湖北省武汉市江夏区等3地2023-2024学年九年级下学期期中数学试题

这是一份湖北省武汉市江夏区等3地2023-2024学年九年级下学期期中数学试题，共29页。试卷主要包含了考生必须保持答题卡的整洁等内容，欢迎下载使用。

本试卷共8页，三大题，24小题，满分120分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑．
1. 实数的相反数是（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了相反数．熟练掌握相反数是解题的关键．
根据相反数的定义求解即可．
【详解】解：由题意知，的相反数是2，
故选：A．
2. 下列四幅图案代表“清明”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，其中既是中心对称又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形及中心对称图形的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180该试卷源自 每日更新，享更低价下载。度后与原图重合．根据轴对称图形及中心对称图形的定义，即可判断答案．
【详解】A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．
故选D．
3. “打开电视，正在播放新闻”这个事件是（ ）
A. 随机事件B. 确定性事件C. 不可能事件D. 必然事件
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查随机事件，熟记必然事件、随机事件、不可能事件的概念是解题的关键．根据随机事件的概念判定即可．
【详解】解：“打开电视，正在播放新闻”这个事件是随机事件，
故选：A．
4. 如图所示的几何体是由一个圆柱和一个长方体组成的，它的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【详解】解：这个立体图形的俯视图是一个矩形，矩形内部中间是一个圆形．
故选：B．
5. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了单项式除以单项式，幂的乘方，积的乘方，完全平方公式，熟练掌握知识点是解题的关键.
依次从合并同类项，单项式除以单项式，幂的乘方，积的乘方，完全平方公式，逐一化简即可．
【详解】解：A．与不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意；
B．，故本选项不符合题意；
C．，故本选项符合题意；
D．，故本选项不符合题意．
故选：C．
6. 如图1是自行车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中，都与地面l平行，，，要使与平行，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质．熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
由题意知，，则，由，可得，根据，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
7. 中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】用列表法或画树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的可能结果，再利用概率公式求出即可．
【详解】解：记《论语》《孟子》《大学》《中庸》分别为A，B，C，D，画树状图如下：

一共有12种等可能的结果，其中抽取的两本恰好是《论语》（即A）和《大学》（即C）的可能结果有2种可能，
∴P（抽取的两本恰好是《论语》和《大学》），
故选：B．
【点睛】本题考查列表法和画树状图法求等可能事件的概率，掌握列表法和画树状图法求等可能事件概率的方法是解题的关键．
8. 在综合实践活动中，小华同学了解到裤子的尺寸（英寸）与腰围的长度（cm）对应关系如下表：
小华的腰围是79，那么他所穿裤子的尺码是（ ）
A. 28英寸B. 29英寸C. 30英寸D. 31英寸
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的应用是解题的关键；依题意可设腰围的长度为y与裤子的尺寸x之间存在一种换算关系为，然后代入进行求解即可．
【详解】解：由题意可设腰围的长度为y与裤子的尺寸x之间存在一种换算关系为，
∴，
解得：，
∴，
∴当腰围为，即时，则有，
∴；
故选C．
9. 如图，是半圆O的直径，，是半圆O的切线，切点分别是B，D，连接，．若四边形的面积是面积的3倍，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接，交于点，过点作于，过点作于，设，的半径为，证是的垂直平分线，再证，从而得，，证，，在 中，在 中，由此可得，然后证是的中位线得，则，根据三角形的面积公式可求出，由此可求出，进而可得的值．
【详解】解：连接，交于点，过点作于，过点作于，如下图所示：
设，半圆的半径为，
是半圆的直径，，是半圆的切线，
∴，，，
点在的垂直平分线上，
，
点在的垂直平分线上，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
四边形的面积是面积的3倍，
四边形的面积是面积的3倍，
，
即，
，则，
，，
，
，
，
，
，
即，
在 中，，
在中，，
，
，即，
，是的垂直平分线，
是的中位线，
，
，，
，
由勾股定理得：，
，
即，
，
．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，解直角三角形的应用，锐角三角函数，熟练掌握圆周角定理，灵活运用锐角三角函数进行计算是解决问题的关键．
10. 哥尼斯堡七桥问题是一条河上有两个小岛，有七座桥把两个岛与河岸连接起来，那么一个步行者怎样才能不重复、不遗漏地一次走完这七座桥，最后回到出发点？图1是欧拉解决该问题所画的示意图，其中A，B，C，D四个点代表陆地，连接这些点的边就是桥．欧拉将七桥问题转化成一笔画问题，即要求不遗漏地依次走完每一条边，允许重复走过某些结点，可以不回到出发点，但不允许重复走过任何一条边，在图2中，根据以上一笔画问题的规则，不同走法的总数是（ ）
A. 6种B. 8种C. 10种D. 12种
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了列举法，以及对题干规则的理解，根据题意记图2中各顶点为E、F、G、H，分别以E、F、G、H为起点分4种情况讨论，再分别列出其走法，即可解题．
【详解】解：记图2中各顶点为E、F、G、H，
①以E为起点，无法一笔画完；
②以G为起点，无法一笔画完；
③以F为起点，则可按以下顺序一笔画完，
，
，
，
，
，
，
共有6种不同的走法；
④以H为起点，则可按以下顺序一笔画完，
，
，
，
，
，
，
共有6种不同的走法；
综上所述，不同走法的总数是12种．
故选：D．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卡指定的位置．
11. 从国家统计局武汉调查队获悉，武汉市2023年地区生产总值（）迈上新台阶，全市的总额累计约为20000亿元．将数字20000用科学记数法表为________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法．，运用科学记数法进行解答，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
【详解】解：将数字20000用科学记数法表为，
故答案为：．
12. 写出一个图象位于第二、第四象限的反比例函数的解析式________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据反比例函数在二、四象限的特征得出k＜0即可．
【详解】解：位于二、四象限的反比例函数比例系数k＜0，据此写出一个函数解析式即可，如（答案不唯一）．
【点睛】本题考查反比例函数的特征，掌握反比例函数的特征，反比例函数在一三象限，k＞0，反比例函数在二四象限，k＜0．
13. 化简的结果是________．
【答案】##
【解析】
【分析】此题考查了分式的加减法，熟练掌握分式加法运算法则是解本题的关键．
原式变形后，利用同分母分式减法法则计算即可得到结果．
【详解】解：．
故答案为：．
14. 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东方向，距离灯塔80海里的A处．海轮沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东方向上的B处，此时海轮所在的B处与灯塔P的距离是________海里．（结果精确到0.1海里．参考数据：，，）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用；由直角三角形的特征得，由正弦函数得，即可求解；掌握解直角三角形的解法，能从已知条件中找出相关的线段及角度是解题的关键．
【详解】解：由题意得
，，，
，
，，
，
解得：，
海轮所在的B处与灯塔P的距离是海里；
故答案：．
15. 已知抛物线，，是常数且的对称轴是直线，与于交于，且．下列四个结论：
①；
②；
③对于任意实数，都有，
④抛物线上存在两点，和，，若，，则．
其中正确的有________．（填序号）
【答案】①④
【解析】
【分析】由抛物线的对称性求得与轴的交点，根据开口方向、对称轴以及与轴的交点即可判断①；根据时和时，求得，进一步求得可判断②；由抛物线开口向下，抛物线在顶点处去的最大值，再由抛物线的性质对于任意都有恒成立，即可判断③；根据二次函数的性质即可判断④．本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：由题意，抛物线的对称轴是直线，
，
抛物线过，
抛物线与轴的另一个交点为，
，
，
开口向下，
抛物线交轴的正半轴，
，
；故①正确；
时，，时，，
，
，
，
；故②错误；
抛物线的对称轴，且，抛物线开口向下，
抛物线的最大值为，
对任意，，
即，
，
，
∵
∴，故③错误；
抛物线上存在两点，和，，且，，
点，到对称轴的距离大于点，到对称轴的距离，
．故④正确．
故答案为：①④．
16. 如图，点D是内部一点，平分，，．若，，用含m，n式子表示的长是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，过点作，交分别为，证明得出，证明得出，根据，则，等量代换得出，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作，交分别为，
∵平分，
∴,
∵，
∴，
又即
∴，
设
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，则
∵
∴
∴，即
∴
即
∵，则
∴
∴
∴
故答案为：．
三、解答题（共8小题，共72分）
下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形．
17. 求满足不等式组的整数解．
【答案】，0，1
【解析】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，然后判断即可．
【详解】解：
解不等式①得：；
解不等式②得：；
不等式组的解集为：；
为整数，
值为，0，1．
18. 如图，在中，点E是的中点，连接并延长交直线于点F．
（1）求证：；
（2）连接，，请添加一个条件，使得四边形是矩形．（不需要写理由）
【答案】（1）见解析 （2）（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了进行判定，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握矩形 的判定定理，全等三角形的判定和性质度量是解题的关键．
（1）由点E是的中点，得到，根据平行四边形的性质得到，根据平行线的性质得到，根据全等三角形的判定定理得到结论；
（2）根据全等三角形的性质和矩形的判定定理即可得到结论．
【小问1详解】
证明： 四边形是平行四边形，
，
，
是中点，
，
，
；
【小问2详解】
解：添加，
理由如下：
连接，如图所示：
∵，
∴
∵
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形．
19. 某学校为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了m名学生在某个休息日做家务的劳动时间作为样本，并绘制了以下不完整的统计图表．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）________，________；
（2）扇形图中B组所对的扇形的圆心角度数为________；
（3）若该校学生有1600人，试估计劳动时间在范围的学生有多少人？
【答案】（1）80，36
（2）
（3）1200人
【解析】
【分析】（1）利用组的人数除以它所占的百分比得出的值，然后再用分别减去、、组的人数，即可得出的值；
（2）利用乘以组所占的百分比，计算即可得出答案；
（3）利用乘以、组所占的百分比的和，计算即可得出答案．
【小问1详解】
解：，
；
故答案为：；
【小问2详解】
；
【小问3详解】
劳动时间在范围的学生有：（人）．
【点睛】本题考查了频数分布表、频数分布直方图、扇形统计图、求扇形的圆心角、用样本估计总体，解本题的关键在充分利用数形结合思想解答．
20. 如图，是的直径，点是的中点，连接，，，．
（1）证明：；
（2）若，，求长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【解析】
【分析】（）先连接，根据同弧所对的圆心角相等，证明，再根据圆周角定理证明，最后利用平行线的判定定理即可求证；
（）连接交于点，先根据等腰三角形三线合一证明，然后根据中位线定理可得，最后设，分别在和中，利用勾股定理，列出关于的方程，求出，即可求解；
本题考查了同弧所对的圆心角相等，圆周角定理、平行线的判定，等腰三角形的性质，勾股定理、三角形中位线定理，正确作出辅助线是解题的关键．
【小问1详解】
证明：如图，连接，
由圆周角定理可得，．
点是是中点，
，
，
即，
，
；
【小问2详解】
解：连接交于，
，，
于，
，，
，
∴为的中位线，
，
，
设，则，
在中，，在中，，
，
解得，
．
21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，图中A，B，C都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．
（1）如图1，先在上找一点D，使得；连接，再画中点E；
（2）如图2，先在上画一点F，使得；再在上画一点G，使得．
【答案】（1）作图见解析
（2）作图见解析
【解析】
【分析】（1）由得，为的四等分点，根据平行线截线段成比例，即可找到点，分别找到、中点，两中点连线与交点，即为点，
（2）点向左两个格点，向下一个格点，与相连，与的交点，即为点，点向下4个格点，与相连，点向下2个格点，与相连，连接点与交点并延长，与交点，即为点，
此题考查了复杂作图，涉及了等腰直角三角形的性质，三角函数，解题的关键是灵活利用相关性质进行求解．
【小问1详解】
解：如图：
【小问2详解】
解：如图：
22. 有一座横截面由矩形和抛物线构成的拱桥，抛物线上方是路面，抛物线下方是水面，如图所示，并建立平面直角坐标系，已如水面宽是；当水面上升时，水面宽减少了 ．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）一艘横截面为矩形的货船，最宽处为 ，露出水面的高度为 ，该货船能否正常通过这座拱桥？请说明理由；
（3）现需要在拱桥的抛物线上点B处安装一个矩形灯带来美化桥面，点C在抛物线上且与水面平行，D，E在路面上，路面到水面的垂直距离为10米．为了美观，点B距离水面不能低于，求矩形灯带的周长l范围．
【答案】（1）
（2）该轮船能正常通过这座拱桥，理由见详解
（3）
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象及性质实际应用问题，一次函数，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
（1）设抛物线的解析式为，当水面上升时，水面宽减少了，则抛物线经过，又因为抛物线经过，，利用待定系数法求得该抛物线的解析式．
（2）因为抛物线拱桥的对称轴为，船露出水面的高度为，故当水面与拱桥的距离不低于3.5米时，船能安全通过．当时，，求得的值，船的最宽处为，且，则该轮船能正常通过这座拱桥．
（3）将代入中，得：， 求出点的坐标为，点的坐标为，则的长为 米，的长为米，则矩形的周长（米），故此时矩形 的周长小于13米，再求出抛物线的顶点坐标为，则线段的长为，故矩形的周长大于4米，所以矩形灯带周长的范围为：．
【小问1详解】
解：由图象可知抛物线经过原点，
故设抛物线的解析式为，
是，即点的坐标为将代入 中，
得：，，
得到，
抛物线的解析式为．
水面上升，即纵坐标为，
此时水面宽减少了，
由于抛物线是轴对称图形，
所以水面宽减少了，
意味着对称轴的左右两侧各减少了，即点处的水面向右移动了 ，
所以抛物线经过点，
将 代入 中，
得：，
解得，．
所以该抛物线的解析式为；
【小问2详解】
能．货船露出水面的高度为，
即，
将 代入 中，
得，
，
，
，
解得，，
所以当时，
拱桥宽度，
，
所以货船能正常通过拱桥；
【小问3详解】
当点距水面时，
如图，作直线，与抛物线交于、 两点．
将代入中，
得：，，，
，
解得，，
即点的坐标为，
点的坐标为，
此时的长为 米，
的长为米，
则矩形的周长（米．
点距水面高于时：此时点位于抛物线上部分，显然这时的矩形要比点距水面时的矩形小，故此时矩形 的周长小于13米．
当点位于抛物线顶点位置时：此时不存在矩形，仅有线段，由和可知 的对称轴为直线，
将代入，得，
所以抛物线的顶点坐标为，
因此当在抛物线的顶点处时，线段的长为，故矩形的周长大于4米，
综上，矩形灯带的周长的范围为：．
23. 探索发现 如图1，在正方形中，点E在上，连接，将沿着直线翻折得到，延长，分别交，于H，G．
（1）证明：；
（2）若点G是中点，求值，
迁移拓展 如图2，在菱形中，，点E在上，连接，将沿着直线翻折得到，交于H，延长，交于点G．若，直接写出的值及长．
【答案】（1）证明见解析（2）；迁移拓展：
【解析】
【分析】（1）连接，根据正方形的性质，得到角度以及边长相等，可推出来两个直角三角形全等，即可得到结果；
（2）根据三角形相似得到对应边长成比例，设出边长，可得到比值；
迁移拓展：连接，过点作于点，根据菱形的性质以及角度之间的关系，可得到两个等腰三角形，即，根据勾股定理得到的长，可求得的值，然后证明两个三角形相似，可得到的长，即可求得结果．
详解】（1）证明：连接，如图所示：
，
由折叠可知，，
∴,，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
在中，
，
∴，
∴；
（2）由（1）可得，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
则，
∵在中，，
∴，
∴，即，
∴；
迁移拓展：连接，过点作于点，如图所示：
，
∵四边形是菱形，，，
∴，
∵将沿着直线翻折得到，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
设，
∴，，
在中，，
可得：，
解得：，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得：，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了折叠问题、矩形的性质以及菱形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、用勾股定理解三角形，求一个角的余弦值，熟练掌握知识点是解题的关键．
24. 如图，抛物线与轴交于点（点在点左边），，其顶点为．将抛物线绕原点旋转得到抛物线，其顶点为．

（1）直接写出的值，点坐标，点坐标及抛物线的解析式；
（2）点是轴上一点，点是平面内一点，若以为顶点的四边形是以为边的矩形，求点坐标；
（3）如图，抛物线与轴交于，与轴交于点，点在第一象限的抛物线图象上，，交对称轴于，，分别交对称轴于，求值．
【答案】（1）；；；；
（2），；
（3）．
【解析】
【分析】（）根据及的对称轴求出点的坐标，再用待定系数法即可求解；
（）分点在轴正半轴和点在轴负半轴两种情况，利用矩形的性质和相似三角形的性质即可求解；
（）分别设出直线、直线、直线、直线的解析式，与二次函数解析式联立成方程组，根据一元二次方程根和系数的关系分别求出的纵坐标即可求解．
【小问1详解】
解：设点在轴上对应的数为，
则有，
∴，
∴，，
把代入得，，
∴，
∴抛物线的解析式为，
∴，
∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵将抛物线绕原点旋转得到抛物线，其顶点为，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线的解析式为，
即抛物线解析式为；
【小问2详解】
解：如图，

当点在轴正半轴时，过作轴于，则，，
四边形是矩形，
，
，
，
∴，
，
，
，，
由点的平移可知，；
当点在轴负半轴时，同理可得，，
故点坐标为，；
【小问3详解】
解：由题意可得，，，
设直线解析式为，
联立函数得，，
整理得，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
同理，设直线解析式为，可得，，
设直线解析式为，
联立函数式得，
整理得，，
则，可得，，
同理，设直线解析式为，可得，，
故，，从而，
又，，
．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，中心对称图形的性质，二次函数与一次函数的交点问题，一元二次方程根和系数的关系，相似三角形的判定和性质，平移的性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．尺码/英寸
…
22
23
24
25
26
…
腰围/
…
…
劳动时间t（单位：小时）
频数
12
a
24
8