2024年陕西省咸阳市礼泉县中考二模数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟．
2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）．
3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效．
4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑．
5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题共21分）
一、选择题（共7小题，每小题3分，计21分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了相反数的定义即只有符号不同的两个数，根据定义计算判断即可．
【详解】的相反数是．
故选B．
2. 下列四个几何体中，左视图是矩形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了简单几何体的三视图，熟练掌握常见几何体的三视图是解题的关键．根据左视图是从左面看到的视图，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A． 球的左视图是圆，不符合题意；
B． 这个三棱柱的左视图是三角形，不符合题意．
C．圆锥的左视图是等腰三角形，不符合题意；
D． 圆柱的左视图是矩形，符合题意；
故选：D．
3. 如图是一款手推车的平面示意图，其中，点在上，交于点，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，根据平行线的性质可得，根据三角形的外角性质可得，据此即可求解，掌握平行线和三角形的外角性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：．
4. 计算：（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了积的乘方，单项式乘以单项式，先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式即可得到答案．
【详解】解：
，
故选：D．
5. 如图，一次函数的图象与的图象相交于点A，则方程组的解是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一次函数和二元一次方程组的关系，先求出点的坐标，再根据方程组与函数的关系求解即可，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：设点的坐标为，
点在直线上，
，
，
点的坐标为，
一次函数的图象与的图象相交于点A，
方程组的解是，
故选：B．
6. 如图，是的直径，是的弦，交于点D，连接、，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，圆周角定理，等腰三角形的性质等知识点，由得，由三角形内角和得，等量代换得，利用等腰三角形的性质可得，利用圆周角定理可得，进而即可得解，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
7. 已知抛物线（、、为常数，且）的对称轴为，与轴交于、两点，若，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
由抛物线的对称性可得，、关于直线对称，则，进而可判断A的正误；由题意知，抛物线与轴有两个不同的交点，则，进而可判断B的正误；由，可知图象开口向上，当时，随的增大而增大，由，可知当时，，进而可判断C的正误；由二次函数的图象可知，当时，，则，进而可判断D的正误．
【详解】解：由抛物线的对称性可得，、关于直线对称，
∵，
∴，A错误，故不符合要求；
由题意知，抛物线与轴有两个不同的交点，
∴，B错误，故不符合要求；
∵，
∴图象开口向上，当时，随的增大而增大，
∵，
∴当时，，C正确，故符合要求；
由二次函数的图象可知，当时，，
∴，D错误，故不符合要求；
故选：C．
第二部分（非选择题 共99分）
二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）
8. 点A、B在数轴上的位置如图所示，点A表示的数为，，则点B表示的数为___________．
【答案】4
【解析】
【分析】根据平移规律计算，，解答即可，本题考查了数轴上的平移，熟练掌握平移规律是解题的关键．
【详解】根据平移规律，得，，
故点B表示数是4，
故答案为：4．
9. 若二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_____．
【答案】x＜2
【解析】
【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴2﹣x＞0，
解得：x＜2．
故答案为x＜2．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
10. 如图，点O是正八边形的中心，连接，若，则点O到的距离为___________．
【答案】3
【解析】
【分析】连接，过点O作于点M，根据题意，得,，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到，本题考查了正多边形的性质，垂径定理，直角三角形的特征，熟练掌握正多边形的性质，垂径定理是解题的关键．
【详解】连接，
过点O作于点M，
根据题意，得,，
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到，
故答案为：3．
11. 《直指算法统宗》中有如下问题：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙三十六石，问：各该若干？”其大意为：“今有白米一百八十石，甲、乙、丙三人来分，甲、乙白米相差数与乙、丙白米相差数一样（甲的白米比乙多，乙的白米比丙多），只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少白米？”设乙分得白米x石，则可列方程为______________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一元一次方程的应用，设乙分得白米石，得出甲、丙分得白米数，由甲、乙、丙三人分得之和为180石列出方程即可．找准等量关系来列方程是解题的关键．
详解】解：若设乙分得白米石，
∵甲、乙白米相差数与乙、丙白米相差数一样，甲比丙多分三十六石，
∴甲、乙白米相差数与乙、丙白米相差数都是18石，
∴甲分得白米石，丙分得白米石，
又∵甲、乙、丙三人来分这一百八十石，即甲、乙、丙三人分得之和为180石，
∴可得方程：．
故答案为：．
12. 如图，是反比例函数（为常数且，）的图象的一部分，则的值可能是_____．（只写一个）
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的图象及的几何意义，在反比例函数图象上取一点，过作轴于点，作轴于点，结合图象及根据比例系数的几何意义可得：且，则可求解，熟练掌握反比例函数的图象及的几何意义是解题的关键．
【详解】如图，在反比例函数图象上取一点，过作轴于点，作轴于点，
结合图象及根据比例系数的几何意义可得：且，
∴，
∴的值可以为．（答案不唯一）
13. 如图，四边形是边长为6的菱形，，点E、F分别是、边上的动点（不与B、C、D重合），连接、、，若是等边三角形，则周长的最小值为______．（结果保留根号）
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、垂线段最短、解三角形等知识点，解题的关键是正确作出辅助线．
连接，易证与是等边三角形，再结合等边三角形的性质可证，则，于是的周长转化为，由于当时最短，于是即可得到答案．
【详解】如图，连接．
∵，四边形是菱形，
∴，则是等边三角形．
∴，，
由是等边三角形知，，
∵，，
∴．
由菱形知，，，
∴也是等边三角形，则．
在与中，，
∴，
∴．
∴的周长．
当为的边上的高时，最短，此时的周长最短．
此时，．
∴周长的最短值为．
故答案为：．
三、解答题（共14小题，计81分．解答应写出过程）
14. 计算：．
【答案】0
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根、立方根、负整数指数幂、特殊角的三角函数值，先求出算术平方根、立方根、负整数指数幂、特殊角的三角函数值，进而即可求解．
【详解】解：原式
．
15. 解不等式组：，并把它的解集在如图所示的数轴上表示出来．
【答案】，见解析
【解析】
【分析】先求出每一个不等式的解集，后确定不等式组的解集，本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练进行不等式求解是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴解不等式①，得，解不等式②，得，
∴不等式组的解集为，数轴表示如下：
．
16. 化简：
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查分式的化简，掌握因式分解相关知识以及分式运算的相关法则是解题的关键．首先进行括号里面的分式的减法运算，并将除法转化为乘法，利用平方差公式和完全平方公式将分子和分母进行因式分解，然后约分即可．
【详解】解：原式
．
17. 如图，在中，利用尺规作图法求作，使得与的交点C到点O的距离最短．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查复杂作图，垂线段最短，解题的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图（过直线外一点作已知直线的垂线），逐步操作．过点作于点，以点为圆心，为半径画圆即可．
【详解】解：过点作于点，以点为圆心，为半径画圆，
∴点到的距离为的长，
此时与的交点到圆心的距离最短，
则即为所作．
18. 如图，在四边形中，，连接、，且，求证：四边形是矩形．
【答案】证明见解析．
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定，全等三角形的判定与性质，先证明，根据性质得，从而有四边形是平行四边形，最后由即可求证，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】证明：∵，
∴，和是直角三角形，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形．
19. 某校花费560元购入、两种笔记本，其中笔记本每本5元，笔记本每本4元，购买笔记本的数量是笔记本的2倍多10本，求购买、两种笔记本的数量分别是多少？
【答案】购买笔记本40本，购买笔记本90本
【解析】
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设购买的笔记本本，则购买笔记本本，根据题意列出一元一次方程并求解，即可获得答案．
【详解】解：设购买的笔记本本，则购买笔记本本，
由题意得，
解得，则（本），
答：购买笔记本40本，购买笔记本90本．
20. 已知，且．求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了因式分解的应用，把两式相减得，把右式移项到左边，利用平方差公式和提公因式法对等式的左式因式分解，根据两式相乘积为，必有一个因式为即可求解，掌握因式分解的应用是解题的关键．
【详解】证明：∵，
∴两式相减得，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
21. 甲、乙两人玩转转盘游戏，如图所示的转盘被平均分成三个面积相等的扇形区域．额色分别为红、黄、蓝，转动转盘时，指针指向的颜色，即为转出的颜色（如果指针指在两区域的分界线上，则重转一次），甲转动转盘两次，乙不看甲转出的结果猜测两次转出的颜色相同．若乙的猜测与甲转出的结果相同，则乙获胜；若乙的猜测与甲转出的结果不同，则甲获胜．
（1）甲转出的结果为“两次转出的颜色中没有红色”是_________事件；（填“确定”或“随机”）
（2）请用列表或画树状图的方法求乙获胜的概率．
【答案】（1）随机 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了事件的分类，树状图法或列表法求解概率：
（1）根据两次转出的颜色种可能有红色，也有可能没有红色即可得到答案；
（2）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到转出两种颜色相同的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【小问1详解】
解：∵一共有3种颜色，每一种颜色被转出的可能性相同，
∴两次转出的颜色种可能有红色，也有可能没有红色，
∴甲转出的结果为“两次转出的颜色中没有红色”是随机事件，
故答案为：随机；
【小问2详解】
解：画树状图如下：
由图可知共有9种等可能的结果，其中两次转出的颜色相同的结果有3种，
乙获胜的概率为．
22. 西安城墙是中国现存规模最大、保存最完整的古代城垣．李华和张明相约去城墙游玩并打算用学过的知识测量城墙的高度．如图，是城墙外的一棵树，李华首先在城墙上从A处观察树顶C，测得树顶C的俯角为；然后，张明在城墙外，阳光下，某一时刻，当他走到点F处时，他的影子顶端与树的影子顶端恰好在G处重合．张明的身高米，米，米，米，已知点B、G、F、D在一条水平线上，图中所有的点都在同一平面内，，，，请求出城墙的高度．（参考数据：）
【答案】12米
【解析】
【分析】过点C作于点M，四边形是矩形，，得到，利用正切函数计算即可，本题考查了矩形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，正切函数的应用，熟练掌握相似的判定和性质，正切函数是解题的关键．
【详解】解：如图，过点C作于点M，
∵，，，
∴四边形是矩形，，
∴，，
∴，
∴，
∵米，米，米，米，
∴，米，
∴米，米，
∴米，
∵，
∴，
∵，
∴米，
∴米，
答：城墙高12米．
23. 赵雨想用自己的零花钱给妈妈买一件礼物，她到超市恰好赶上超市周年庆典，购买商品有优惠，具体优惠如下：首先，全部商品打七折，然后，若一次性购物金额打折后满元则再减元．设赵雨所购商品的原价为元，实际付款为元．
（1）求出与之间的函数关系式；
（2）已知赵雨本次实际付款元，求赵雨所购商品的原价．
【答案】（1）；
（2）元．
【解析】
【分析】（）分和两种情况，根据题意，列出函数解析式即可；
（）把代入（）中对应的函数解析式计算即可求解；
本题考查了一次函数的实际应用，理解题意，正确列出一次函数解析式是解题的关键．
【小问1详解】
解：当，即时，
；
当，即时，
；
∴；
【小问2详解】
解：把代入得，
，
解得，
答：赵雨所购商品的原价为元．
24. 年月日是第九个“中国航天日”，今年的“中国航天日”主题为“极目楚天，共襄星汉”．为迎接中国航天日，某校举行了七、八年级航天知识竞赛，校务处在七、八年级中各随机抽取了名学生的竞赛成绩（满分分．单位：分）进行整理和分析（成绩共分成五组：．，．，．，．．E．）．
【收集、整理数据】
七年级学生竞赛成绩分别为：
．
八年级学生竞赛成绩在组和组的分别为：．
绘制了不完整的统计图．
【分析数据】
两组样本数据的平均数、中位数和众数如下表所示：
【问题解决】
请根据上述信息，解答下列问题：
（1）补全频数分布直方图，上述表中________，________，八年级学生成绩组在扇形统计图中所占扇形的圆心角为___________度；
（2）根据以上数据，你认为此次竞赛该校七年级学生成绩好，还是八年级学生成绩好？写出一条理由；
（3）如果该校七年级有名学生参加此次竞赛，请估计七年级竞赛成绩不低于分的学生人数．
【答案】（1）补图见解析，，，；
（2）七年级学生成绩好，理由见解析；
（3）名．
【解析】
【分析】（）根据频数分布直方图求出，即可补全频数分布直方图，根据中位数、众数的定义即可求出的值，求出八年级学生成绩在组的人数，用乘以其占比即可求解；
（）根据平均数、中位数、众数判定即可；
（）用乘以七年级竞赛成绩不低于分的学生人数的占比即可求解；
本题考查了频数分布直方图，扇形统计图，中位数，众数，样本估计总体，看懂统计图是解题的关键．
【小问1详解】
解：七年级抽取的名学生的竞赛成绩在组的人数为：名，
∴补全频数分布直方图如图：
八年级在组的学生有名，
∵八年级学生竞赛成绩在组和组的分别为：，
∴第名和第名学生的竞赛成绩为，
∴，
∵七年级中抽取的名学生的竞赛成绩中分的最多，
∴，
∵八年级学生成绩在组的学生数为名，
∴八年级学生成绩组在扇形统计图中所占扇形的圆心角为，
故答案为：，，；
【小问2详解】
解：七年级学生成绩好．
理由：七年级学生成绩平均数、中位数、众数均高于八年级学生成绩，所以七年级学生成绩好．
【小问3详解】
解：，
答：估计七年级竞赛成绩不低于分的学生人数为名．
25. 如图，是的直径，点C、E在上，连接、、，过点C作，交的延长线于点D，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）6
【解析】
【分析】此题考查了切线的判定、圆周角定理、解直角三角形等知识，熟练运用切线的判定、圆周角定理、解直角三角形是解题的关键．
（1）连接，根据圆周角定理求出，进而推出，根据平行线的性质求出，再根据切线的判定定理即可得解；
（2）连接，由圆周角定理可知，，可得
再根据，结合勾股定理求得，即可求得．
【小问1详解】
证明：连接，
．
，
，
．
交延长线于，
，
，
．
，
为半径，
是的切线；
【小问2详解】
如图，连接，
为的直径，
，
由圆周角定理可知，
，则
．
．
，
在中，，
，
，
，
．
26. 如图，抛物线与x轴交于、两点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点N在坐标平面内，请问在抛物线上是否存在点M，过点M作x轴垂线交x轴于点H，使得四边形是正方形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）存在的坐标为或时，使得四边形是正方形
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象及性质、二次函数综合问题．
（1）利用将、代入，利用待定系数法即可求解；
（2）由题意，设，四边形是正方形，可知，得则，分两种情况：当时，当时，分别求解即可．
【小问1详解】
解：根据题意，将、代入，
得：，解得：，
∴抛物线的函数表达式为；
【小问2详解】
存在的坐标为或时，使得四边形是正方形，理由如下：
由题意，设，
∵，四边形是正方形，轴，则，
∴，
则，
即：，
当时，
解得：，（舍去），
则，即；
当时，
解得：，（舍去），
则，即；
综上，存在的坐标为或时，使得四边形是正方形．
27. 【问题探究】
（）如图，已知点与点关于对称，则_______；（填“”“”或“”）
（）如图，在菱形中，点是上的点，连接；将沿翻折得到，点的对应点恰好落在边上，延长，交的延长线于点．若菱形的边长为，，求的长；
【问题解决】
（）如图，某地有一块形如平行四边形的空地，已知，，，园林规划局计划在这片空地上开垦出一片区域，用于种植珍稀树苗，且用栅栏保护．根据规划要求，点在线段上，点在线段上，且点与点关于对称，点在线段上，，求栅栏的长（即四边形的周长）．
【答案】（）；（）；（）．
【解析】
【分析】（）根据轴对称的性质即可求解；
（）延长，相交于点，证明，得到，证明，得到，可得，求得，即可求解；
（）如图，连接，与相交于点，过点作的延长线于点，延长交的延长线于点，由点与点关于对称，可得，，，，，，进而可得，推导出，得到四边形是菱形，再证明得到，由，得到为等腰直角三角形，设，则，在中由勾股定理可得，求得，进而得，
，又由得到，求出，即可求解．
【详解】解：（）∵点与点关于对称，
∴，
故答案为：；
（）延长，相交于点，
由折叠可得，，
又∵，
∴，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（）如图，连接，与相交于点，过点作的延长线于点，延长交的延长线于点，则，
∵点与点关于对称，
∴，，，，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得（不合，舍去），，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴栅栏的长．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．年级
平均数
中位数
众数
七年级
八年级