2023-2024学年上海市市北中学高二下学期期中考试数学试卷含详解

这是一份2023-2024学年上海市市北中学高二下学期期中考试数学试卷含详解，共16页。

2 若，则__________.
3. 已知直线和，若，则__________.
4. 双曲线渐近线方程为______.
5. 已知函数，则曲线在处的切线方程为______.
6. 已知椭圆以原点为中心，焦点在轴上，长半轴的长为6，离心率为；则椭圆的标准方程__________.
7. 已知直线在轴上的截距为，且的一个法向量是；则直线的方程是__________.
8. 已知函数的导函数为，定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”设，则在区间上的“新驻点”为__________．
9. 已知直线经过点，与直线的夹角为.则直线的方程__________.
10. 若函数满足，则__________.
11. 函数的严格递减区间是__________.
12. 设向量，，记，若圆上的任意三点，，，且，则的最大值是___________.
二､选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分.
13. 对任意的实数，直线与圆的位置关系一定是
A. 相离B. 相切
C. 相交但直线不过圆心D. 相交且直线过圆心
14. 已知函数，下列判断正确的是（ ）
A. 在定义域上为增函数B. 在定义域上为减函数
C. 在定义域上有最小值,没有最大值D. 在定义域上有最大值,没有最小值
15. 对于双曲线和，给出下列四个结论：
（1）离心率相等；（2）渐近线相同；（3）没有公共点；（4）焦距相等，
其中正确的结论是（ ）
A. （1）（2）（4）B. （1）（3）（4）C. （2）（3）（4）D. （2）（4）
16. 若函数在区间内存在最大值，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
三､解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤.
17. 圆拱桥的一孔圆拱如图所示，该圆拱是一段圆弧，其跨度米，拱高米，在建造时每隔4米需用一根支柱支撑．
（1）建立适当的坐标系，写出圆弧的方程；
（2）求支柱的长度（精确到0.01米）．
18. 某个弹簧振子在振动过程中位移（单位：）与时间（单位：）满足关系，其中.
（1）求的导数；
（2）计算，并解释它的实际意义.
19. 数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心､垂心､重心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点，若其欧拉线的方程为，
（1）求三角形外心坐标；
（2）求顶点的坐标.
20. 已知点A为椭圆上一点，分别为椭圆的左､右焦点.
（1）求椭圆的离心率；
（2）若点A的横坐标为2，求的长.
（3）设上、下顶点分别为，点为椭圆上一点，记的面积为的面积为，若，求的取值范围.
21. 已知曲线由抛物线及抛物线组成，若是曲线上关于轴对称的两点，四点不共线，其中点在第一象限.
（1）写出抛物线的焦点坐标和准线方程；
（2）求四边形周长的最小值；
（3）若点横坐标小于4，求四边形面积的最大值.
2023学年市北中学第二学期高二年级数学期中考试试卷
一､填空题（本大题满分54分）本大题共有12题.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.
1. 点到直线的距离是__________.
【答案】
【分析】根据题意代入点到直线的距离公式运算求解即可.
【详解】由题意可知：到直线的距离是.
故答案为：.
2. 若，则__________.
【答案】
【分析】根据导函数的定义直接求解即可.
【详解】根据导数的定义：，
因为，所以.
故答案为：
3. 已知直线和，若，则__________.
【答案】
【分析】直接根据直线垂直公式计算得到答案.
【详解】直线和，，
则，解得.
故答案为：.
4. 双曲线的渐近线方程为______.
【答案】
【分析】
由双曲线方程可得，由此可得渐近线方程.
【详解】由双曲线方程知：， 渐近线方程为：
故答案为：
【点睛】本题考查由双曲线方程求解渐近线方程的问题，属于基础题.
5. 已知函数，则曲线在处的切线方程为______.
【答案】
【分析】
求出和即可
【详解】因为，所以，
所以
所以曲线在处的切线方程为：
即
故答案为：
【点睛】本题考查的是导数的几何意义，较简单.
6. 已知椭圆以原点为中心，焦点在轴上，长半轴的长为6，离心率为；则椭圆的标准方程__________.
【答案】
【分析】先根据已知条件求出，再根据离心率求出，最后根据即可确定椭圆标准方程.
【详解】因为椭圆长半轴的长为6，所以有，又因为椭圆离心率为，
即，所以；根据，有，
椭圆焦点在轴上，所以椭圆的标准方程为：.
故答案为：
7. 已知直线在轴上的截距为，且的一个法向量是；则直线的方程是__________.
【答案】
【分析】直线的一个法向量，可得直线的斜率为，结合已知条件利用斜截式即可得出直线方程.
【详解】因为直线的一个法向量是，所以直线的斜率为，
又因为直线在轴上的截距为，所以直线的方程为.
故答案为：
8. 已知函数的导函数为，定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”设，则在区间上的“新驻点”为__________．
【答案】
【分析】利用“新驻点”的定义即可求解.
【详解】因为，所以，
令，即，得，
因为，解得，
所以，函数在上的“新驻点”为．
故答案为：．
9. 已知直线经过点，与直线的夹角为.则直线的方程__________.
【答案】或
【分析】设直线的倾斜角为，两直线夹角为，可得，分类讨论的斜率是否存在，结合两直线的夹角公式分析求解.
【详解】由题意可知：直线斜率，
设直线倾斜角为，
则，解得，或（舍去），
设两直线夹角为，则，
可得，所以.
①当的斜率不存在，则，
此时，可得，符合题意；
②当的斜率存在，设的斜率为，
则，解得，
所以直线，即；
综上所述：的方程为或．
故答案为：或．
10. 若函数满足，则__________.
【答案】
【分析】求导可得，令运算求解即可.
【详解】因为，可得，
令，可得，解得.
故答案为：.
11. 函数的严格递减区间是__________.
【答案】.
【分析】指出函数定义域，求导并求出函数的单调减区间即可.
【详解】函数的定义域为，
，
令，则，即的严格递减区间为.
故答案为： .
12. 设向量，，记，若圆上的任意三点，，，且，则的最大值是___________.
【答案】64
【分析】
设出，，三点坐标，由得出为直径，故得到关系式，代入中得到其值为，利用圆的参数方程设出点坐标代入中，利用辅助角公式求最值即可.
【详解】整理圆的方程可得
故圆心为，半径为
设，由可得为圆的直径
由此可得
则
又在圆上
设
故的最大值为
故答案为：64
二､选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分.
13. 对任意的实数，直线与圆的位置关系一定是
A. 相离B. 相切
C. 相交但直线不过圆心D. 相交且直线过圆心
【答案】C
【详解】试卷分析：过定点，点在圆内，所以直线与圆相交但不过圆心.
考点：直线与圆的位置关系.
【方法点睛】直线与圆的位置关系
（1）直线与圆的位置关系有三种:相切 、 相交 、 相离 ．
（2）判断直线与圆位置关系常见的有两种方法
①代数法:把直线方程与圆的方程联立方程组，消去x或y整理成一元二次方程后，计算判别式
②几何法:利用圆心到直线距离d和圆的半径r的大小关系:．
14. 已知函数，下列判断正确的是（ ）
A. 在定义域上为增函数B. 在定义域上为减函数
C. 在定义域上有最小值,没有最大值D. 在定义域上有最大值,没有最小值
【答案】C
【分析】求出函数的导数,求出极值点,判断函数的单调性,然后求解函数的最小值即可．
【详解】∵ ,
∴,令,得,
∴当x 时, ,单调递减．
当 时, ,单调递增,
所以,无最大值．
故选C．
【点睛】本题考查函数的单调性以及函数的极值的求法,函数的最值的求法,考查转化思想以及计算能力．
15 对于双曲线和，给出下列四个结论：
（1）离心率相等；（2）渐近线相同；（3）没有公共点；（4）焦距相等，
其中正确的结论是（ ）
A. （1）（2）（4）B. （1）（3）（4）C. （2）（3）（4）D. （2）（4）
【答案】C
【分析】对于第（1）（2）（4）利用双曲线的基础知识分别求出曲线 离心率，渐近线，焦距即可判断正误，对于第（3）求出渐近线发现是共渐近线焦点不在同轴的双曲线，无交点.
【详解】由题意知，双曲线，，
（1）离心率分别为，；（2）渐近线相同均为；（3）没有公共点；（4）焦距相等均为10，
故选：.
16. 若函数在区间内存在最大值，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】利用函数的导数，求解函数的极值，推出最大值，然后转化列出不等式组求解的范围即可．
【详解】，
或，
∴在单调递减，在单调递增，在单调递减，
∴f(x)有极大值，
要使f(x)在上有最大值，则极大值3即为该最大值，
则，
又或，
∴，
综上，.
故选：A.
三､解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤.
17. 圆拱桥的一孔圆拱如图所示，该圆拱是一段圆弧，其跨度米，拱高米，在建造时每隔4米需用一根支柱支撑．
（1）建立适当的坐标系，写出圆弧的方程；
（2）求支柱的长度（精确到0.01米）．
【答案】（1），()；
（2）米.
【分析】（1）以O为原点，为x、y轴，确定的点坐标，设圆弧方程为且，将点坐标代入求参数，即可得方程.
（2）由（1）及题设有，且在圆弧上，代入圆弧所在方程求y，即可知的长度
【小问1详解】
构建如下直角坐标系，则，，，
设所在圆弧方程为且，
，解得，
所以圆弧的方程，.
【小问2详解】
由题设知：，则，且在圆弧上，
所以，可得，故的长度为米.
18. 某个弹簧振子在振动过程中的位移（单位：）与时间（单位：）满足关系，其中.
（1）求的导数；
（2）计算，并解释它的实际意义.
【答案】（1）
（2），实际意义见解析
【分析】（1）利用复合函数的求导法则即可得解；
（2）将代入（1）中导数，再利用导数的意义解释即可.
【小问1详解】
因为，
令，则可以看作和的复合函数，
根据复合函数的求导法则，有
.
【小问2详解】
由（1）得，
它表示当时，弹簧振子振动的瞬时速度为．
19. 数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心､垂心､重心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点，若其欧拉线的方程为，
（1）求三角形外心的坐标；
（2）求顶点的坐标.
【答案】（1）
（2）
【分析】（1）根据题意可得边的垂直平分线的所在的直线方程为，结合题意联立方程求解即可；
（2）设，根据题意结合重心坐标公式可得，由外心可得，联立方程求解即可.
【小问1详解】
由题意可知：边的中点坐标为，，
边的垂直平分线的所在的直线方程为，即，
联立方程，解得
所以的外心的坐标为.
【小问2详解】
设，则的重心为，
代入欧拉线方程得，整理得，
由（1）可知：的外心坐标为，
可知，则，
整理得，
联立方程，解得或，
当时，点B，C重合，舍去，
所以顶点C的坐标是.
20. 已知点A为椭圆上一点，分别为椭圆的左､右焦点.
（1）求椭圆的离心率；
（2）若点A的横坐标为2，求的长.
（3）设的上、下顶点分别为，点为椭圆上一点，记的面积为的面积为，若，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）根据椭圆方程求，即可得离心率；
（2）设，代入椭圆方程可得，利用两点间距离公式运算求解；
（3）设，结合面积关系可得，在利用两点间距离公式结合齐次式问题分析求解.
【小问1详解】
由题意可知：，
所以椭圆的离心率.
【小问2详解】
由（1）可知：，
设，则，解得，
所以.
【小问3详解】
由（1）可知：，
设，
则，
若，即，可得，
因为，
由，即，则，可得，
可得，即的取值范围为.
21. 已知曲线由抛物线及抛物线组成，若是曲线上关于轴对称的两点，四点不共线，其中点在第一象限.
（1）写出抛物线的焦点坐标和准线方程；
（2）求四边形周长的最小值；
（3）若点横坐标小于4，求四边形面积的最大值.
【答案】（1）焦点坐标为，准线方程为
（2）
（3）8
【分析】（1）根据抛物线方程可知，进而可取焦点和准线；
（2）设，则，且四边形为等腰梯形，利用抛物线的定义结合图形的性质分析求解；
（3）由（2）可知：，且，可得四边形的面积为，构建函数，，利用导数判断的单调性和最值，进而可得结果.
【小问1详解】
抛物线，即，
可知，即，且焦点在y轴正半轴上，
所以抛物线的焦点坐标为，准线方程为.
【小问2详解】
由（1）可知：抛物线的焦点坐标为，
设，则，
由题意可知：四边形为等腰梯形，
则四边形周长，
当且仅当三点共线时，等号成立，
所以四边形周长的最小值为.
【小问3详解】
由题意可知：，且，

则，梯形的高为，
可得四边形的面积为，且，
构建，，
则，，
令，解得；令，解得或；
可知在内单调递增，在内单调递减，
且，可知的最大值为，
所以四边形的面积的最大值为8.
【点睛】关键点点睛：在求四边形的面积的最大值时，通过构建函数，，利用导数求函数最值，是解题的关键.