湖南省衡阳市八中教育集团2023-2024学年八年级下学期期中数学试题(原卷版+解析版)
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1. 分式在实数范围内有意义,则x的取值范围是( )
A. x=﹣1B. x≠﹣1C. x≠0D. x>﹣1
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用分式有意义条件是分母不等于零,进而得出答案.
【详解】解:∵分式 在实数范围内有意义,
∴x+1≠0,
解得:x≠﹣1.
故选:B.
【点睛】本题考查分式有意义的条件,熟练掌握分式有意义的条件是解题关键.
2. 华夏飞天续锦章,摘星揽月入天阊.2023年10月26日神舟十七号载人飞船在酒泉卫星发射中心圆满发射成功.此次神舟十七号载人飞船航天员空间站还将进行一系列科学实验,包括“空间蛋白质分子组装与应用研究”.其中某一蛋白质分子的直径仅米,这个数用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式,其中,为整数.确定的值时,要看把原数变成时,小数点移动了多少位,的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值时,是正整数;当原数的绝对值时,是负整数,熟练掌握科学记数法的表示方法是解题关键.
【详解】解:.
故选:C.
3. 下列分式中,是最简分式的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据最简分式的概念判断即可.
【详解】解:、,不是最简分式,不符合题意;
B、,不最简分式,不符合题意;
C、是最简分式,符合题意;
D、,不是最简分式,不符合题意;
故选:C.
【点睛】本题考查的是最简分式的概念,一个分式的分子与分母没有公因式时,叫最简分式.
4. 如图,枫叶遮盖了一点P,则点P的坐标可能是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征,记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键,四个象限的符号特点分别是:第一象限(+,+);第二象限(-,+);第三象限(-,-);第四象限(+,-).
根据图形可得点P在第四象限,再根据第四象限内的点的坐标符号为(+,-)进而得出答案.
【详解】解:由图形可得:点的坐标可能是.
故选:C.
5. 已知反比例函数,则下列描述不正确的是( )
A. 图象位于第一,第三象限B. 图象必经过点
C. 图象不可能与坐标轴相交D. y随x的增大而减小
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了反比例函数的性质,利用反比例函数的性质,,当时,每个象限内,随增大而减小,结合图象分布以及反比例函数图象上点的坐标特点,分别分析是解题关键.
【详解】解:A.反比例函数,则图象位于第一、三象限,故此选项A正确,不合题意;
B.当时,,即图象必经过点,故此选项B正确,不合题意;
C.图象不可能与坐标轴相交,故此选项C正确,不合题意;
D.每个象限内,随的增大而减小,故此选项D不正确,符合题意;
故选:D.
6. 若一次函数y=(k-3)x-k的图象经过第二、三、四象限,则k的取值范围是( )
A. k<3B. k<0C. k>3D. 0<k<3
【答案】D
【解析】
【分析】由一次函数图象经过第二、三、四象限,利用一次函数图象与系数的关系,即可得出关于k的一元一次不等式组,解之即可得出结论.
【详解】∵一次函数y=(k-3)x-k的图象经过第二、三、四象限,
∴,
解得:0<k<3,
故选D.
【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系,牢记“k<0,b<0⇔y=kx+b的图象在二、三、四象限”是解题的关键.
7. 如图,一次函数与的图象相交于点,则关于x的不等式的解集是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查一次函数与不等式,利用两条直线的交点确定不等式的解集即可.
【详解】解:由图象可知:的解集为;
故选D.
8. 已知关于x的分式方程的解是非负数,则m的取值范围是( )
A. B. C. 且D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是分式方程的解的情况求解参数的取值范围,先解分式方程,得到分式方程的解,再建立不等式求解即可.
【详解】解:,
分式方程去分母得:,
即,
由分式方程的解为非负数,得到
,且,
解得:且,
故选:C.
9. 在同一平面直角坐标系中,函数与的图象大致是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一次函数和反比例函数的图象和性质进行判断即可.
【详解】解:分两种情况讨论:
①当时,与y轴的交点在正半轴,过一、二、三象限,反比例函数的图象在第一、三象限;
②当时,与y轴的交点在正半轴,过一、二、四象限,反比例函数的图象在第二、四象限;
综上分析可知,只有选项A符合题意.
故选:A.
【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象为性质,解题的关键是熟练掌握一次函数的性质,一次函数,当直线经过一、三象限,当直线经过二、四象限,当直线与y轴正半轴有交点,直线与y轴负半轴有交点.
10. 如图,在直角坐标系中,有一等腰直角三角形,,直角边在x轴正半轴上,且,将绕原点O顺时针旋转,同时扩大边长的1倍,得到等腰直角三角形(即),同理,将顺时针旋转,同时扩大边长1倍,得到等腰直角三角形,依此规律得到等腰直角三角形,则点的坐标为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质,找规律,由题可得,旋转后可得到,,,,且每四次循环一周,即可得到结果,找到规律是解题的关键.
【详解】解:∵是等腰直角三角形,,
∴,
∴,
将绕原点O顺时针旋转得到等腰直角三角形,且,
再将绕原点O顺时针旋转得到等腰直角三角形,且,
依此规律,每4次循环一周,
即,,,,
∵,
∴点与同在一个象限内,
∵,
∴,
故选:A.
二、填空题(本大题共8个小题,每小题3分,共24分)
11. 若分式的值为零,则的值为____________.
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了分式的值为零的条件.若分式的值为零,需同时具备两个条件:(1)分子为0;(2)分母不为0,这两个条件缺一不可.根据分子为0;分母不为0求解即可.
【详解】由题意得:且
解得:
故答案为:2.
12. 若关于的分式方程有增根,则方程的增根为_________.
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查分式方程增根问题,熟练掌握分式方程的增根问题是解题的关键;根据分式方程增根问题可直接进行求解.
【详解】解:∵关于x的分式方程有增根,
∴该方程的增根为,
故答案为.
13. 将函数的图象向下平移3个单位长度,所得图象对应的函数表达式是__________.
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查一次函数图象的平移,熟练掌握一次函数图象的平移是解题的关键;因此此题可根据“左加右减,上加下减”可进行求解.
【详解】解:由题意可得所得图象对应的函数表达式是;
故答案为.
14. 点在第二象限内,点到轴的距离是6,到轴的距离是2,那么点的坐标为__________.
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查点的坐标,熟练掌握点的坐标是解题的关键;由题意易得点P的横坐标为,纵坐标为6,然后问题可求解.
【详解】解:由题意得:点的坐标为;
故答案为.
15. 已知点和关于原点对称,则的值为___________.
【答案】1
【解析】
【分析】本题主要考查点的坐标关于原点对称,熟练掌握点的坐标关于原点对称的特征是解题的关键;因此此题可根据点的坐标关于原点对称,即为“如果两个点的坐标关于原点对称,则横纵坐标互为相反数”进行求解即可.
【详解】解:由点和关于原点对称,可知:,
∴,
∴;
故答案为1.
16. 一次函数的图象经过,,则,的大小关系是________.
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查一次函数的性质,熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键;由题意易得该一次函数的y随x的增大而减小,然后问题可求解.
【详解】解:由一次函数可知:,
∴y随x的增大而减小,
∵一次函数的图象经过,,且,
∴;
故答案为.
17. 如图,点A在反比例函数的图象上,轴于点B,点C在x轴上,且,的面积为4,则m的值为______.
【答案】
【解析】
【分析】首先表示出的长,再利用三角形面积求出m的值即可.
【详解】解:设,则,
∵的面积为4,
∴,
∴
∵
解得: .
故答案为:.
【点睛】此题主要考查了反比例函数系数k的几何意义,正确表示出三角形面积是解题关键.
18. 如图①,在中,,动点从点A出发,沿折线运动到点,速度为,其中的长与运动时间的关系如图②.则的面积为______.
【答案】48
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质,三角形的面积公式,勾股定理,直角三角形的性质,解本题的关键是得出和的长.由题意可知,过点A作于点D,由三线合一可得,再根据勾股定理可得,最后根据三角形的面积公式可得结论.
【详解】解:当时,点P与点A重合,则,
当时,,
∴,
过点A作于点D,
则,,
在中,,
∴的面积.
故答案为:48.
三、解答题(本大题共8个小题,第19、20题每题6分,第21、22题每题8分,第23、24题每题9分,第25、26题每题10分,共66分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
19. 计算:.
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了零指数幂,负整数指数幂和含乘方的有理数混合计算,先计算零指数幂,负整数指数幂和乘方,再去绝对值,最后计算加减法即可.
【详解】解:原式
.
20. 解分式方程:;
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查分式方程的解法,熟练掌握分式方程的解法是解题的关键;因此此题可先去分母,然后再求解方程即可.
【详解】解:
去分母得:,
去括号得:,
移项、合并同类项得:,
系数化为1得:,
经检验:当时,,
∴原方程的解为.
21. 先化简,再求值,然后从1,2,3中选一个合适的数代入求值.
【答案】,
【解析】
【分析】本题考查了分式的混合运算,化简求值,分式有意义的条件,先计算括号里的分式减法,再把除法变为乘法,约分即可,再根据分式有意义的条件得到时,代入求值即可.
【详解】解:
,
分式有意义,
,
时,原式.
22. 如图,平面直角坐标系中,一次函数y1=ax+b(a≠0)的图象与反比例函数y2=(k≠0)的图象交于点A(1,2)和B(﹣2,m).
(1)求一次函数和反比例函数的表达式;
(2)请直接写出y1>y2时x的取值范围;
(3)过点B作BE∥x轴,AD⊥BE于点D,点C是直线BE上一点,若AD=3CD,求点C的坐标.
【答案】(1),;(2)或;(3)(0,-1)或 (2,-1).
【解析】
【分析】(1)利用待定系数法求出反比例函数系数k,即可求出点B的坐标,再利用待定系数法即可求出一次函数解析式;
(2)利用数形结合思想,观察直线在双曲线上方的情况结合交点的坐标即可解答;
(3)根据题意可求出.再根据AD=3CD,即可求出CD长,结合D点的坐标,即可求出C点坐标.
【详解】(1)∵点A(1,2)在反比例函数的图象上,
∴,即.
故该反比例函数表达式为,
∵点B(-2,m)也在反比例函数的图象上,
∴.
∴点B坐标为B(-2,-1),
∵点A和点B都在一次函数的图象上,
∴,解得,
故该一次函数表达式为.
(2),即一次函数图象在反比例函数上方即可,
∴由图象可知当时或时,.
(3)由题意得,,且D点坐标为(1,-1).
∵AD=3CD
∴,
∴当点C在点D的左侧时,点C的坐标为(0,-1),
当点C在点D的右侧时,点C的坐标为(2,-1).
综上,C点坐标为(0,-1)或(2,-1).
【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的交点问题,熟练掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤、灵活运用分类讨论思想、数形结合思想是解题的关键.
23. 我校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理,已知消毒水消毒效果随着时间变化如图所示,消毒效果(单位:效力)与时间(单位:分钟)呈现三段函数图象,其中段为渐消毒阶段,段为深消毒阶段,段是反比例函数图象的一部分,为降消毒阶段,请根据图中信息解答下列问题:
(1)第3分钟时消毒效果为________效力;
(2)求深消毒阶段和降消毒阶段中与之间的函数关系式;
(3)若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上,即可产生消毒作用,请问本次消毒是否有效?
【答案】(1)
(2)深消毒阶段的函数解析式为;降消毒阶段的函数解析式为;
(3)本次消毒有效
【解析】
【分析】本题是一次函数与反比例函数综合题,考查了求一次函数及反比例函数解析式,求自变量值和函数值,利用数形结合的思想解决问题是关键.
(1)设渐消毒阶段的函数解析式为,将点代入,利用待定系数法求出函数解析式,再求出时的函数值即可;
(2)分别设深消毒阶段的函数解析式为,降消毒阶段的函数解析式为,利用待定系数法求出函数解析式即可;
(3)分别求出深消毒阶段和降消毒阶段消毒效果达到4效力的时间,作差比较即可.
【小问1详解】
解:由图象可知,第3分钟处于段渐消毒阶段,
设渐消毒阶段的函数解析式为,
将点代入得:,
解得:,
渐消毒阶段的函数解析式为,
当时,,
即第3分钟时消毒效果为效力,
故答案为:
【小问2详解】
解:设深消毒阶段的函数解析式为,
将点和代入得:,
解得:,
深消毒阶段的函数解析式为;
设降消毒阶段的函数解析式为,
将点代入得:,
解得:,
降消毒阶段的函数解析式为;
【小问3详解】
解:当深消毒阶段消毒效果达到4效力时,则,
解得:;
当降消毒阶段消毒效果达到4效力时,则,
解得:,
,
即本次消毒有效.
24. 某销售商准备在昆明采购一批茶叶,经调查,用元采购型茶叶的件数与用元采购型茶叶的件数相等,一件型茶叶进价比一件型茶叶进价多元.
(1)求一件型、型茶叶的进价分别为多少元?
(2)若销售商购进型、型茶叶共件,其中型件数不大于型的件数,且不少于件.若型的售价是元/件,销售成本为元/件;型的售价为元/件,销售成本为元/件.设购进型茶叶件.求销售这批茶叶的利润(元)与(件)的函数关系式,并求出当利润最大时的购买方案,求出最大利润(每件销售利润售价进价销售成本).
【答案】(1)一件型、型茶叶的进价分别为元,元;(2)型购买件,型购买件,最大利润为元
【解析】
【分析】(1)设一件A型茶叶的进价为x元,则一件B型茶叶的进价为(x−100)元.根据10000元采购A型茶叶的件数与用8000元采购B型茶叶的件数相等,列出分式方程即可解决问题;
(2)依据不等关系列出不等式,即可得到m的取值范围,再根据总利润=两种茶叶的利润之和,列出一次函数表达式,即可解决问题.
【详解】(1)设一件型茶叶的进价为元,则一件型茶叶的进价为元
由题意得,
解这个方程得,
经检验得是原方程的根:
则,
答:一件型、型茶叶的进价分别为元,元;
(2)由题意得,且,解得,
随的增大而增大,当时,元,
答:利润最大的购买方案:型购买件,型购买件,
最大利润为元.
【点睛】本题考查分式方程应用、一次函数的应用等知识,解题的关键是理解题意,学会构建方程或一次函数解决问题.
25. 如图,反比例函数()的图象经过线段的端点,把线段沿轴正方向平移3个单位得到线段,与上述反比例函数的图象相交于点,点的横坐标为4.
(1)求的值和直线的解析式;
(2)在轴上是否存在点,使得的值最大?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)若为函数()的图象上一动点,过点作直线轴于点,直线与四边形在轴上方的一边交于点,设点的横坐标为,且,当,求出的值.
【答案】(1),直线的解析式为
(2)存在,
(3)或
【解析】
【分析】(1)根据题意结合待定系数法可进行求解;
(2)延长交轴于点,此时的值最大,求出的解析式,联立方程组求交点坐标,求出直线的解析式即可得到点的坐标;
(3)分两种情况,设出点,的坐标,从而得到,的表达式,根据即可得到的值.
【小问1详解】
解:∵反比例函数()的图象经过线段的端点,
∴,即反比例函数解析式为,
设直线的解析式为,则代入点A坐标得:,解得:,
∴直线的解析式为;
【小问2详解】
解:存在,理由如下:
如图,延长交轴于点,根据三角不等关系可知:,所以此时的值最大,
把线段沿轴正方向平移3个单位得到线段,
,即,,
设的表达式为,
将代入,
,
的表达式为,
联立,解得,,
点的横坐标大于0,
的横坐标为4,
将代入得到:,
即,
设的表达式为,
将,代入得,
解得,
,
令,代入得到,
;
【小问3详解】
解:①当在的上方时,
∴,,
,,
,
解得:;
②当在的上方时,
∴,,
,,
,
解得:(负根舍去),
综上所述:或.
【点睛】本题考查了反比例函数综合题,考查分类讨论的思想,设出点,的坐标,得到,的表达式是解题的关键.
26. 如图1,在平面直角坐标系中,直线与轴交于点A,与轴交于点,点在轴上运动,连接,将沿直线折叠,点的对应点记为.
(1)求A、的坐标;
(2)若点恰好落在直线上,求的面积;
(3)如图2,若恰好与轴平行,且边与线段有交点,设交点为,在轴上是否存在点,使得是等腰三角形?若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)
(2)的面积为15或60
(3)存在,点的坐标为或或或
【解析】
【分析】(1)分别令和可求A、B两点的坐标;
(2)由勾股定理得,,由题意知,分点在上运动,点在轴的正半轴上运动,两种情况求解:①当点在上运动,如图①,由折叠的性质可知,,,则,设,则,由勾股定理得,,即,解得,根据,计算求解即可;②当点在轴的正半轴上运动,如图②,由折叠的性质可知,,,则,设,则,由勾股定理得,,即,解得,根据,计算求解即可;
(3)由轴,则轴,由题意知,,则,当,,则,,设,当时,是等腰三角形,如图③,根据,解得,或,可得或;当时,是等腰三角形,则,解得,或,则;当时,是等腰三角形,则,解得,则.
【小问1详解】
解:当时,则;当时,则有,解得:,
∴;
【小问2详解】
解:由勾股定理得,,
由题意知,分点在上运动,点在轴的正半轴上运动,两种情况求解:
①当点在上运动,如图①,
由折叠的性质可知,,,则,
设,则,
由勾股定理得,,即,解得,
;
②当点在轴的正半轴上运动,如图②,
由折叠的性质可知,,,则,
设,则,
由勾股定理得,,即,解得,
;
综上所述,的面积为15或60;
【小问3详解】
解:∵轴,则轴,
由题意知,,则,
当,,则,
,
设,当时,是等腰三角形,如图③,
,解得,或,
或;
当时,是等腰三角形,则,解得,或,
;
当时,是等腰三角形,则,解得,
;
综上所述,存在,点的坐标为或或或.
【点睛】本题考查了一次函数的解析式,折叠的性质,等腰三角形的性质,勾股定理等知识.解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用.
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