2024年陕西省西安市雁塔区高新一中九年级中考五模数学试卷

这是一份2024年陕西省西安市雁塔区高新一中九年级中考五模数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）七年级（1）班期末考试数学的平均成绩是83分，小亮得了90分，记作+7分，小英的成绩记作﹣3分，表示得了（ ）分．
A．86B．83C．87D．80
2．（3分）我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种卯构件的示意图，其俯视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（3分）如图，AE∥CD，AC平分∠BCD，∠2＝35°，∠D＝60°，则∠B＝（ ）
A．52°B．50°C．45°D．25°该试卷源自 每日更新，享更低价下载。4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2x4÷x3＝2xB．（x3）4＝x7C．x4+x3＝x7D．x3•x4＝x12
5．（3分）在同一平面直角坐标系中，直线y＝3x向上平移m（m＞0）个单位后，与直线y＝x+4的交点可能是（ ）
A．（1，﹣3）B．（2，6）C．（1，5）D．（0，3）
6．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，P、M、N分别是AB、AC、BD的中点，若BC＝8．则△PMN的周长是（ ）
A．10B．12C．16D．18
7．（3分）不倒翁是一种受人喜爱的儿童玩具，小华在手工课上用一球形物体做了一个戴帽子的不倒翁（如图1），图2是从正面看到的该不倒翁的形状示意图（设圆心为O）．已知帽子的边缘PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，若该圆半径是3cm，tanP＝，则的长是（ ）
A．6πcmB．4πcmC．3πcmD．2πcm
8．（3分）已知抛物线y＝ax2﹣5ax+4a（a≠0）不经过第三象限，与x轴交于A，B两点，其顶点C．这条抛物线关于x轴对称的抛物线顶点为C′，若四边形ACBC'是正方形，则a的值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（3分）已知A，B，C是数轴上的三个点，且C在B的左侧．点A，B表示的数分别是1，3，如图所示．若BC＝2AB，则点C表示的数是 ．
10．（3分）如图，ABCDEF为正六边形，ABGH为正方形，则图中∠BCG的度数为 ．
11．（3分）小方在学习菱形时，发现可以利用菱形纸片拼出著名的“赵爽弦图”：
把如图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，这四个直角三角形可以拼出如图2所示的面积为7的正方形ABCD，和如图3所示的边长为1的正方形EFGH，则图1中菱形的边长为 ．
12．（3分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（﹣2，y3）都在同一个反比例函数的图象上．若x1＜﹣2＜x2，y2＜y1＜y3，请写出一个符合条件的反比例函数表达式 ．
13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝2AC，D为BC边上的一个动点，连接AD，过点D作DE⊥AD，交边AB于点E．若AC＝2，则线段BE的最大值为 ．
三、解答题（共13小题，计81分）
14．（5分）解不等式：．
15．（5分）计算：．
16．（5分）解方程：．
17．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°．请用尺规作图法在AC边上求作一点D，使得△BDC∽△ABC．（保留作图痕迹，不写作法）
18．（5分）已知：如图，菱形ABCD中，点E，F分别在AB，AD边上，AE＝AF，连接CE，CF．求证：∠AEC＝∠AFC．
19．（5分）有甲、乙两个不透明袋子，甲袋装有三个小球，分别标有数字1，2，4，乙袋装有两个小球，分别标有数字2，3，这些小球除数字不同外其余都相同．
（1）从甲袋任意摸出一个小球，求“恰好摸到数字为1的小球”的概率；
（2）现制定游戏规则如下：游戏者先选定一个袋子摸出一个小球，再从另一个袋子摸出一个小球，若第一个袋子摸出小球的数字小于第二个袋子摸出小球的数字，则该游戏者可获得一份奖品．为了使获奖的可能性更大，游戏者应先选定从哪个袋子摸球？说明你的理由．
20．（5分）我国古典数学文献《增删算法统宗•六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当，二人闲坐恼心肠，画地算了半晌．”其大意为：甲，乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊．如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同．请问甲，乙各有多少只羊？（列二元一次方程组解答）
21．（6分）某学习小组在学习了锐角三角函数之后，想要利用课余时间测量公园人工湖岸边一棵树的高度，制定了如下的测量方案．
请根据以上测量数据，带助该学习小组求这棵树CF的高度．（结果精确到1m．参考数据：＝1.73，≈1.41）
22．（7分）国庆节期间，小明和家人乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用一辆新能源汽车自驾出游，两家公司的租赁信息如下：
甲公司：按日收取固定租金84元，另外再按每小时租费20元计费（不足一小时按一小时计费）
乙公司：无固定租金，三小时以内每小时的租费40元，超过三小时，超过部分以每小时的租费32元计费（不足一小时按一小时计费）．
根据以上信息，解决下列问题：
（1）设租车时间为x小时（3≤x≤24），租用甲公司的车所需费用为y1元，租用乙公司的车所需费用为y2元，分别求出y1，y2关于x的函数关系式；
（2）请你帮助小明通过计算说明选择哪家租车公司出游比较合算．
23．（7分）在中国上下五千年的历史长河中，涌现出一批批中华名人，各自创下了不朽的丰功伟绩，极大地推动了中华文明乃至整个人类文明的发展．为了解中华历史名人，增强民族自豪感和爱国热情，某校团委组织了一次“中华名人知多少”竞赛，随机抽取40名学生进行了相关知识竞答，他们的测试成绩（满分100分）如下：
65，81，74，87，76，80，89，94，88，66，72，90，96，83，99，78，98，79，89，87，75，66，85，97，88，86，89，68，88，84，86，92，77，84，95，78，82，93，96，85．
按“组距为10”制作了如下不完整的频数分布表（每组数据含最小值不含最大值）和频数分布直方图：
40名学生知识竞答测试成绩频数分布表
根据上述数据，解答下列问题：
（1）将频数分布表中空缺部分补充完整，并补全频数分布直方图．
（2）这40名学生测试成绩的中位数落在 组内；若绘制扇形统计图，则“70～80分”这组对应扇形的圆心角的度数是 ．
（3）该校将知识竞答测试成绩为“80～90分”记为良好，请你估计全校1000名学生中对“中华名人知多少”了解情况达到良好等级的人数．
24．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE是△ABC外接圆的切线，D在圆上，延长CB交DE于点F，且CF⊥DE，连接AD．
（1）求证：；
（2）若△ABC外接圆的半径为5，tan∠CAD＝2，求BF的长．
25．（8分）某校课外科技活动兴趣小组研制了一种航模飞机，这种航模飞机飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分．活动小组在水平安全线上设置一个高度可以变化的发射平台，当发射平台的高度变化时，飞机飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到．如图所示，以水平安全线上发射平台所在位置A为坐标原点，以水平安全线为x轴，建立平面直角坐标系．
通过实验，在A处发射飞机，收集到飞机相对于出发点的飞行水平距离x（单位：m）与飞行高度y（单位：m）的部分对应数值如表．
根据上面的信息，解决下列问题：
（1）当活动小组在A处发射飞机时，求飞机落到水平安全线时飞行水平距离；
（2）在水平安全线上设置回收区域MN，AM＝125m，MN＝5m，若飞机能落到回收区域MN内（不包括端点M，N），求发射平台相对于安全线的高度的变化范围．
26．（10分）（1）如图1，点O是等边△ABC的内心，∠DOE的两边分别交AB、BC于点D、E，且∠DOE＝120°，若等边△ABC的边长为6，求四边形ODBE周长的最小值．
为培养学生劳动实践能力，某学校计划在校东南角开辟出一块平行四边形劳动实践基地．如图2所示，劳动实践基地为▱ABCD，点O为其对称中心，且OB＝20m，点E、F分别在边AB、BC上，四边形EBFO为学校划分给九年级的实践活动区域，九年级学生打算在四边形EBFO区域种植两种不同的果蔬，即在△BEF、△EFO种植不同的果蔬．在点O处安装喷灌装置，且喷灌张角为60°，即∠EOF＝60°，并修建OE、EF、OF三条小路．现要求规划的三条小路OE、EF、FO总长最小的同时，果蔬种植区域四边形EBFO的面积最大．求满足规划要求的三条小路OE、EF、FO总长的最小值，并计算同时满足四边形EBFO面积最大时学校应开辟的劳动实践基地▱ABCD的面积．
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每个小题只有一个选项是正确的）
1．（3分）七年级（1）班期末考试数学的平均成绩是83分，小亮得了90分，记作+7分，小英的成绩记作﹣3分，表示得了（ ）分．
A．86B．83C．87D．80
【解答】解：平均成绩是83分，小亮得了90分，记作+7分，小英的成绩记作﹣3分，表示得了83﹣3＝80分，
故选：D．
2．（3分）我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种卯构件的示意图，其俯视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：卯的俯视图如图所示：
故选：C．
3．（3分）如图，AE∥CD，AC平分∠BCD，∠2＝35°，∠D＝60°，则∠B＝（ ）
A．52°B．50°C．45°D．25°
【解答】解：∵AE∥CD，∠2＝35°，
∴∠1＝∠2＝35°，
∵AC平分∠BCD，
∴∠BCD＝2∠1＝70°，
∵∠D＝60°，
∴∠B＝180°﹣∠D﹣∠BCD＝180°﹣60°﹣70°＝50°，
故选：B．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2x4÷x3＝2xB．（x3）4＝x7C．x4+x3＝x7D．x3•x4＝x12
【解答】解：A．2x4÷x3＝2x，故此选项符合题意；
B．（x3）4＝x12，故此选项不合题意；
C．x4+x3，无法合并，故此选项不合题意；
D．x3•x4＝x7，故此选项不合题意．
故选：A．
5．（3分）在同一平面直角坐标系中，直线y＝3x向上平移m（m＞0）个单位后，与直线y＝x+4的交点可能是（ ）
A．（1，﹣3）B．（2，6）C．（1，5）D．（0，3）
【解答】解：直线y＝3x向上平移m（m＞0）个单位后，得到y＝3x+m，
把x＝1代入y＝x+4得，y＝5，
∴交点不可能是（1，﹣3），故A不合题意；
把x＝2代入y＝x+4得，y＝6，
把（2，6）代入y＝3x+m，求得m＝0，故B不合题意；
把x＝1代入y＝x+4得，y＝5，
把（1，5）代入y＝3x+m，求得m＝2，故C符合题意；
把x＝0代入y＝x+4得，y＝4，
∴交点不可能是（0，3），故D不合题意；
故选：C．
6．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，P、M、N分别是AB、AC、BD的中点，若BC＝8．则△PMN的周长是（ ）
A．10B．12C．16D．18
【解答】解：∵P、N是AB和BD的中点，AD＝BC，BC＝8，
∴PN＝AD＝×8＝4，PN∥AD，
∴∠NPB＝∠DAB＝50°，
同理，PM＝4，∠MPA＝∠CBA＝70°，
∴PM＝PN＝4，∠MPN＝180°﹣50°﹣70°＝60°，
∴△PMN是等边三角形．
∴MN＝PM＝PN＝4，
∴△PMN的周长是12．
故选：B．
7．（3分）不倒翁是一种受人喜爱的儿童玩具，小华在手工课上用一球形物体做了一个戴帽子的不倒翁（如图1），图2是从正面看到的该不倒翁的形状示意图（设圆心为O）．已知帽子的边缘PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，若该圆半径是3cm，tanP＝，则的长是（ ）
A．6πcmB．4πcmC．3πcmD．2πcm
【解答】解：∵帽子的边缘PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∵tanP＝，
∴∠P＝60°，
∴∠AOB＝360°﹣∠P﹣∠PAO﹣∠PBO＝120°，
∴所对的圆心角度数＝360°﹣120°＝240°，
∴的长＝＝4π（cm），
故选：B．
8．（3分）已知抛物线y＝ax2﹣5ax+4a（a≠0）不经过第三象限，与x轴交于A，B两点，其顶点C．这条抛物线关于x轴对称的抛物线顶点为C′，若四边形ACBC'是正方形，则a的值为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：由题意，∵抛物线y＝ax2﹣5ax+4a（a≠0）不经过第三象限，
又抛物线y＝ax2﹣5ax+4a＝a（x﹣1）（x﹣4），
∴a＞0，且A、B两点分别为（1，0），（4，0）．
∴抛物线的对称轴是直线x＝＝2.5．
∵四边形ACBC'是正方形，
∴AB与CC'相等且互相平分．
∵AB＝4﹣1＝3，
∴CC'＝3．
∴C（2.5，﹣1.5）．
将C的坐标代入y＝a（x﹣1）（x﹣4），
∴a×1.5×（﹣1.5）＝﹣1.5．
∴a＝．
故选：B．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（3分）已知A，B，C是数轴上的三个点，且C在B的左侧．点A，B表示的数分别是1，3，如图所示．若BC＝2AB，则点C表示的数是 ﹣1 ．
【解答】解：∵点A，B表示的数分别是1，3，
∴AB＝3﹣1＝2，
∵BC＝2AB＝4，
∴OC＝BC﹣OB＝4﹣3＝1，
∵C在B的左侧，
∴点C表示的数是﹣1．
故答案为：﹣1．
10．（3分）如图，ABCDEF为正六边形，ABGH为正方形，则图中∠BCG的度数为 15° ．
【解答】解：∵ABCDEF为正六边形，ABGH为正方形，
∴AB＝BC＝BG，
∴∠BCG＝∠BGC，
∵正六边形ABCDEF的每一个内角是4×180°÷6＝120°，
正方形ABGH的每个内角是90°，
∴∠CBG＝360°﹣120°﹣90°＝150°，
∴∠BCG+∠BGC＝180°﹣150°＝30°，
∴∠BCG＝15°．
故答案为：15°．
11．（3分）小方在学习菱形时，发现可以利用菱形纸片拼出著名的“赵爽弦图”：
把如图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，这四个直角三角形可以拼出如图2所示的面积为7的正方形ABCD，和如图3所示的边长为1的正方形EFGH，则图1中菱形的边长为 2 ．
【解答】解：设菱形中的直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，
则：，
化简得：ab＝，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝7﹣3＝4，
∴菱形的边长＝＝2，
故答案为：2．
12．（3分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（﹣2，y3）都在同一个反比例函数的图象上．若x1＜﹣2＜x2，y2＜y1＜y3，请写出一个符合条件的反比例函数表达式 y＝﹣（答案不唯一） ．
【解答】解：设反比例函数的解析式为y＝（k≠0），
∵点A（x1，y1），B（x2，y2），C（﹣2，y3）都在反比例函数的图象上，x1＜﹣2＜x2，y2＜y1＜y3，
∴当x＜0时，y随x的增大而增大，
∴k＜0，
∴符合条件的函数关系式可以是y＝﹣，
故答案为：y＝﹣（答案不唯一）．
13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝2AC，D为BC边上的一个动点，连接AD，过点D作DE⊥AD，交边AB于点E．若AC＝2，则线段BE的最大值为 ．
【解答】解：∵DE⊥AD，
∴∠ADE＝90°，
∴点D在以AE为直径的圆上，设圆心为O，
∴OD＝AE，
∴BE＝AB﹣AE＝4﹣AE，
当OD最小时，AE最小，此时BE最大
当⊙D与BC相切时，OD⊥BC，此时OD最小，
设OA＝OD＝0E＝r，则OB＝4﹣r，
在Rt△ABC中，
AC＝2，AB＝2AC＝4，
，
∵∠B＝∠B，∠BDO＝∠BAC＝90°，
∴△BOD～△BCA，
，
∴，
，
AE＝2r＝，
.BE＝AB﹣AE＝，
∴BE的最大值为．
故答案为：.
三、解答题（共13小题，计81分）
14．（5分）解不等式：．
【解答】解：去分母，得5x+4≥3x﹣6，
移项、合并同类项，得2x≥﹣10，
系数化为1，得x≥﹣5．
15．（5分）计算：．
【解答】解：
＝4×﹣（﹣1）+8
＝2﹣+1+8
＝9+1．
16．（5分）解方程：．
【解答】解：原方程两边都乘x（x+2），去分母得（x﹣2）（x+2）+3x＝x（x+2），
去括号得：x2﹣4+3x＝x2+2x，
移项，合并同类项得：x＝4，
检验：当x＝4时，x（x+2）≠0，
故原方程的解为x＝4．
17．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°．请用尺规作图法在AC边上求作一点D，使得△BDC∽△ABC．（保留作图痕迹，不写作法）
【解答】解：如图，点D即为所求．
18．（5分）已知：如图，菱形ABCD中，点E，F分别在AB，AD边上，AE＝AF，连接CE，CF．求证：∠AEC＝∠AFC．
【解答】证明：连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAC＝∠DAC，
∵AC＝AC，AE＝AF，
∴△AEC≌△AFC（SAS）
∴∠AEC＝∠AFC．
19．（5分）有甲、乙两个不透明袋子，甲袋装有三个小球，分别标有数字1，2，4，乙袋装有两个小球，分别标有数字2，3，这些小球除数字不同外其余都相同．
（1）从甲袋任意摸出一个小球，求“恰好摸到数字为1的小球”的概率；
（2）现制定游戏规则如下：游戏者先选定一个袋子摸出一个小球，再从另一个袋子摸出一个小球，若第一个袋子摸出小球的数字小于第二个袋子摸出小球的数字，则该游戏者可获得一份奖品．为了使获奖的可能性更大，游戏者应先选定从哪个袋子摸球？说明你的理由．
【解答】解：（1）甲袋装共有三个小球，分别标有数字1，2，4，随机摸出1球，摸到每个球的可能性是均等的，
所以恰好摸到数字为1的小球的概率为；
（2）若先从甲袋摸出1球，再从乙袋摸出1球，等可能出现的结果为（1，2），（1，3），（2，2），（2，3），（4，2），（4，3）共6种情况，
其中第一个袋子摸出小球的数字小于第二个袋子摸出小球的数字的有3种，
所以获奖的可能性为＝；
若先从乙袋摸出1球，再从甲袋摸出1球，等可能出现的结果为（2，1），（2，2），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4）共6种情况，
其中第一个袋子摸出小球的数字小于第二个袋子摸出小球的数字的有2种，
所以获奖的可能性为＝；
由于＞，
所以先从甲袋摸出1球，再从乙袋摸出1球，获奖的可能性大．
20．（5分）我国古典数学文献《增删算法统宗•六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当，二人闲坐恼心肠，画地算了半晌．”其大意为：甲，乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊．如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同．请问甲，乙各有多少只羊？（列二元一次方程组解答）
【解答】解：设甲有x只羊，乙有y只羊，
根据题意得：，
解得：．
答：甲有63只羊，乙有45只羊．
21．（6分）某学习小组在学习了锐角三角函数之后，想要利用课余时间测量公园人工湖岸边一棵树的高度，制定了如下的测量方案．
请根据以上测量数据，带助该学习小组求这棵树CF的高度．（结果精确到1m．参考数据：＝1.73，≈1.41）
【解答】解：过点A作AG⊥CD于G，
由题意得：CF＝DF，AB＝FG＝1.6m，
设AG＝x m，
在Rt△ACG中，∠CAG＝30°，
∴，
在Rt△ADG中，∠DAG＝45°，
∴DG＝AG⋅tan45°＝x（m），
∵CF＝DF，
∴CG+FG＝DG﹣FG，
∴，
解得：，
∴CF＝DF＝DG﹣FG＝x﹣1.6＝4.8+1.6﹣1.6＝3.2+1.6≈6（m），
答：这棵树CF的高度约为6m．
22．（7分）国庆节期间，小明和家人乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用一辆新能源汽车自驾出游，两家公司的租赁信息如下：
甲公司：按日收取固定租金84元，另外再按每小时租费20元计费（不足一小时按一小时计费）
乙公司：无固定租金，三小时以内每小时的租费40元，超过三小时，超过部分以每小时的租费32元计费（不足一小时按一小时计费）．
根据以上信息，解决下列问题：
（1）设租车时间为x小时（3≤x≤24），租用甲公司的车所需费用为y1元，租用乙公司的车所需费用为y2元，分别求出y1，y2关于x的函数关系式；
（2）请你帮助小明通过计算说明选择哪家租车公司出游比较合算．
【解答】解：（1）根据题意，y1＝84+20x，
当3≤x≤24时，y2＝40×3+32（x﹣3）＝32x+24，
∴y1＝84+20x，y2＝32x+24（3≤x≤24）；
（2）0＜x≤1时，32+24＝54＞40，选择乙公司比较合算，
1＜x≤2时，32×2+24＝88＞40×2，选择乙公司比较合算，
2＜x＜3时，32×3+24＝88＞40×3，选择乙公司比较合算；
当y1＝y2时，20x+84＝32x+24，
解得x＝5，
此时选择甲乙公司一样合算；
当y1＞y2时，20x+84＞32x+24且x≥3，
解得3≤x＜5，
此时选择乙公司合算；
当y1＜y2时，20x+84＜32x+24，
解得x＞5，
此时选择甲公司合算；
∴当租车时间为5小时，选择甲乙公司一样合算；当租车时间小于5小时，选择乙公司合算；当租车时间大于5小时，选择甲公司合算．
23．（7分）在中国上下五千年的历史长河中，涌现出一批批中华名人，各自创下了不朽的丰功伟绩，极大地推动了中华文明乃至整个人类文明的发展．为了解中华历史名人，增强民族自豪感和爱国热情，某校团委组织了一次“中华名人知多少”竞赛，随机抽取40名学生进行了相关知识竞答，他们的测试成绩（满分100分）如下：
65，81，74，87，76，80，89，94，88，66，72，90，96，83，99，78，98，79，89，87，75，66，85，97，88，86，89，68，88，84，86，92，77，84，95，78，82，93，96，85．
按“组距为10”制作了如下不完整的频数分布表（每组数据含最小值不含最大值）和频数分布直方图：
40名学生知识竞答测试成绩频数分布表
根据上述数据，解答下列问题：
（1）将频数分布表中空缺部分补充完整，并补全频数分布直方图．
（2）这40名学生测试成绩的中位数落在 80～90 组内；若绘制扇形统计图，则“70～80分”这组对应扇形的圆心角的度数是 72° ．
（3）该校将知识竞答测试成绩为“80～90分”记为良好，请你估计全校1000名学生中对“中华名人知多少”了解情况达到良好等级的人数．
【解答】解：（1）补全频数分布表如下：
补全频数分布直方图如下：
（2）把抽取40名学生的成绩从小到大排列，排在中间的两个数都在“80～90”内，故这40名学生测试成绩的中位数落在“80～90”组内；
若绘制扇形统计图，则“70～80分”这组对应扇形的圆心角的度数是360°×＝72°；
故答案为：80～90，72°；
（3） （名），
答：估计全校1000名学生中对杭州亚运会知识了解情况达到良好等级的人数大约为450名．
24．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE是△ABC外接圆的切线，D在圆上，延长CB交DE于点F，且CF⊥DE，连接AD．
（1）求证：；
（2）若△ABC外接圆的半径为5，tan∠CAD＝2，求BF的长．
【解答】（1）证明：设圆的圆心为O，
∵∠ACB＝90°，
∴AB为直径，取AB的中点O，
连接DO交AC于H，
∵ED切⊙O于D，
∴OD⊥FD，∠FDO＝90°，
∵CF⊥DE，
∴∠CFD＝90°，
∴四边形FCHD为矩形，
∴DF＝CH，DH⊥CA，
∵DH过点O，DH⊥CA，
∴
∴；
（2）解：连接BD，
∵四边形ACBD是⊙O的内接四边形，
∴∠FBD＝∠CAD，
∴tan∠FBD＝tan∠CAD＝2，
设AH＝CH＝FD＝x，
∴，DH＝2x，
∴OH＝2x﹣5，
∴BC＝2OH＝4x﹣10，
∴，
∴x＝4，
∴．
25．（8分）某校课外科技活动兴趣小组研制了一种航模飞机，这种航模飞机飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分．活动小组在水平安全线上设置一个高度可以变化的发射平台，当发射平台的高度变化时，飞机飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到．如图所示，以水平安全线上发射平台所在位置A为坐标原点，以水平安全线为x轴，建立平面直角坐标系．
通过实验，在A处发射飞机，收集到飞机相对于出发点的飞行水平距离x（单位：m）与飞行高度y（单位：m）的部分对应数值如表．
根据上面的信息，解决下列问题：
（1）当活动小组在A处发射飞机时，求飞机落到水平安全线时飞行水平距离；
（2）在水平安全线上设置回收区域MN，AM＝125m，MN＝5m，若飞机能落到回收区域MN内（不包括端点M，N），求发射平台相对于安全线的高度的变化范围．
【解答】解：（1）设y＝ax2+bx，
将（20，40）和（30，54）代入y＝ax2+bx得，，
解得：，
∴，
当y＝0时，﹣x2+x＝0，
解得x＝120或x＝0，
答：飞机落到水平安全线时飞行水平距离为120m；
（2）设，
∵125+5＝130，
∴125＜x＜130，
将（125，0）代入得：c＝12.5；
将（130，0）代入得：c＝26，
∴12.5＜c＜26．
答：发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于12.5m且小于26m．
26．（10分）（1）如图1，点O是等边△ABC的内心，∠DOE的两边分别交AB、BC于点D、E，且∠DOE＝120°，若等边△ABC的边长为6，求四边形ODBE周长的最小值．
（2）为培养学生劳动实践能力，某学校计划在校东南角开辟出一块平行四边形劳动实践基地．如图2所示，劳动实践基地为▱ABCD，点O为其对称中心，且OB＝20m，点E、F分别在边AB、BC上，四边形EBFO为学校划分给九年级的实践活动区域，九年级学生打算在四边形EBFO区域种植两种不同的果蔬，即在△BEF、△EFO种植不同的果蔬．在点O处安装喷灌装置，且喷灌张角为60°，即∠EOF＝60°，并修建OE、EF、OF三条小路．现要求规划的三条小路OE、EF、FO总长最小的同时，果蔬种植区域四边形EBFO的面积最大．求满足规划要求的三条小路OE、EF、FO总长的最小值，并计算同时满足四边形EBFO面积最大时学校应开辟的劳动实践基地▱ABCD的面积．
【解答】解：（1）连接OB，OC，如图，
∵点O是等边△ABC的内心，
∴∠ABO＝∠OBC＝∠OCB＝∠ACO＝30°，
∴OB＝OC，∠BOC＝120°
∵∠DOE＝120°．，
∴∠BOD＝∠COE，
在△BOD与△COE中，
，
∴△BOD≌△COE（ASA），
∴BD＝CE，OD＝OE，
∴四边形ODBE的周长＝BD+BE+EO+OD＝BC+2OE，
∵BC＝6，
∴当OE⊥BC时，OE最小，四边形ODBE周长最小，此时，
∴四边形ODBE的周长的最小值＝；
（2）分别以AB、BC所在直线为对称轴，作点O关于AB的对称点为M，O关于BC的对称点为N，连接MN，交AB于点E1，交BC于点F1，连接BM、BN、EM、FN、OE1、OF1，如图，
则ME＝OE，OF＝FN．
∵两点之间线段最短，
∴ME+EF+NF≥MN，
∵△OEF周长＝OE+EF+OF＝ME+EF+NF，
∴△OEF周长的最小值是MN，
∵O、M关于AB对称，O、N关于BC对称，
∴BM＝BN＝BO＝20m，∠BMN＝∠BOE1，∠BNM＝∠BOF1，∠EME1＝∠EOE1，∠FNF1＝∠FOF1，
∴∠EOF＝∠E1OF1＝60°．
∴∠BMN+∠BNM＝∠BOE1+∠BOF1＝∠E1OF1＝60°，
∴∠MBN＝120°，
∴∠BMN＝∠BNM＝30°，
过点B作BH⊥MN，
∴BH＝10，MH＝NH＝10，
∴．
即OE、EF、FO和的最小值为，
此时S四边形形EBFO＝S△BEM+S△BFN＝S△BMN﹣S△BEF，
∵S△BMN的面积为，
∴当△BEF的面积最小时，四边形EBFO的面积最大，
在△BEF中，∠ABC＝60°，MN上的高h＝10（定角定高模型），
∴当BE＝BF时，△BEF的面积最小，且最小值为，
∴四边形EBFO的面积最大值＝，
∵当BE＝BF，∠ABC＝60°时，∠BEM＝∠BFN＝120°＝∠BEO＝∠BFO＝120°，得四边形EBFO为平行四边形，
∴此时平行四边形ABCD的面积＝4×四边形EBFO的面积＝．课题
测量人工湖岸边一棵树的高度
成员
组长：瑛瑛
组员：小明、小华、小晴
测量工具
测角仪、皮尺
测量示意图及测量数据

说明：线段CF表示所要测量树的高度．测量者在岸边点B处清晰地看到这棵树倒映在平静的湖面上，并测得该树顶端C的仰角为30°，树的顶端C在水中的倒影D的俯角为45°．测量者的眼睛距湖面的高度AB＝1.6m，点B，F在同一水平直线上，AB⊥BF，CF⊥BF，点A，B，C，D，F在同一平面内.
实施说明
测量树的顶端在水中倒影的俯角，测得的角度有一点误差，结果的误差就会很大，经多次测量取其平均值．（光线的折射忽略不计）
分组
划记
人数（频数）
60～70
70～80
正
8
80～90
正正正
18
90～100
飞行水平距离x/m
0
20
30
50
80
…
飞行高度y/m
0
40
54
70
64
…
课题
测量人工湖岸边一棵树的高度
成员
组长：瑛瑛
组员：小明、小华、小晴
测量工具
测角仪、皮尺
测量示意图及测量数据

说明：线段CF表示所要测量树的高度．测量者在岸边点B处清晰地看到这棵树倒映在平静的湖面上，并测得该树顶端C的仰角为30°，树的顶端C在水中的倒影D的俯角为45°．测量者的眼睛距湖面的高度AB＝1.6m，点B，F在同一水平直线上，AB⊥BF，CF⊥BF，点A，B，C，D，F在同一平面内.
实施说明
测量树的顶端在水中倒影的俯角，测得的角度有一点误差，结果的误差就会很大，经多次测量取其平均值．（光线的折射忽略不计）
分组
划记
人数（频数）
60～70
70～80
正
8
80～90
正正正
18
90～100
分组
划记
人数（频数）
60～70
正
4
70﹣80
正F
8
80～90
正正正下
18
90～100
正正
10
飞行水平距离x/m
0
20
30
50
80
…
飞行高度y/m
0
40
54
70
64
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