上海市嘉定区安亭高级中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

这是一份上海市嘉定区安亭高级中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷，共9页。试卷主要包含了计算，若，则__________，在中，等内容，欢迎下载使用。

（本试卷共21题，闭卷，满分150分，考试时间120分钟）
一､填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果.
1.已知向量，则__________.
2.计算：__________.
3.设向量，若，则__________.
4.若，则__________.
5.已知，则的单位向量坐标为__________.
6.若，且满足，则的最小值为__________.
7.在中，.记，用表示__________.
8.始边与轴正半轴重合的角的终边过点，则__________.
9.已知向量在上的投影向量为，且，则__________.
10.“南昌之星”摩天轮半径为80米，建成时为世界第一高摩天轮，成为南昌地标建筑之一.已知摩天轮转一圈的时间为30分钟，甲坐上摩天轮6分钟后，乙也坐上了摩天轮，又过了分钟后，甲乙两人离底面高度相等，则__________.
11.已知是圆的直径上的两点，且是圆上的两个动点，且，则的最大值为__________.
12.设函数，若对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得，则的取值范围为__________.
二､选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13.已知向量，则（ ）
A. B.2 C.3 D.0
14.函数是由（ ）得到的
A.向右平移 B.向右平移
C.向右平移 D.向右平移
15.已知是平面上两个不平行的向量，则以下可以作为平面向量的一个基的一组向量是（ ）
A. B.
C. D.
16.下列定义在上的函数是奇函数的是（ ）
A. B.
C. D.
三､解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
在中，.
（1）求的值；
（2）若，求的面积.
18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）求在区间上的最大值和最小值.
19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知向量.
（1）若，求的值；
（2）若，求的值.
20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形的形状，它的下底是半圆的直径，上底的端点在圆周上.记.（提示：直径所对的圆周角是直角，即图中）
（1）用表示的长；
（2）若，求如图中阴影部分的面积；
（3）记梯形的周长为，将表示成的函数，并求出的最大值.
21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知中，，令，且.过边上一点（异于端点）作边的垂线，垂足为，再由作边的垂线，垂足为，又由作边的垂线，垂足为.设.
（1）求的长度；
（2）若，求的值；
（3）若存在实数，使得为常数，求的值，并写出该常数.
【参考答案】
1.
2.
【解析】设，则
3.
【解析】
4.
【解析】
5.
【解析】
6.
7.
【解析】
8.
【解析】
9.1
【解析】由图像易知，由平行四边形法则易知
10.12
【解析】1分钟，甲乙相差，当甲乙离地面高度相等时，
乙转了，即12分钟
11.
【解析】
则最大值为
12.
【解析】，则应存在唯一的，使得，可知
13.D
14.B
【解析】
15.D
16.A
【解析】
17.（1）
（2）
由正弦定理，得
18.（1）
（2），则
所以在上的最大值为，最小值为
19.（1）由，得
（2）由，得
方法一：
，即
由于，则
所以或
或
方法二：
，即
，即
或
因为，所以或
20.（1）连接，过作
则
所以
（2）.
所以
（3）
则
令，则
则，当时，
21.（1）设，则
所以
（2）由已知
则
设，则
所以
所以，即
（3）由可知
又，所以
所以
若为常数，则，即
此时该常数为