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2024年浙江省九年级数学学业水平考试冲刺模拟练习试卷（原卷+解析）
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这是一份2024年浙江省九年级数学学业水平考试冲刺模拟练习试卷（原卷+解析），文件包含2024年浙江省初中学业水平考试冲刺模拟练习试卷解析docx、2024年浙江省初中学业水平考试冲刺模拟练习试卷docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共44页， 欢迎下载使用。
试题卷Ⅰ
一.选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项符合要求）
1 .某班期末考试数学的平均成绩是83分，小亮得了90分，记作分，
小英的成绩记作分，表示得了（ ）分．
A．86B．83C．87D．80
【答案】D
【分析】本题考查正负数的概念，关键是掌握正负数表示的实际意义．由正负数的概念可计算．
【详解】解：平均成绩是83分，小亮得了90分，记作分，小英的成绩记作分，
则
表示得了80分，
故选：D．
2．如图所示的物体，其主视图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】把从正面看到的平面图形画出来即可.
【详解】解：从正面可以看到的平面图形是
故选A
杭州第19届亚运会开幕式于2023年9月23日晚在杭州奥体中心体育场举行，除现场观众外，
最高有人同时在线上参与活动． 将数字用科学记数法表示应为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】
解：,
故选：D．
4. 某校为增强学生的爱国意识，特开展中国传统文化知识竞赛，九年级共30人参加竞赛
得分情况如下表所示，则这些成绩的中位数和众数分别是（ ）
A．94分，96分B．95分，96分C．96分，96分D．96分，100分
【答案】B
【分析】根据中位数的定义和众数的定义分别求解即可．
【详解】解：由统计表得共有30个数据，第15、16个数据分别是94，96，
∴中位数是；
由统计表得数据96出现的次数最多，
∴众数为96．
故选：B．
5 .已知点，，均在反比例函数的图象上，
则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据反比例函数的图象与性质解答即可．
【详解】解：∵，
∴图象在一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，
∵，
∴．
故选：C．
6 .大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，
并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，
若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质：依题意，，根据物距为，像距为，得，即可作答．
【详解】解：如图：
依题意，
∵物距为，像距为
∴
∵蜡烛火焰倒立的像的高度是
∴
∴
故选：A
7 .如图是一把圆规的平面示意图，是支撑臂，是旋转臂，已知，
使用时，以点为支撑点，笔芯端点可绕点旋转作出圆．若支撑臂与旋转臂的夹角，
则圆规能画出的圆的半径长度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先作交于点，然后根据等腰三角形的性质和锐角三角函数即可表示出．
【详解】解：作交于点，
，
平分，点是的中点，
，
，
，
，
，
故选：A．
如图，有圆O，内部有四边形，连接和，
已知是的角平分线，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
本题考查圆内接四边形的性质，等边三角形的判定和性质，由圆内接四边形的性质，得到，求出，由角平分线的定义得到，而，推出是等边三角形，因此，关键是由圆内接四边形的性质求出．
【详解】
解：四边形是圆内接四边形，
，
，
，
平分，
，
，
是等边三角形，
．
故选：B．
9 . 如图，在中，，，
以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，
再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，
连接并延长交于点，以下结论错误的是( )
A．是的平分线B．
C．点在线段的垂直平分线上D．
【答案】D
【分析】A根据作图的过程可以判定是的角平分线；B利用角平分线的定义可以推知，则由直角三角形的性质来求的度数；C利用等角对等边可以证得，由线段垂直平分线的判定可以证明点在的垂直平分线上；D利用角所对的直角边是斜边的一半求出，进而可得，则．
【详解】解：根据作图方法可得是的平分线，故A正确，不符合题意；
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，故B正确，不符合题意；
∵，
∴，
∴点在的垂直平分线上，故C正确，不符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
则，故D错误，符合题意，
故选：D．
10 .如图，已知正方形和正方形，且A、B、E三点在一条直线上，
连接，以为边构造正方形交于点M，连接，设．
若点Q、B、F三点共线，，则n的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，正切的定义等；掌握判定方法及性质，能根据题意作出恰当的辅助线是解题的关键．
过点Q作于N，连接Q、B、F，由正方形的性质得，，，由等腰三角形的性质得，由可判定和，由可判定，结合全等三角形的性质及正切的定义，即可求解．
【详解】解：过点Q作于N，连接Q、B、F，
四边形、四边形是正方形，
，，
，
点Q、B、F三点共线，
，
、都是等腰直角三角形，
，
，
，
，
在和中，
，
（），
，，
，
，
设，
则，
，
，
，
在和中，
，
（），
，
，
，
在和中，
，
（），
，
，
在中，
，
在中，
，
，
，
．
故选：B．
试题卷Ⅱ
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
11. 计算：_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答．
【详解】解：
故答案为：．
11 .分解因式：3a2﹣12= ．
【答案】3（a+2）（a﹣2）
【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式．
【详解】3a2﹣12
=3（a2﹣4）
=3（a+2）（a﹣2）．
13. 13. 在一个不透明的口袋中装有若干个只有颜色不同的球，如果已知袋中只有4个红球，
且摸出红球的概率为，那么袋中的球共有 __ 个．
【答案】10
【分析】设袋中共有x个球，再由袋中只装有4个红球，且摸出红球的概率为求出x的值即可．
【详解】解：设袋中共有x个球，
∵袋中只装有4个红球，且摸出红球的概率为，
∴，
解得x=10．
经检验，x=10是分式方程的解，且符合题意，
故答案为：10．
图1是一个地铁站人口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，
双翼边缘的端点A与B之间的距离为12cm，双翼的边缘，
且与闸机侧立面夹角．
当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．
过作于，过作于，则可得和的长，
依据端点与之间的距离为，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度．
【详解】解：如图所示过作于，过作于，
则 中，，
同理可得，，
又点与之间的距离为，
通过闸机的物体的最大宽度为，
故答案为：76．
如图，矩形的顶点、分别在反比例函数与的图象上，
点、在轴上，，分别交轴于点、F，则阴影部分的面积为__________
【答案】5
【分析】设A（a，），a＞0，根据题意，利用函数关系式表示出线段OD，OE，OC，OF，EF，
利用三角形的面积公式，结论可求．
【详解】解：设点A的坐标为（a，），a＞0．
则OD＝a，OE＝．
∴点B的纵坐标为．
∴点B的横坐标为﹣．
∴OC＝．
∴BE＝．
∵AB∥CD，
∴，
∴＝．
∴EF＝OE＝，OF＝OE＝．
∴＝1．
＝4．
∴S阴影＝S△BEF+S△ODF＝1+4＝5．
故答案为：5
如图，的半径为4，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，
且、与x轴分别交于A、B两点．若点A、点B关于原点O对称，则当取最大值时，
点A的坐标为____________．
【答案】
【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，勾股定理，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出取得最小值时点的位置．
由中知要使取得最大值，则需取得最大值，
连接，并延长交于点，当点位于位置时，取得最大值，据此求解可得．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∵点、点关于原点对称，
∴，
∴，
若要使取得最大值，则需取得最大值，
连接，并延长交于点，当点位于位置时，取得最大值，
过点作轴于点，
则、，
∴，
又∵，
∴，
∴；
∴，
即点A的坐标为，
故答案为：．
三、解答题（本题有8个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （1）计算：
（2）解不等式组：
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）先去绝对值，计算负整数指数幂，化最简二次根式，计算特殊角的三角函数值，再根据实数的混合运算法则计算即可；
（2）分别解出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则求出其公共解即可．
【详解】解：（1）
；
（2），
解不等式①，得：，
解不等式②，得：
∴原不等式组的解集为．
2024年3月22日是第32届世界水日，为了解同学们对节约和保护水资源知识的掌握情况，
学校开展了节约和保护水资源的知识竞赛，从全校1200名学生中随机抽取部分学生的竞赛成绩
进行调查分析，并将成绩（满分：100分）制成如图所示的扇形统计图和条形统计图．
请根据统计图回答下列问题：
（1）补全上面不完整的条形统计图．
（2）直接写出这些学生成绩的中位数和众数．
（3）根据比赛规则，98分及以上（含98分）的学生有资格进入第二轮知识竞赛环节，请你估计全校1200名学生进入第二轮知识竞赛环节的人数是多少？
【答案】（1）见解析 （2）中位数为96,众数为98
（3）540名
【解析】
【分析】本题考查扇形统计图和条形统计图，中位数和众数等，由样本所占百分比求总体数量，解题的关键是理解题意，结合图形求解．
（1）结合图形求出被抽查的学生总数：（人），再利用分数为94分的人数所占比为：，求出分数为94分的人数为：人，补充条形统计图；
（2）结合图形找出中位数所在的组别即可；观察出现频次最多的组别即为众数；
（3）求出98分以上的学生所占的百分比，再乘以1200即可．
【小问1详解】
解：由图象可知：分数为92分的人数为：6，其所占比为：．
∴随机被抽查的学生总数：（人），
∵分数为94分的人数所占比为：．
∴分数为94分的人数为：人，
补充条形统计图如下：
【小问2详解】
这60名学生成绩从大到小排列后处于中间的两个数为第30、31个，分别为96，96，
∴中位数为，
由（1）中的条形统计图可知出现次数最多的分数是98分，
∴众数为98．
【小问3详解】
解：（名），
答：估计全校1200名学生进入第二轮知识竞赛环节的人数是540名．
19 . 第19届亚运会”于2023年9月23日至10月8日在杭州举办第19届亚运会，吉祥物为“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”，如图，某校准备举行“第19届亚运会”知识竞赛活动，拟购买30套吉祥物（“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”）作为竞赛奖品．某商店有甲，乙两种规格，其中乙规格比甲规格每套贵20元．
(1)若用700元购买甲规格与用900元购买乙规格的数量相同，求甲、乙两种规格每套吉祥物的价格；
(2)在（1）的条件下，若购买甲规格数量不超过乙规格数量的2倍，如何购买才能使总费用最少？
【答案】(1)甲规格吉祥物每套价格为70元，乙规格每套为90元
(2)乙规格购买10套、甲规格购买20套总费用最少
【分析】
（1）根据等量关系：700元购买甲规格数量900元购买乙规格的数量，列出方程求解即可；
（2）设乙规格购买套，根据题意列出总费用与所满足的关系式为一次函数，再求出的取值范围，用一次函数的增减性可求解．
【详解】（1）
解：设甲规格吉祥物每套价格元，则乙规格每套价格为元，
根据题意，得，
解得．
经检验，是所列方程的根，且符合实际意义．
．
答：甲规格吉祥物每套价格为70元，乙规格每套为90元．
（2）
解：设乙规格购买套，甲规格购买套，总费用为元
根据题意，得
，
解得，
，
，
随的增大而增大．
当时，最小值．
故乙规格购买10套、甲规格购买20套总费用最少．
20. 小丽家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热……，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答问题：
（1）当时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式；
（2）求图中t的值；
（3）若小丽在通电开机后即外出散步，请你预测小丽散步70分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少℃？
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）利用待定系数法求反比例函数解析式，再将代入解析式，即可得的值；
（3）由题可知，饮水机的水温呈周期性变化，利用周期进行计算．
【小问1详解】
解：当时，设．
将点，代入上式，
得，解得．
【小问2详解】
解：当时，设，
将点代入上式，
得，解得，
，
将点代入，
得，解得．
【小问3详解】
解：由题可知，开机分钟与开机分钟时饮水机的水温相等，
当时，．
小丽散步分钟回到家时，饮水机内的温度约为．
21．如图1为放置在水平桌面l上的台灯，底座的高为，长度均为的连杆，与始终在同一平面上．
(1)转动连杆，，使成平角，，如图2，求连杆端点D离桌面l的高度．
(2)将（1）中的连杆再绕点C逆时针旋转，使，此时连杆端点D离桌面l的高度是增加还是减少？增加或减少了多少？（精确到，参考数据：，）
【答案】(1)
(2)减少了
【分析】
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
（1）如图2中，作于O．解直角三角形求出即可解决问题．
（2）作DF⊥l于F，于P，于G，于H．则四边形是矩形，求出，再求出即可解决问题．
【详解】（1）如图2中，作于O．
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）作DF⊥l于F，于P，于G，于H．则四边形是矩形，
∵，
∴，
∵，
∴，
，，
∴
，
∴下降高度：
．
22.如图1，灌溉车为公路绿化带草坪浇水，图2是灌溉车浇水操作时的截面图．现将灌溉车喷出水的上、下边缘线近似地看作平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象．已知喷水口H离地竖直高度为，草坪水平宽度，竖直高度忽略不计.上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，设灌溉车到草坪的距离为d（单位：m）．
(1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程的长；
(2)下边缘抛物线落地点B的坐标为______；
(3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个草坪，d的取值范围为______．
【答案】(1)喷出水的最大射程为
(2)
(3)
【分析】本题是二次函数的实际应用，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键．
（1）由顶点得，设，再根据抛物线过点，可得a的值，从而解决问题；
（2）由对称轴知点的对称点为，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，可得点B的坐标；
（3）根据点坐标以及草坪宽度可得结论．
【详解】（1）解：由题意得是上边缘抛物线的顶点，
设，
又∵抛物线过点，
∴
∴，
∴上边缘抛物线的函数解析式为，
当时，，
解得（舍去），
∴喷出水的最大射程为；
（2）解：∵对称轴为直线，
∴点的对称点为，
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
∴点B的坐标为，
故答案为：；
（3）解：∵，
，
，，
，，
，
∴要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个草坪，d的取值范围为，
故答案为：．
23. 已知：是的外接圆，连接并延长交于点．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，点是弧上一点，连接，于点，且，求的值；
（3）在（2）的条件下，若，，求线段的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）1 （3）
【解析】
【分析】（1）连接，根据三角形外角定理得，由圆心角是圆周角的一半得，再用外角定理得，两边加上等腰的两个相等底角得，即得；
（2）根据和的内角和，根据对顶角相等及第（1）问结论，转化成与，，相关的角，最后得到，即得；
（3）过作于，连接，如图所示，根据（1）（2）中结论，由垂径定理及等腰直角三角形判定与性质确定，设，则，由三角形相似的判定与性质，根据相似比列方程求解得到的值，在中，由勾股定理求解即可得到答案．
【小问1详解】
证明：连接，如图所示：
，，
，即，
，
，
，而，
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：设与交于点，如图所示：
，且，
，
，
，
，
由（1）知，
，
，
，即，
，即，
，
；
【小问3详解】
解：过作于，连接，如图所示：
由（1）知，由（2）知，
，
，
是等腰直角三角形，即，
设，则，
，，
，
，即，解得，
在等腰中，，
，
在中，由勾股定理可得．
24 .【基础巩固】
（1）如图①，在四边形中，对角线平分，，求证：．
【尝试应用】
（2）如图②，在四边形中，，，对角线平分，若的面积为6，求对角线的长．
【拓展提高】
（3）如图③，在中，，，，D是上一点，连结，点E，P分别在，上，连结，，，若，，，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【分析】（1）根据两组对角相等证明，利用相似三角形对应边成比例即可证明；
（2）利用三角形内角和定理，通过导角证明，同（1）推出，利用的面积求出，即可求解；
（3）过点E作于点H，于点N，作交的延长线于点M，通过证明，，求出和，进而求出，再证求出，最后证明，即可求出的值．
【详解】解：（1）证明：平分，
，
又，
，
，
；
（2），平分，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
；
（3）如图，过点E作于点H，于点N，作交的延长线于点M，
，，
，，
在中，，，
，
，
；
，
，
又，
，
，即，
，
同理，可证，
，即，
，
，，
，
四边形是矩形，
，
；
，
，
，
，
，即，
又，即，
，
，
；
，
，，
，
．
成绩/分
90
92
94
96
100
人数/人
2
4
9
10
5
试题卷Ⅰ
一.选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项符合要求）
1 .某班期末考试数学的平均成绩是83分，小亮得了90分，记作分，
小英的成绩记作分，表示得了（ ）分．
A．86B．83C．87D．80
【答案】D
【分析】本题考查正负数的概念，关键是掌握正负数表示的实际意义．由正负数的概念可计算．
【详解】解：平均成绩是83分，小亮得了90分，记作分，小英的成绩记作分，
则
表示得了80分，
故选：D．
2．如图所示的物体，其主视图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】把从正面看到的平面图形画出来即可.
【详解】解：从正面可以看到的平面图形是
故选A
杭州第19届亚运会开幕式于2023年9月23日晚在杭州奥体中心体育场举行，除现场观众外，
最高有人同时在线上参与活动． 将数字用科学记数法表示应为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】
解：,
故选：D．
4. 某校为增强学生的爱国意识，特开展中国传统文化知识竞赛，九年级共30人参加竞赛
得分情况如下表所示，则这些成绩的中位数和众数分别是（ ）
A．94分，96分B．95分，96分C．96分，96分D．96分，100分
【答案】B
【分析】根据中位数的定义和众数的定义分别求解即可．
【详解】解：由统计表得共有30个数据，第15、16个数据分别是94，96，
∴中位数是；
由统计表得数据96出现的次数最多，
∴众数为96．
故选：B．
5 .已知点，，均在反比例函数的图象上，
则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据反比例函数的图象与性质解答即可．
【详解】解：∵，
∴图象在一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，
∵，
∴．
故选：C．
6 .大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，
并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，
若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质：依题意，，根据物距为，像距为，得，即可作答．
【详解】解：如图：
依题意，
∵物距为，像距为
∴
∵蜡烛火焰倒立的像的高度是
∴
∴
故选：A
7 .如图是一把圆规的平面示意图，是支撑臂，是旋转臂，已知，
使用时，以点为支撑点，笔芯端点可绕点旋转作出圆．若支撑臂与旋转臂的夹角，
则圆规能画出的圆的半径长度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先作交于点，然后根据等腰三角形的性质和锐角三角函数即可表示出．
【详解】解：作交于点，
，
平分，点是的中点，
，
，
，
，
，
故选：A．
如图，有圆O，内部有四边形，连接和，
已知是的角平分线，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
本题考查圆内接四边形的性质，等边三角形的判定和性质，由圆内接四边形的性质，得到，求出，由角平分线的定义得到，而，推出是等边三角形，因此，关键是由圆内接四边形的性质求出．
【详解】
解：四边形是圆内接四边形，
，
，
，
平分，
，
，
是等边三角形，
．
故选：B．
9 . 如图，在中，，，
以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，
再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，
连接并延长交于点，以下结论错误的是( )
A．是的平分线B．
C．点在线段的垂直平分线上D．
【答案】D
【分析】A根据作图的过程可以判定是的角平分线；B利用角平分线的定义可以推知，则由直角三角形的性质来求的度数；C利用等角对等边可以证得，由线段垂直平分线的判定可以证明点在的垂直平分线上；D利用角所对的直角边是斜边的一半求出，进而可得，则．
【详解】解：根据作图方法可得是的平分线，故A正确，不符合题意；
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，故B正确，不符合题意；
∵，
∴，
∴点在的垂直平分线上，故C正确，不符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
则，故D错误，符合题意，
故选：D．
10 .如图，已知正方形和正方形，且A、B、E三点在一条直线上，
连接，以为边构造正方形交于点M，连接，设．
若点Q、B、F三点共线，，则n的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，正切的定义等；掌握判定方法及性质，能根据题意作出恰当的辅助线是解题的关键．
过点Q作于N，连接Q、B、F，由正方形的性质得，，，由等腰三角形的性质得，由可判定和，由可判定，结合全等三角形的性质及正切的定义，即可求解．
【详解】解：过点Q作于N，连接Q、B、F，
四边形、四边形是正方形，
，，
，
点Q、B、F三点共线，
，
、都是等腰直角三角形，
，
，
，
，
在和中，
，
（），
，，
，
，
设，
则，
，
，
，
在和中，
，
（），
，
，
，
在和中，
，
（），
，
，
在中，
，
在中，
，
，
，
．
故选：B．
试题卷Ⅱ
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
11. 计算：_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答．
【详解】解：
故答案为：．
11 .分解因式：3a2﹣12= ．
【答案】3（a+2）（a﹣2）
【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式．
【详解】3a2﹣12
=3（a2﹣4）
=3（a+2）（a﹣2）．
13. 13. 在一个不透明的口袋中装有若干个只有颜色不同的球，如果已知袋中只有4个红球，
且摸出红球的概率为，那么袋中的球共有 __ 个．
【答案】10
【分析】设袋中共有x个球，再由袋中只装有4个红球，且摸出红球的概率为求出x的值即可．
【详解】解：设袋中共有x个球，
∵袋中只装有4个红球，且摸出红球的概率为，
∴，
解得x=10．
经检验，x=10是分式方程的解，且符合题意，
故答案为：10．
图1是一个地铁站人口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，
双翼边缘的端点A与B之间的距离为12cm，双翼的边缘，
且与闸机侧立面夹角．
当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．
过作于，过作于，则可得和的长，
依据端点与之间的距离为，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度．
【详解】解：如图所示过作于，过作于，
则 中，，
同理可得，，
又点与之间的距离为，
通过闸机的物体的最大宽度为，
故答案为：76．
如图，矩形的顶点、分别在反比例函数与的图象上，
点、在轴上，，分别交轴于点、F，则阴影部分的面积为__________
【答案】5
【分析】设A（a，），a＞0，根据题意，利用函数关系式表示出线段OD，OE，OC，OF，EF，
利用三角形的面积公式，结论可求．
【详解】解：设点A的坐标为（a，），a＞0．
则OD＝a，OE＝．
∴点B的纵坐标为．
∴点B的横坐标为﹣．
∴OC＝．
∴BE＝．
∵AB∥CD，
∴，
∴＝．
∴EF＝OE＝，OF＝OE＝．
∴＝1．
＝4．
∴S阴影＝S△BEF+S△ODF＝1+4＝5．
故答案为：5
如图，的半径为4，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，
且、与x轴分别交于A、B两点．若点A、点B关于原点O对称，则当取最大值时，
点A的坐标为____________．
【答案】
【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，勾股定理，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出取得最小值时点的位置．
由中知要使取得最大值，则需取得最大值，
连接，并延长交于点，当点位于位置时，取得最大值，据此求解可得．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∵点、点关于原点对称，
∴，
∴，
若要使取得最大值，则需取得最大值，
连接，并延长交于点，当点位于位置时，取得最大值，
过点作轴于点，
则、，
∴，
又∵，
∴，
∴；
∴，
即点A的坐标为，
故答案为：．
三、解答题（本题有8个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （1）计算：
（2）解不等式组：
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）先去绝对值，计算负整数指数幂，化最简二次根式，计算特殊角的三角函数值，再根据实数的混合运算法则计算即可；
（2）分别解出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则求出其公共解即可．
【详解】解：（1）
；
（2），
解不等式①，得：，
解不等式②，得：
∴原不等式组的解集为．
2024年3月22日是第32届世界水日，为了解同学们对节约和保护水资源知识的掌握情况，
学校开展了节约和保护水资源的知识竞赛，从全校1200名学生中随机抽取部分学生的竞赛成绩
进行调查分析，并将成绩（满分：100分）制成如图所示的扇形统计图和条形统计图．
请根据统计图回答下列问题：
（1）补全上面不完整的条形统计图．
（2）直接写出这些学生成绩的中位数和众数．
（3）根据比赛规则，98分及以上（含98分）的学生有资格进入第二轮知识竞赛环节，请你估计全校1200名学生进入第二轮知识竞赛环节的人数是多少？
【答案】（1）见解析 （2）中位数为96,众数为98
（3）540名
【解析】
【分析】本题考查扇形统计图和条形统计图，中位数和众数等，由样本所占百分比求总体数量，解题的关键是理解题意，结合图形求解．
（1）结合图形求出被抽查的学生总数：（人），再利用分数为94分的人数所占比为：，求出分数为94分的人数为：人，补充条形统计图；
（2）结合图形找出中位数所在的组别即可；观察出现频次最多的组别即为众数；
（3）求出98分以上的学生所占的百分比，再乘以1200即可．
【小问1详解】
解：由图象可知：分数为92分的人数为：6，其所占比为：．
∴随机被抽查的学生总数：（人），
∵分数为94分的人数所占比为：．
∴分数为94分的人数为：人，
补充条形统计图如下：
【小问2详解】
这60名学生成绩从大到小排列后处于中间的两个数为第30、31个，分别为96，96，
∴中位数为，
由（1）中的条形统计图可知出现次数最多的分数是98分，
∴众数为98．
【小问3详解】
解：（名），
答：估计全校1200名学生进入第二轮知识竞赛环节的人数是540名．
19 . 第19届亚运会”于2023年9月23日至10月8日在杭州举办第19届亚运会，吉祥物为“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”，如图，某校准备举行“第19届亚运会”知识竞赛活动，拟购买30套吉祥物（“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”）作为竞赛奖品．某商店有甲，乙两种规格，其中乙规格比甲规格每套贵20元．
(1)若用700元购买甲规格与用900元购买乙规格的数量相同，求甲、乙两种规格每套吉祥物的价格；
(2)在（1）的条件下，若购买甲规格数量不超过乙规格数量的2倍，如何购买才能使总费用最少？
【答案】(1)甲规格吉祥物每套价格为70元，乙规格每套为90元
(2)乙规格购买10套、甲规格购买20套总费用最少
【分析】
（1）根据等量关系：700元购买甲规格数量900元购买乙规格的数量，列出方程求解即可；
（2）设乙规格购买套，根据题意列出总费用与所满足的关系式为一次函数，再求出的取值范围，用一次函数的增减性可求解．
【详解】（1）
解：设甲规格吉祥物每套价格元，则乙规格每套价格为元，
根据题意，得，
解得．
经检验，是所列方程的根，且符合实际意义．
．
答：甲规格吉祥物每套价格为70元，乙规格每套为90元．
（2）
解：设乙规格购买套，甲规格购买套，总费用为元
根据题意，得
，
解得，
，
，
随的增大而增大．
当时，最小值．
故乙规格购买10套、甲规格购买20套总费用最少．
20. 小丽家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热……，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答问题：
（1）当时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式；
（2）求图中t的值；
（3）若小丽在通电开机后即外出散步，请你预测小丽散步70分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少℃？
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）利用待定系数法求反比例函数解析式，再将代入解析式，即可得的值；
（3）由题可知，饮水机的水温呈周期性变化，利用周期进行计算．
【小问1详解】
解：当时，设．
将点，代入上式，
得，解得．
【小问2详解】
解：当时，设，
将点代入上式，
得，解得，
，
将点代入，
得，解得．
【小问3详解】
解：由题可知，开机分钟与开机分钟时饮水机的水温相等，
当时，．
小丽散步分钟回到家时，饮水机内的温度约为．
21．如图1为放置在水平桌面l上的台灯，底座的高为，长度均为的连杆，与始终在同一平面上．
(1)转动连杆，，使成平角，，如图2，求连杆端点D离桌面l的高度．
(2)将（1）中的连杆再绕点C逆时针旋转，使，此时连杆端点D离桌面l的高度是增加还是减少？增加或减少了多少？（精确到，参考数据：，）
【答案】(1)
(2)减少了
【分析】
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
（1）如图2中，作于O．解直角三角形求出即可解决问题．
（2）作DF⊥l于F，于P，于G，于H．则四边形是矩形，求出，再求出即可解决问题．
【详解】（1）如图2中，作于O．
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）作DF⊥l于F，于P，于G，于H．则四边形是矩形，
∵，
∴，
∵，
∴，
，，
∴
，
∴下降高度：
．
22.如图1，灌溉车为公路绿化带草坪浇水，图2是灌溉车浇水操作时的截面图．现将灌溉车喷出水的上、下边缘线近似地看作平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象．已知喷水口H离地竖直高度为，草坪水平宽度，竖直高度忽略不计.上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，设灌溉车到草坪的距离为d（单位：m）．
(1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程的长；
(2)下边缘抛物线落地点B的坐标为______；
(3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个草坪，d的取值范围为______．
【答案】(1)喷出水的最大射程为
(2)
(3)
【分析】本题是二次函数的实际应用，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键．
（1）由顶点得，设，再根据抛物线过点，可得a的值，从而解决问题；
（2）由对称轴知点的对称点为，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，可得点B的坐标；
（3）根据点坐标以及草坪宽度可得结论．
【详解】（1）解：由题意得是上边缘抛物线的顶点，
设，
又∵抛物线过点，
∴
∴，
∴上边缘抛物线的函数解析式为，
当时，，
解得（舍去），
∴喷出水的最大射程为；
（2）解：∵对称轴为直线，
∴点的对称点为，
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
∴点B的坐标为，
故答案为：；
（3）解：∵，
，
，，
，，
，
∴要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个草坪，d的取值范围为，
故答案为：．
23. 已知：是的外接圆，连接并延长交于点．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，点是弧上一点，连接，于点，且，求的值；
（3）在（2）的条件下，若，，求线段的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）1 （3）
【解析】
【分析】（1）连接，根据三角形外角定理得，由圆心角是圆周角的一半得，再用外角定理得，两边加上等腰的两个相等底角得，即得；
（2）根据和的内角和，根据对顶角相等及第（1）问结论，转化成与，，相关的角，最后得到，即得；
（3）过作于，连接，如图所示，根据（1）（2）中结论，由垂径定理及等腰直角三角形判定与性质确定，设，则，由三角形相似的判定与性质，根据相似比列方程求解得到的值，在中，由勾股定理求解即可得到答案．
【小问1详解】
证明：连接，如图所示：
，，
，即，
，
，
，而，
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：设与交于点，如图所示：
，且，
，
，
，
，
由（1）知，
，
，
，即，
，即，
，
；
【小问3详解】
解：过作于，连接，如图所示：
由（1）知，由（2）知，
，
，
是等腰直角三角形，即，
设，则，
，，
，
，即，解得，
在等腰中，，
，
在中，由勾股定理可得．
24 .【基础巩固】
（1）如图①，在四边形中，对角线平分，，求证：．
【尝试应用】
（2）如图②，在四边形中，，，对角线平分，若的面积为6，求对角线的长．
【拓展提高】
（3）如图③，在中，，，，D是上一点，连结，点E，P分别在，上，连结，，，若，，，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【分析】（1）根据两组对角相等证明，利用相似三角形对应边成比例即可证明；
（2）利用三角形内角和定理，通过导角证明，同（1）推出，利用的面积求出，即可求解；
（3）过点E作于点H，于点N，作交的延长线于点M，通过证明，，求出和，进而求出，再证求出，最后证明，即可求出的值．
【详解】解：（1）证明：平分，
，
又，
，
，
；
（2），平分，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
；
（3）如图，过点E作于点H，于点N，作交的延长线于点M，
，，
，，
在中，，，
，
，
；
，
，
又，
，
，即，
，
同理，可证，
，即，
，
，，
，
四边形是矩形，
，
；
，
，
，
，
，即，
又，即，
，
，
；
，
，，
，
．
成绩/分
90
92
94
96
100
人数/人
2
4
9
10
5
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