第6讲 方程的解和解方程-【专项复习】最新六年级数学下册小升初专项复习（通用版）

这是一份第6讲 方程的解和解方程-【专项复习】最新六年级数学下册小升初专项复习（通用版），共21页。试卷主要包含了夯实基础，提高拓展，精做精练，查漏补缺等内容，欢迎下载使用。
1、夯实基础。基础知识是整个数学知识体系中最根本的基石。
2、提高拓展。涉及的有关知识点要进行过关、强化训练，做到知识点之间能够融会贯通。
3、精做精练。精选几套模拟试题，其中包括历年联考试题。
4、查漏补缺。订正比做题更重要，对比错解和订正后的正确过程，就能发现错误的原因。
小学六年级小升初数学专项复习（6）
——方程的解和解方程
★ 知识归纳总结
一、方程与等式的关系
1．方程：含有未知数的等式，即：方程中必须含有未知；方程式是等式，但等式不一定是方程。
2．方程是表示两个数学式（如两个数、函数、量、运算）之间相等关系的一种等式，通常在两者之间有一等号“=”。
3．方程不用按逆向思维思考，可直接列出等式并含有未知数。
例1：看图列等式，不解答。
【分析】根据等量关系：3根香蕉的重量＝2个苹果的重量，列出等式即可。
根据等量关系：苹果的重量﹣香蕉的重量＝60kg，列出等式即可。
【解答】解：
【点评】本题的关键是找出等量关系。
例2：一个商店原有120千克苹果，又运来了10筐苹果，每筐重a千克．
（1）用式子表示出这个商店里苹果重量的总数．
（2）根据这个式子，当a＝25时，商店一共有多少千克苹果？
【分析】（1）用原来的重量120千克，加上又运来10筐苹果的重量10×a＝10a千克；
（2）把a＝25时，代人式子求出来即可．
【解答】解：（1）120+10a；
（2）当a＝25时，代人120+10a，
120+10×25
＝120+250
＝370（千克）；
答：商店一共有370千克苹果．
【点评】解题关键是根据已知条件得出数量关系，然后根据数量关系代人计算即可．
例3：养殖场有789只鸡，比鸭少69只，鸭有几只？（先写等量关系式，再用两种方法列X解．）
【分析】设鸭有X只，
方法一：鸭的只数﹣鸡的只数＝鸡比鸭少的只数；即X﹣789＝69；
方法二：鸭的只数﹣鸡比鸭少的只数＝鸡的只数，即X﹣69＝789．
【解答】解：方法一：
等量关系：鸭的只数﹣鸡的只数＝鸡比鸭少的只数；
设鸭有X只；
X﹣789＝69，
X﹣789+789＝69+789，
X＝858；
方法二：
等量关系：鸭的只数﹣鸡比鸭少的只数＝鸡的只数，
设鸭有X只；
X﹣69＝789，
X﹣69+69＝789+69，
X＝858；
答：鸭有858只．
【点评】解决本题，关键是找出等量关系，再根据等量关系列出方程解答．
例4：将卡片与相应的台阶连线．
【分析】等式是指用“＝”连接的式子，方程是指含有未知数的等式；据此可知所有的方程都是等式，但等式不一定是方程；从而连线解答．
【解答】解：见下图
【点评】此题考查等式和方程的辨识，熟记定义，才能快速辨识．
二、方程的解和解方程
1. 使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。
2. 求方程的解的过程，叫做解方程。
例1. 用方程表示下面的数量关系，并求出方程的解。
（1）3乘x减5的差所得的积是1.8。
（2）x的4.2倍与x的2.5倍的和是13.4。
（3）

【分析】（1）3（x﹣5）＝1.8，根据等式的基本性质，两边再同时除以3，两边再同时加上5；
（2）4.2x+2.5x＝13.4，先把方程左边化简为6.7x，两边再同时除以6.7；
（3）x+3x＝114，先把方程左边化简为4x，两边再同时除以4。
【解答】解：（1）3（x﹣5）＝1.8
3（x﹣5）÷3＝1.8÷3
x﹣5＝0.6
x﹣5+5＝0.6+5
x＝5.6
（2）4.2x+2.5x＝13.4
6.7x＝13.4
6.7x÷6.7＝13.4÷6.7
x＝2
（3）x+3x＝114
4x＝114
4x÷4＝114÷4
x＝28.5
【点评】熟练掌握等式的基本性质是解题的关键。
例2. 解方程。
【分析】（1）先把方程左边化简为x，两边再同时乘；
（2）方程两边同时乘，两边再同时乘。
【解答】解：（1）x﹣x＝35
x＝35
x＝35×
x＝75
（2）
x÷×＝12×
x＝3
x＝3×
x＝
【点评】熟练掌握等式的基本性质是解题的关键。
例3. 列式计算。
（1）比甲数的20%少的数是7.2，求甲数。（列方程解答）
（2）7.8减去1.8的所得的差，除以3.4，商是多少？（列综合算式）
【分析】（1）设甲数是x，根据题中的等量关系：“甲数×20%﹣＝7.2”，据此列方程解答即可；
（2）先用乘法计算1.8的是多少，再计算7.8减去1.8的是多少，最后再除以3.4。
【解答】解：（1）设甲数是x。
20%x﹣＝7.2
20%x﹣+0.4＝7.2+0.4
0.2x＝7.6
0.2x÷0.2＝7.6÷0.2
x＝38
答：甲数是38。
（2）（7.8﹣1.8×）÷3.4
＝（7.8﹣1）÷3.4
＝6.8÷3.4
＝2
答：商为2。
【点评】明确题中的等量关系：“甲数×20%﹣＝7.2”以及四则混合运算的顺序是解题的关键。
例4. 两个相邻自然数的和是87，这两个自然数分别是多少？（列方程解）
【分析】相邻的两个自然数相差1，设较小的自然数为x，则较大的自然数为（x+1），它们的和是87。根据这个等量关系列方程解答。
【解答】解：设较小的自然数为x，则较大的自然数为（x+1）。
x+（x+1）＝87
2x+1﹣1＝87﹣1
2x÷2＝86÷2
x＝43
当x＝43时，x+1＝43+1＝44
答：这两个自然数分别是43和44。
【点评】解答本题的关键是熟练掌握相邻的两个自然数相差1。
★ 拔高训练备考
一．选择题（共8小题）
1．可以用2x+13表示下面数量关系的是（ ）
A．比x的2倍少13B．比x的2倍多13
C．x与13的和的2倍
2．小娟有邮票x枚，小刚比她多2枚，小刚有18枚邮票，下列方程成立的是（ ）
A．x+2＝18B．x﹣2＝18C．18﹣2＝x+2
3．方程和等式的关系可以用下面（ ）图来表示．
A．B．
C．
4．下面式子中，（ ）是方程。
A．5.6÷p＝4B．x﹣8＞32
C．13.5+7＝20.5
5．不计算，观察比较下面关于x的方程中，（ ）的解的数值最大。
A．x+5＝bB．x×5＝bC．x÷5＝b
6．x＝10是下面（ ）算式的得数。
A．B．C．D．10x＝1
7．海淀区某小学今年六年级毕业生有693人，比去年多了10%，设去年毕业生有x人，下面所列方程正确的是（ ）
A．（1﹣10%）x＝693B．（1+10%）x＝693
C．x÷（1﹣10%）＝693D．x÷（1+10%）＝693
8．下图N点表示的数最有可能是算式（ ）的得数。
A．20﹣0.3B．0.□×16C．4.□×4.□D．4.□×5.□
二．填空题（共10小题）
9．华氏温度＝摄氏温度×1.8+32，先测出86华氏度，相当于 摄氏度．
10．6.5x+5x＝30的解是x＝ ．
11．解方程7x﹣4×3.5＝24.5时，先算 的积，再把 看作一个整体。
12．x﹣40%x的结果与互为倒数，那么x＝ ．
13．在①8+x＝16②2y＝30③17a④5×8＝40⑤a÷5＝1.7⑥4x＞80⑦0.25+y＝0.5中是等式的是 ，是方程的是 （填序号）。
14．x+5＝y+7，那么x y（填＞、＜、＝），并且x与y的差是 ．
15．先在括号里写出应用题中数量之间的相等关系，再列方程。
（1）有杨树180棵，杨树棵数比柳树棵数的4倍多20棵，柳树有x棵，等量关系 ，方程 。
（2）长方形的长是40米，长比宽的3倍少2米，长方形宽为x米，等量关系 ，方程 。
16．小明今年m岁，爸爸今年n岁，再过a年后，他们相差的岁数是 。
17．方程2.6x＝10.5的解比方程14.8﹣x＝6.8的解 。（填“大”“小”或“相等”）
18．如果3x﹣30＝60，那么5x+5＝ 。
三．判断题（共5小题）
19．76.3x＝0，x＝0，所以76.3x＝0没有解。
20．4x+5＝25是方程也是等式。
21．所有的方程都是等式，但所有的等式不一定是方程。
22．x＝4是方程2x+8＝16的解。
23．“x＝100”是方程x+60%＝160的解。
四．计算题（共1小题）
24．解方程
五．应用题（共5小题）
25．列方程解决问题。
26．学校组织五、六年级同学听抗疫英雄巡回演讲会，一共有972人。报告厅每排可以坐18人，五年级坐了26排，六年级坐了多少排？（列方程解答）
27．甲、乙两车分别从东西两镇同时开车，相向而行。相遇时甲车行了全程的多28千米，乙车行了52千米。东西两镇相距多少千米？（用方程解）
28．为防止疫情扩散，妈妈买来活性炭口罩和一次性口罩各20个。一共花了20.6元。（列方程解答）
29．公园里有松树120棵，比杨树的棵数少20%，公园里有杨树多少棵？（列方程解答）
六．解答题（共2小题）
30．请你用5x+3＝38讲一个数学故事。（可以写一写，也可以画一画）
31．某卖香蕉的商贩用的称短斤少两，称出来是500克，实际上只有400克．为了称够实际上的600克，在该秤上称得500克的基础上再多称100克，即在这把秤上称600克，这时他称够500克了吗？（请通过列式计算来说明）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．【分析】逐个用带字母的式子表示各选项，再判断。
【解答】解：比x的2倍少13是2x﹣13；
比x的2倍多13是2x+13；
x与13的和的2倍是（x+13）×2。
故选：B。
【点评】此题考查了用字母表示数的方法，关键是弄清题中数量之间的关系，再进一步解答。
2．【分析】由题意得：比x多2枚就是18枚。据此列方程即可。
【解答】解：x+2＝18
故选：A。
【点评】此题的关键是明确等量关系，然后再进一步解答。
3．【分析】等式是指用“＝”号连接的式子；而方程是指含有未知数的等式．所以等式的范围大，而方程的范围小，它们之间是包含关系．
【解答】解：等式是指用“＝”号连接的式子；而方程是指含有未知数的等式．
方程和等式的关系可以用下图来表示：
．
故选：A．
【点评】此题考查方程与等式的关系：方程一定是等式，但等式不一定是方程．
4．【分析】含有未知数的等式叫做方程，据此判断。
【解答】解：A.5.6÷p＝4，含有未知数，且是等式，所以是方程；
B.x﹣8＞32，含有未知数，但不是等式，所以不是方程；
C.13.5+7＝20.5，是等式，但不含未知数，所以不是方程。
故选：A。
【点评】熟练掌握方程的概念是解题的关键。
5．【分析】在三个选项中，依据等式的性质可得：A中x＝b﹣5，B中x＝b÷5，C中x＝5b，所以三个选项中，C中方程的解的数值最大。
【解答】解：A中x＝b﹣5，B中x＝b÷5，C中x＝5b，
因为5b＞b﹣5，5b＞b÷5，
所以三个选项中，C中方程的解的数值最大。
故选：C。
【点评】此题主要考查了根据等式的性质解方程的能力，即等式两边同时加上或同时减去、同时乘或同时除以一个数（0除外），两边仍相等。
6．【分析】把x＝10分别代入每个方程，看两边的计算结果是否相同或分别解出各方程再作出选择。
【解答】解：把x＝10代入方程x＝1
左边＝×10＝1
右边＝1
左边＝右边
符合题意；
把x＝10代入方程+x＝1
左边＝+10＝1
右边＝1
左边≠右边
不符合题意；
把x＝10代入方程﹣x＝1
左边＝﹣10＝﹣8
右边＝1
左边≠右边
不符合题意；
把x＝10代入方程10x＝1
左边＝10×10＝100
右边＝1
左边≠右边
不符合题意。
故选：A。
【点评】此题考查了解方程、方程解的意义。
7．【分析】根据“今年六年级毕业生比去年多10%”可以推算出今年六年级毕业生是去年六年级毕业生的1+10%，把去年六年级毕业生人数看作单位“1”，再根据这道题的等量关系：去年六年级毕业生人数×（1+10%）＝今年六年级毕业生人数，列方程解答。
【解答】解：根据等量关系：去年六年级毕业生人数×（1+10%）＝今年六年级毕业生人数，列方程为：（1+10%）x＝693。
故选：B。
【点评】本题考查列方程解应用题，解题关键是找出题目中的等量关系列式计算。
8．【分析】根据数轴知识可知，N的大小在17～18之间，然后结合选项中算式计算的结果，进行选择即可。
【解答】解：根据数轴知识可知，N的大小在17～18之间。
A.20﹣0.3＝19.7，所以不符合N的取值范围。
B.0.□×16，□最大填9，0.9×16的积也要小于16，所以不符合N的取值范围。
C.4.□×4.□的乘积符合题意。
D.4.□×5.□的乘积肯定大于20，所以不符合N的取值范围。
故选：C。
【点评】本题考查了数轴的认识和运用小数乘法估算的方法解决问题的能力，结合题意分析解答即可。
二．填空题（共10小题）
9．【分析】由华氏度＝摄氏度×1.8+32可得：摄氏度＝（华氏度﹣32）÷1.8，利用换算公式，把86华氏度代入公式，求得对应的摄氏度即可．
【解答】解：摄氏度：（86﹣32）÷1.8
＝54÷1.8
＝30（摄氏度）
故答案为：30．
【点评】此题考查华氏度与摄氏度的换算，记住换算公式，利用公式把数值代入公式即可求解．
10．【分析】先计算方程的左边，然后方程的两边同时除以11.5即可得到未知数的值．
【解答】解：6.5x+5x＝30
11.5x＝30
11.5x÷11.5＝30÷11.5
x＝2
故答案为：2．
【点评】本题运用等式的性质进行解答即可，注意方程的等于号要对齐．
11．【分析】解方程7x﹣4×3.5＝24.5时，应先算4×3.5，把原式变为7x﹣14＝24.5，再将7x看作一个整体，方程的两边先同时加14，然后方程的两边同时除以7，得出方程的解即可。
【解答】解：解方程7x﹣4×3.5＝24.5时，先算4×3.5的积，再把7x看作一个整体。
故答案为：4×3.5，7x。
【点评】此题考查了方程的运算顺序，先把原式变成ax﹣b＝c的形式，再进行解答。
12．【分析】的倒数是2，也就是x﹣40%x＝2，先化简方程的左边，变成0.6x＝2，再把方程的两边同时除以0.6，即可求出x的值．
【解答】解：的倒数是2，则由题意可得：
x﹣40%x＝2
0.6x＝2
0.6x÷0.6＝2÷0.6
x＝
故答案为：．
【点评】解决本题先根据倒数的含义，得出方程，再根据等式的性质解方程即可．
13．【分析】表示两个数或两个代数式相等关系的式子叫做等式；含有未知数的等式叫方程。
【解答】解：在①8+x＝16②2y＝30③17a④5×8＝40⑤a÷5＝1.7⑥4x＞80⑦0.25+y＝0.5中，是等式的是①②④⑤⑦，是方程的是①②⑤⑦。
故答案为：①②④⑤⑦；①②⑤⑦。
【点评】熟练掌握等式和方程的意义是解题的关键。
14．【分析】把x+5＝y+7的两边同时减去5，即可得到x与y的关系，再同时减去y，即可得出x与y的差．
【解答】解：x+5＝y+7
x+5﹣5＝y+7﹣5
x＝y+2
x﹣y＝y+2﹣y
x﹣y＝2
由x＝y+2可知，x＞y；
由x﹣y＝2可知，x与y的差是2．
故答案为：＞，2．
【点评】本题根据等式的性质1，对算式进行变形，从而得出x与y之间的关系．
15．【分析】（1）杨树棵数比柳树棵数的4倍多20棵，则杨树的棵数等于柳树棵数的4倍与20的和，据此列方程即可。
（2）长比宽的3倍少2米，长方形宽为x米，则长方形的长等于宽的3倍与2的差，据此列方程即可。
【解答】解：（1）有杨树180棵，杨树棵数比柳树棵数的4倍多20棵，柳树有x棵，等量关系：柳树的4倍+20棵＝杨树的棵数，方程：4x+20＝180。
（2）长方形的长是40米，长比宽的3倍少2米，长方形宽为x米，等量关系：宽的3倍﹣2米＝长40米，方程：3x﹣2＝40。
故答案为：柳树的4倍+20棵＝杨树的棵数，4x+20＝180；宽的3倍﹣2米＝长40米，3x﹣2＝40。
【点评】本题是一道有关等量关系、用方程解决问题的题目，找出题中的等量关系是解题的关键。
16．【分析】两人的年龄差是永远不变的，小明和爸爸原来相差（n﹣m）岁，若干年后仍然相差（n﹣m）岁。
【解答】解：小明今年m岁，爸爸今年n岁，再过a年后，他们相差的岁数是（n﹣m）岁。
故答案为：（n﹣m）岁。
【点评】本题主要考查用字母表示数，理解两人的年龄之差不变是解答题目的关键。
17．【分析】利用等式的性质，分别求出两个方程的解，然后进行比较即可。
【解答】解：2.6x＝10.5
2.6x÷2.6＝10.5÷2.6
x＝4.04
14.8﹣x＝6.8
14.8﹣x+x＝6.8+x
6.8+x＝14.8
6.8x﹣6.8＝14.8﹣6.8
x＝8
4.04＜8
故答案为：小。
【点评】此题考查的目的是理解掌握利用等式的性质解方程的方法及应用。
18．【分析】先解方程3x﹣30＝60，再将x的值带入算式5x+5求值即可。
【解答】解：3x﹣30＝60
3x﹣30+30＝60+30
3x÷3＝90÷3
x＝30
当x＝30时，
5x+5
＝5×30+5
＝150+5
＝155
答：如果3x﹣30＝60，那么5x+5＝155。
故答案为：155。
【点评】熟练利用等式的性质解方程和利用代入法求值是解决本题的关键。
三．判断题（共5小题）
19．【分析】76.3x＝0，x＝0，所以76.3x＝0的解是x＝0，据此判断即可。
【解答】解：76.3x＝0
76.3x÷76.3＝0÷76.3
x＝0
所以76.3x＝0的解是x＝0，
所以题中说法不正确。
故答案为：×。
【点评】此题主要考查了小数方程求解，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：x＝0也是方程的解，不能说这个方程无解。
20．【分析】方程是指含有未知数的等式；所以方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式。据此解答。
【解答】解：4x+5＝25，含有未知数，是等式，是方程。
故原题说法正确。
故答案为：√。
【点评】此题考查方程的辨识：只有含有未知数的等式才是方程。
21．【分析】方程与等式：表示两个数或两个代数式相等关系的式子叫做等式；含有未知数的等式叫方程。
【解答】解：由方程与等式的意义可知，方程都是等式，但所有的等式不一定是方程，只有含有未知数的等式才是方程。
所以原题说法正确。
故答案为：√。
【点评】熟练掌握方程与等式的关系是解题的关键。
22．【分析】将x＝4代入方程2x+8＝16，看方程的左右两边是否相等即可。
【解答】解：将x＝4代入2x+8＝16
左边＝2×4+8
＝8+8
＝16
右边＝16
左边＝右边
答：x＝4是方程2x+8＝16的解。
原题说法正确。
故答案为：√。
【点评】解答本题还可以求出方程2x+8＝16的解，看方程的解是否为x＝4即可。
23．【分析】把x＝100代入x+60%＝160，看方程是否成立即可判断对错。
【解答】解：把x＝100代入方程，
左面＝100+60%＝100.6≠右面，
所以“x＝100”不是方程x+60%＝160的解，原题说法错误。
故答案为：×。
【点评】本题主要考查方程的解的验算，关键是把x＝100代入方程，看方程左右两边是否相等。
四．计算题（共1小题）
24．【分析】（1）首先化简，然后根据等式的性质，两边同时乘4即可；
（2）首先根据等式的性质，两边同时减去，然后两边再同时即可；
（3）首先根据等式的性质，两边同时加上x，然后两边再同时减去5，最后两边同时乘即可。
【解答】解：（1）75%x﹣x＝15
0.25x＝15
0.25x×4＝15×4
x＝60
（2）×+2x＝2
+2x＝2
+2x﹣＝2﹣
2x＝
2x÷2＝÷2
x＝
（3）x＝5
x+x＝5+x
5+x＝
5+x﹣5＝﹣5
x＝
x×＝×
x＝
【点评】此题主要考查了根据等式的性质解方程，即等式两边同时加上或同时减去、同时乘或同时除以一个数（0除外），两边仍相等。
五．应用题（共5小题）
25．【分析】设黄河长度为x千米，根据黄河的长度+836千米＝长江的长度，列方程即可。
【解答】解：设黄河长度为x千米。
x+836＝6300
x＝6300﹣836
x＝5464
答：黄河长5464千米。
【点评】列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，设未知数为x，正确列出方程。
26．【分析】根据题意，设六年级坐了x排；根据题意可得：（五年级坐的排数+六年级坐的排数）×每排坐的人数＝总人数，据此列出方程进行解答。
【解答】解：设六年级坐了x排，根据题意可得：
（26+x）×18＝972
（26+x）×18÷18＝972÷18
26+x＝54
26+x﹣26＝54﹣26
x＝28
答：六年级坐了28排。
【点评】列方程解决实际问题，关健是根据题意设出未知数，找出等量关系，然后再列出方程进行解答。
27．【分析】设东西两镇相距x千米，甲车行驶的路程加上乙车行驶的路程等于东西两镇的距离，据此列方程解答即可。
【解答】解：设东西两镇相距x千米。
x+28+52＝x
x+80﹣x＝x﹣x
x＝80
×x＝80×
x＝120
答：东西两镇相距120千米。
【点评】本题考查列方程解决实际问题，明确等量关系：甲车行驶的路程加上乙车行驶的路程等于东西两镇的距离是解题的关键。
28．【分析】设每一个一次性口罩x元，根据等量关系：“20个活性炭口罩花的钱数+20个一次性口罩花的钱数＝20.6”列方程解答即可。
【解答】解：设每一个一次性口罩x元。
20×0.65+20x＝20.6
20×0.65+20x﹣13＝20.6﹣13
20x＝7.6
20x÷20＝7.6÷20
x＝0.38
答：每一个一次性口罩0.38元。
【点评】明确题中的等量关系：“20个活性炭口罩花的钱数+20个一次性口罩花的钱数＝20.6”是解题的关键。
29．【分析】根据题意，这道题的等量关系是：杨树的棵数×（1﹣20%）＝松树的棵数，根据这个等量关系，列方程解答。
【解答】解：设公园里有杨树x棵。
（1﹣20%）x＝120
0.8x＝120
0.8x÷0.8＝120÷0.8
x＝150
答：公园里有杨树150棵。
【点评】本题考查列方程解应用题，解题关键是找出题目中的等量关系：杨树的棵数×（1﹣20%）＝松树的棵数，列方程解答。
六．解答题（共2小题）
30．【分析】所讲的故事只要符合题意即可（答案不唯一）。
【解答】解：一共有38个苹果，把它们放在x个盘子里，每个盘子里放了5个苹果，还剩下3个苹果，这些盘子有多少个？（答案不唯一）。
【点评】也可以花5条相同的线段表示5x个苹果，再画一条线段表示3个苹果，它们的和表示38个苹果。
31．【分析】先求出实际重量是称重的几分之几，再求出称重600克，实际重量是多少千克，再与500千克相比，就能判断够不够了．
【解答】解：实际重量是称出重量的：400÷500＝，
称重600克，实际重量是：600×＝480（克），480克＜500克．
答；这时他称不够500克．
【点评】此题考查求一个数是另一个数的几分之几和求一个数的几分之几是多少．x﹣x＝35
75%x﹣x＝15
x＝2
x＝5