KL⊥BC于点L，
由【探索发现】知矩形的最大面积为BG•BF（40+20）（32+16）＝720，
答：该矩形的面积为720；
【实际应用】
如图2，延长BA、CD交于点E，过点E作EH⊥BC于点H，
∵tanB＝tanC，
∴∠B＝∠C，
∴EB＝EC，
∵BC＝108cm，且EH⊥BC，
∴BH＝CHBC＝54cm，
∵tanB，
∴EHBH54＝72cm，
在Rt△BHE中，BE90cm，
∵AB＝50cm，
∴AE＝40cm，
∴BE的中点Q在线段AB上，
∵CD＝60cm，
∴ED＝30cm，
∴CE的中点P在线段CD上，
∴中位线PQ的两端点在线段AB、CD上，
由【拓展应用】知，矩形PQMN的最大面积为BC•EH＝1944cm2，
答：该矩形的面积为1944cm2．
【点评】本题主要考查四边形的综合问题，熟练掌握中位线定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质及类比思想的运用是解题的关键．
22．（10分）【实践与探究】九（1）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践一一应用一一探究的过程：
（1）实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得隧道的路面宽为10m，隧道顶部最高处距地面6.25m，并画出了隧道截面图，建立了如图①所示的直角坐标系，则该抛物线的解析式为 y＝﹣0.25（x﹣5）2+6.25 ．
（2）应用：按规定，机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为0.5m．为了确保安全，问该隧道能否让最宽3m、最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶（两车并列行驶时不考虑两车之间的空隙）？
（3）探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，提出了以下两个问题，请予解答：
Ⅰ．如图②，在抛物线内作矩形ABCD，使顶点C、D落在抛物线上，顶点A、B落在x轴上．设矩形ABCD的周长为l，求l的最大值．
Ⅱ．如图③，过原点作一条y＝x的直线OM，交抛物线于点M，交抛物线对称轴于点N，P为直线OM上一动点，过P点作x轴的垂线交抛物线于点Q．问：在直线OM上是否存在点P，使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用顶点式将顶点坐标（5，6.25）代入，求出二次函数解析式即可；
（2）根据已知得出当x＝2时，正好是汽车宽度，代入函数解析式求出即可；
（3）I．首先用未知数表示出矩形周长，再利用二次函数最值公式求出；
Ⅱ•利用等腰直角三角形的性质得出QN＝AB＝AO，以及P在y＝x的图象上，即可得出P点的坐标．
【解答】解：（1）根据坐标系可知此函数顶点坐标为（5，6.25），且图象过（10，0）点，
代入顶点式得：
y＝a（x﹣5）2+6.25，
∴0＝a（10﹣5）2+6.25，
解得：a＝﹣0.25，
∴y＝﹣0.25（x﹣5）2+6.25；
故答案为：y＝﹣0.25（x﹣5）2+6.25．
（2）当最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶时，
∴10﹣3×2＝4，
4÷2＝2，
∴x＝2代入解析式得：
y＝﹣0.25（2﹣5）2+6.25；
y＝4，
4﹣3.5＝0.5，
∴隧道能让最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶；
（3）I．假设AO＝x，可得AB＝10﹣2x，
∴AD＝﹣0.25（x﹣5）2+6.25；
∴矩形ABCD的周长为l为：l＝2[﹣0.25（x﹣5）2+6.25]+2（10﹣2x）＝﹣0.5x2+x+20，
∴l的最大值为：20.5．
Ⅱ如图④，当以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，
∵P在y＝x的图象上，过P点作x轴的垂线交抛物线于点Q．
∴∠POA＝∠OPA＝45°，
∴Q点的纵坐标为5，
∴5，
解得：m＝5±，
如图⑤，当∠P3NQ3＝90°时，过点Q3作Q3K1⊥对称轴，
当△NQ3K1为等腰直角三角形时，△NP3Q3为等腰直角三角形，
Q点在OM的上方时，P3Q3＝2Q3K1，P3Q3x2+﹣x，
Q3K1＝5﹣x，
Q点在OM的下方时，P4Q4＝2Q4K2，P4Q4＝x﹣（x2），
Q4K2＝x﹣5，
∴x2x+10＝0，
解得：x1＝4，x2＝10，
P3（4，4），P4（10，10）．
∴使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，P点的坐标为：（5，5）或（5，5）或（4，4）或（10，10）．
【点评】此题主要考查了顶点式求二次函数解析式以及二次函数最值求法和等腰直角三角形的性质，根据函数图象获取正确点的坐标以及利用y＝x图象上点的性质是解决问题的关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/2/24 15:47:59；用户：姜晓慧；邮箱：orFmNt5WNK_ZXdymVgUjY_OQcr9k@weixin.jyeoo.com；学号：37813618
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