广东省河源市河源中学实验学校2023-2024学年九年级下学期第一次月考数学试题

这是一份广东省河源市河源中学实验学校2023-2024学年九年级下学期第一次月考数学试题，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
总分：120分 时间：120分钟
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查轴对称图形与中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称与中心对称图形的定义是解题的关键；因此此题可根据“如果一个图形沿某条直线折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形”和“一个图形绕某个点旋转180度后能与原图完全重合的图形叫做中心对称图形”进行求解即可．
【详解】解：A、既是轴对称图形也是中心对称图形，故符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
故选A．
2. 某种颗粒物的直径约为0.0000018米，用科学记数法表示该颗粒物的直径为（ ）
A. 0.18×10﹣5米B. 1.8×10﹣5米C. 1.8×10﹣6米D. 18×10﹣5米
【答案】C
【解析】
【分析】根据绝对值小于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，即可求解．
【详解】解：0.0000018=1.8×10﹣6．
故选：C
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，熟练掌握一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定是解题的关键．
3. 一个立方体的表面展开图如图所示，将其折叠成立方体后，”你”字对面的字是（ ）该试卷源自 每日更新，享更低价下载。
A. 考B. 试C. 顺D. 利
【答案】C
【解析】
【详解】根据正方体的侧面展开图的特点，相对的面没有公共边，可知“你”字对面的字是“顺”.
故选C
4. 大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验（如图1），解释了小孔成倒像的原理，并在《墨经》中有这样的记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．物理课上，小明记录了他和同桌所做的小孔成像实验数据（如图2）：物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，利用题意画出图形，再利用相似三角形的判定与性质解答即可．熟练掌握相似三角形的对应高的比等于相似比是解题的关键．
【详解】解：如图，由题意知：点到的距离为，点到的距离为，，
，
，
，
，
．
故选：．
5. 如图，将一副直角三角板按图中所示的位置摆放，两条斜边互相平行，则∠1=（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行线的性质可得∠ABC=∠D=45°，再根据三角形内角与外角的关系可得∠1的度数．
【详解】解：如图，∵AB∥DE，
∴∠ABC=∠D=45°，
又∵∠A=30°，
∴∠1=∠A+∠ABC=75°，
故选A．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的应用，关键是掌握两直线平行，同位角相等．
6. 不等式组的解集在数轴上可表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式组的求解，在数轴上表示不等式组的解集，正确求出不等式组解集，并把它表示在数轴上是解答本题的关键，注意数轴上空心点和实点的区别．
分别求出不等式①②的解集，得到不等式组的解集，再把不等式组的解集表示在数轴上即可．
【详解】解：
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为：，
不等式的解集在数轴上表示为：
故选：B．
7. 现用190张铁皮做盒子，每张铁皮可做8个盒身，或做22个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个盒子．设用x张铁皮做盒身，y张铁皮做盒底正好配套，则可列方程组为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据铁皮数的和是190，制作盒身数为8x，盒底数为22y，根据盒身：盒底=1:2，得到8x：22y=1：2即2×8x=22y，列出方程组即可．
【详解】∵ 铁皮数的和是190，制作盒身数为8x，盒底数为22y，根据盒身：盒底=1:2，得到8x：22y=1：2即2×8x=22y，
∴列方程组，得，
故选A．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意，特别是一个盒身与两个盒底配成一个盒子的意义是解题的关键．
8. 如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子的长是3米．若梯子与地面的夹角为，则梯子顶端到地面的距离BC为（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用锐角三角函数关系得出，进而得出答案．
【详解】解：由题意可得：，
故．
故选A
【点睛】考核知识点：由正弦求边.理解正弦定义是关键.
9. 如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，其中结论不正确的是（ ）

A.
B. 方程的两个根是，
C.
D. 当时，随增大而增大
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的知识点是二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程综合，解题关键是熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系．
根据二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程综合对选项进行逐一判断即可求解．
【详解】解：依图得，该抛物线与轴有两个交点，即有两个不相等的实数解，
，即，
选项结论正确，不符合题意；
依图得，抛物线对称轴为，
则抛物线与轴交点关于对称轴的对称点是，
即方程的两个根是，，
选项结论正确，不符合题意；
抛物线对称轴，即，
将代入可得，
，
选项结论不正确，符合题意；
依图得，当时，随着增大而增大，
选项结论正确，不符合题意．
故选：．
10. 如图，如图正方形内一点E，满足为正三角形，直线AE交BC于F点，过E点的直线，交AB于点G，交CD于点H．以下结论：①；②；③；④，其中正确的有（ ）
A. ①②③B. ①③④C. ①④D. ①②③④
【答案】A
【解析】
【分析】根据等边三角形的性质求出，然后求出，再根据等腰三角形的性质求出，然后求出，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出，判断出①正确，过点作，可得，根据等角的余角相等求出，再利用“角角边”证明和，然后根据全等三角形对应边相等可得，再根据等边三角形的性质，点是的中点，从而得到，判断出②正确；再求出，过点作于，过点作于，解直角三角形分别用、表示出，可以得到，再表示出，即可判定③正确；设，表示出、，然后求出的值，判断出④错误．
【详解】解：为正三角形，
，
，
，
，
，
，故①正确；
过点作，
则，
，
，
又，
，
在和中，
，
，
，
为正三角形，
点在垂直平分线上，
根据平行线分线段成比例定理，点是的中点，
，
，故②正确；
，，
，
，
，
过点作于，过点作于，
则，，
是等边三角形，
，
，
，，
，
，
，
，故③正确；
，故④错误．
综上所述，正确的结论是①②③．
故选：．
【点睛】本题考查了四边形综合题型，主要利用了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判断与性质，解直角三角形，等腰直角三角形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形与等腰直角三角形是解题的关键．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11. 若二次根式有意义，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件即可求出答案．
【详解】解：二次根式有意义，
，
，
故答案为：．
12. 如果单项式与是同类项，那么______．
【答案】3.
【解析】
【分析】根据同类项的概念相同字母的指数也相同即可得出指数是几再代入求值即可.
【详解】解：由同类项的概念相同字母的指数也相同，可得，，
所以，
故填：3.
【点睛】本题考查同类项的概念及代入求值，熟记同类项的概念是正确解题的关键.
13. 若关于x的方程有两个相等的实数根，则__．
【答案】1
【解析】
【分析】根据判别式与根的关系得到，然后解关于m的方程即可．
【详解】解：根据题意得，，
解得．
故答案为1．
14. 已知点C，D是以AB为直径的半圆的三等分点，半径，则扇形COD的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据点C，D是以AB为直径的半圆的三等分点，可得S扇形COD=S扇形AOB即可求解；
【详解】解：∵点C，D是以AB为直径的半圆的三等分点，
∴S扇形COD=S扇形AOB=；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查扇形面积公式，掌握扇形面积公式及三等分线的意义是解题的关键．
15. 如图，长方形 ABCD 中，点 E 在边 AB 上，将一边 AD 折叠，使点 A恰好落在边 BC 的点 F 处，折痕为 DE．若 AB=4，BF=2，则 AE的长是________________．
【答案】
【解析】
【分析】设AE=x，在中，由勾股定理建立方程求解即可
【详解】设AE=x，则BE=AB-AE=4-x，
由折叠的性质可得：EF=AE=x，
在中，由勾股定理得，BE2+BF2=EF2，
即，
解得，x=，
即AE的长为．
【点睛】本题考查知识点是翻折变换的性质和勾股定理，解决这类题目的关键会利用勾股定理列出方程．
16. 如图所示，已知A点从点出发，以每秒1个单位长的速度沿着轴的正方向运动，经过秒后，以、A为顶点作菱形，使、点都在第一象限内，且，又以为圆心，为半径的圆恰好与所在直线相切，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】求出，根据四边形是菱形，得出，当与相切，即与x轴相切时，则切点为O，此时，过P作，得出 ，根据，得出，求出结果即可．
【详解】解：∵A点从点出发，以每秒1个单位长的速度沿着x轴的正方向运动，
∴经过t秒后，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
当与相切，即与x轴相切时，如图所示，则切点为O，此时，过P作，
∴，
∴ ，
在中，
，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，坐标与图形，等腰三角形的性质，解直角三角形，切线的性质，解题的关键是数形结合，根据题意作出图形，熟练掌握基本性质．
三、解答题（共9小题，共72分）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，负整数幂，化简二次根式，绝对值，准确熟练地进行计算是解题的关键．先化简各式，把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答．
【详解】解：
．
18. 已知：如图，四边形是平行四边形．
（1）尺规作图：作的角平分线交于E点（不要求写作法，但要保留作图痕迹）；
（2）求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查尺规作图——角平分线的作法，平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质等：
（1）根据作已知角的平分线的作法解答，即可；
（2）由平行四边形的性质可得，，由平行线的性质可得，根据角平分线的定义可得，等量代换可得，最后根据对角对等边即可得证．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问2详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
19. 先化简，再求值：，从，1，2，3中选择一个合适的数代入并求值．
【答案】，4.
【解析】
【分析】根据分式的运算法则和乘法公式将原式化简，根据分式存在有意义的条件选取合适的数代入代数式计算即可.
【详解】原式
．
∵x2﹣1≠0，x﹣2≠0，∴取x＝3，原式＝＝4．
【点睛】本题考查的是分式的运算和分式存在有意义的条件，根据分式有意义的条件挑选出合适的值代入是解题的关键.
20. 如图，在中，，的平分线交于点，为的中点．若，，求的长．
【答案】5
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质得到，，根据勾股定理求出，根据直角三角形斜边上的中线的性质求出．
【详解】解：，的平分线交于点，
，，
由勾股定理得，，
为的中点，
．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线的性质、勾股定理，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．
21. 为了丰富学生在学校的课余生活，学校开展了合唱、手工、机器人编程、书法这四项活动（依次用A，B，C，D表示），为了解学生对以上四项活动的喜好程度，学校随机抽取部分同学进行了“你最喜欢哪一项活动”的问卷调查，要求必选且只选一种．并根据调查结果绘制了如下条形统计图和扇形统计图：

（1）请补全条形统计图；
（2）估计全校3000名学生中最喜欢手工活动的人数约为______人；
（3）现从喜好机器人编程的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人搭档加入活动策划会，请用树状图或列表法求恰好甲和丁同时被选到的概率．
【答案】（1）见解析 （2）1200
（3）甲和丁同时被选到的概率
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图信息关联，根据树状图求概率．
（1）先计算出总人数，再计算出B组和C组人数，即可补全条形统计图；
（2）用全校人数乘以最喜欢手工活动的人数所占百分比，即可求解；
（3）根据题意画出树状图，数出所有的情况数和符合条件的情况数，再根据概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：总人数：（人），
C组人数：（人），
B组人数：（人），
补全条形统计图如图所示：
【小问2详解】
解：（人），
故答案为：1200；
【小问3详解】
解：画出树状图如图所示：

由图可知，一共有12种情况，甲和丁同时被选到的有2种情况，
∴甲和丁同时被选到的概率．
22. 如图，在平面直角坐标系中，点B，D分别在反比例函数和的图象上，轴于点A，轴于点C，O是线段的中点，，．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）连接，，，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式，勾股定理的逆定理以及锐角三角形函数．
（1）先求出B坐标，利用待定系数法可求反比例函数的表达式；
（2）分别算出的值，利用勾股定理的逆定理结合锐角三角函数的定义即可得到答案．
【小问1详解】
解：∵点D在反比例函数的图象上，，
∴，
∵是线段的中点，
∴，
∵，
∴点B的坐标为，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
【小问2详解】
解：由（1）可知，
∴，
，
，
∵，
∴，即，
∴．
23. 某剧院举办文艺演出，经调研，如果票价定为每张30元，那么1200张门票可以全部售出；但如果票价每张增加元，则售出的门票数量（张）与（元）的函数关系部分图像如图所示．
（1）由图像可知，票价每增加1元，则门票数量会减少______张；
（2）要使门票收入恰好为36270元，票价应定为每张多少元；
（3）销售总监认为：票价越高，则门票收入越高．请你从数学的角度进行判断、分析是否正确？若正确，请说明理由；若不正确，请你给出建议，当票价定为多少时，门票收入最高．
【答案】（1）30 （2）31元或39元
（3）不正确，票价为35元
【解析】
【分析】此题考查一元二次方程的实际运用，找出销售问题中的基本数量关系是解决问题的关键．
（1）由图像可知即可得出结论；
（2）依题意，得，再解方程即可；
（3）设门票总收入为元，则，再根据二次函数的性质求最值即可．
可设票价应定为元，根据票价销售的票数获得门票收入，即可列出一元二次方程．
【小问1详解】
解：张，
由图像可知，票价每增加1元，则门票数量会减少张，
故答案为：；
【小问2详解】
解得，，
或，
答：票价应定为每张31元或39元．
小问3详解】
不正确．由（2）可知，当票价为31元和39元时，门票收入一样．
设门票总收入为元，则
，
时，随的增大而增大，，票价为时，有最大值36750．
答：票价为35元时门票收入最高为36750元．
24. 在直角坐标系中，以为圆心的交x轴负半轴于A，交x轴正半轴于B，交y轴于C、D．其中C点坐标为．
（1）求点A坐标．
（2）如图，过C作的切线，过A作于F，交于N，求的长度．
（3）在上是否存在点P，使，若存在，求出点P的坐标；若不存在请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，或
【解析】
【分析】（1）连接，根据勾股定理求出，得出的半径为5，求出，即可得出答案；
（2）证明，得出，根据垂径定理求出即可；
（3）先说明为等腰直角三角形，设点， 求出，根据两点间距离公式得出，解方程组即可．
【小问1详解】
解：根据题意，连接，
∵，，
∴，即的半径为5，
∴，
∴，
∴．
【小问2详解】
证明：连接，作于H，
∵为的切线，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
【小问3详解】
解：设点，连接，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，，
∴或．
【点睛】本题主要考查的是垂径定理的应用和切线与圆之间的性质关系，勾股定理，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，方程组的解法，综合性强，能够熟练掌握垂径定理的应用和切线与圆之间的性质关系是解题的关键．
25. 已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点O为坐标原点．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）若点D是线段上靠近点O的一个三等分点，点P是抛物线的一个动点，过点P作x轴的垂线，分别交、于点M，N．
①求直线的解析式（用含a的式子表示）；
②设，的面积分别为，，若，求此时点P的横坐标．
【答案】（1）
（2）①；②或
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，涉及求解一元二次方程、求一次函数解析式
（1）根据，方程变形为，解方程即可．
（2）①根据题意，，，设直线的解析式为，代入计算即可．
②先根据，确定直线的解析式为，根据题意得，设，则，，则，，，列式计算即可．
【小问1详解】
抛物线，
当时，得，
∵，
∴方程变形为，
解得，
∵点A在点B的左侧，
∴．
【小问2详解】
①∵抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，
∴，
∵点D是线段上靠近点O的一个三等分点，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
故直线的解析式为．
②设直线的解析式为，
把，分别代入解析式，得
∴，
解得，
故直线的解析式为，
∵，的的面积分别为，，且，
∴，
设，则，，
∴，，
根据题意，得，
∴或，
∴或即，

解得（舍去）或（舍去）
故，
故点P的横坐标为或．