河南省漯河市召陵区2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 第33届夏季奥林匹克运动会将在世界公认的浪漫之都——法国·巴黎举办，奥运会吉祥物“弗里热”的图片如图所示，把它进行平移，能得到的图形是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是生活中的平移现象，熟知在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换是解题的关键．根据图形平移的性质解答即可．
【详解】解：把它进行平移，能得到的图形是
．
故选：D
2. 下列实数0.01001000100001……，，，，．其中无理数的个数是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】无理数常见的三种类型：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．
详解】解：在实数0.01001000100001……，，，，中，其中无理数有0.01001000100001……，，共3个．
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是无理数的概念，熟练掌握无理数的常见类型是解题的关键．
3. 象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久．如图，是中国象棋棋盘的一部分，若“帅”位于点，“炮”位于点上，则“兵”位于点（ ）上．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了根据点的位置求点的坐标，根据纵坐标在上用加法，横坐标在左用减法，即可求出“兵”的坐标，解题的关键是找到点所对应的横坐标和纵坐标，再写出点的坐标．
【详解】解：∵ “兵”在“炮”的上面一行，
∴ “兵“的纵坐标是，
∵“兵”在“帅”的左面第一格上，
∴“兵”的横坐标是，
∴“兵”的坐标是，
故选：B．
4. 下列说法中，不正确的是（ ）
A. 立方根等于的数是B. 27的立方根是
C. 的平方根是D. 9的算术平方根是3
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平方根和立方根．根据平方根、算术平方根、立方根，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A、立方根等于的数是，说法正确，本选项不符合题意；
B、27的立方根是3，原说法不正确，本选项符合题意；
C、，4的平方根是，说法正确，本选项不符合题意；
D、9的算术平方根是3，说法正确，本选项不符合题意；
故选：B．
5. 下列语句是真命题的有（ ）
①点到直线的垂线段叫做点到直线的距离；②内错角相等；③两点之间线段最短；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行；⑤在同一平面内，若两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了判断命题的真假，根据点到直线的距离的定义、两直线平行的性质、两点之间的距离、线段公理等知识分别判断后即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键．
【详解】解：①点到直线垂线段的长度叫做点到直线的距离，则是假命题；
②两直线平行，内错角相等，则是假命题；
③两点之间线段最短，则是真命题；
④过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，则是假命题；
⑤在同一平面内，若两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行，则是真命题；
故选B．
6. 如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴上一点P．若，则的度数是（ ）

A. 20°B. 30°C. 50°D. 70°
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，首先求出和，再根据平行线的性质求出和即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
7. 数学课上，老师要求同学们利用三角板画出两条平行线，老师展示了甲、乙两位同学的画法如下：
甲的画法：
乙的画法：
请你判断两人的作图的正确性（ ）
A. 甲正确，乙错误B. 甲错误，乙正确C. 两人都正确D. 两人都错误
【答案】C
【解析】
【分析】根据平移的性质以及平行线的性质进行判断即可．
【详解】甲的画法依据是：同位角相等，两直线平行．
乙的画法依据是：内错角相等，两直线平行．
故选C
【点睛】此题主要考查了平行的画法，平行线的性质以及平移变换，正确应用平行线的性质是解题关键．
8. 如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（ ）
A. 3B. 4C. 6D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】根据算术平方根的概念结合正方形的性质得出其边长，进而得出答案．
【详解】解：用边长为3两个小正方形拼成一个大正方形，
大正方形的面积为：，
则大正方形的边长为：，
，
，
大正方形的边长最接近的整数是4，
故选：B．
9. 如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，那么∠2的度数是（ ）
A. 30°B. 25°C. 20°D. 15°
【答案】B
【解析】
【详解】∵直尺的对边互相平行，
∴∠1=∠3，
∵∠3+∠2=45°，
∴∠1+∠2=45°，
∵∠1=20°，
∴∠2=45°﹣∠1=25°，
故选：B．
10. 如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，…，按这样的运动规律，经过第2024次运动后，动点P的坐标是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了点坐标的规律探索问题，根据题意，动点P运动的规律是横坐标为第次运动的数，纵坐标为循环出现，进而可求解，找准规律是解题的关键．
【详解】解：由题意可知，
第1次从原点运动到点，
第2次接着运动到点，
第3次接着运动到点，
第4次从原点运动到点，
第5次接着运动到点，
，
则点坐标的运动规律为：横坐标为第次运动的数，纵坐标为循环出现，
，
经过第2024次运动后，动点P的坐标是，
故选A．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 请写出一个大于﹣2且小于﹣1的无理数 ___．
【答案】
【解析】
【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
【详解】解：写一个大于-2小于-1的无理数，可以为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数．
12. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为．若线段轴，且的长为3，则点B的坐标为______．
【答案】或
【解析】
【分析】根据平行于坐标轴的直线上两点间的距离与其坐标的关系进行分析解答即可．
【详解】解：∵点A的坐标为，且轴，
∴可设点B的坐标为，
∵，
∴，解得：或，
∴点B的坐标为或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了平行于坐标轴的直线上两点间的距离与其坐标的关系，熟练掌握平行于x轴的直线上的所有点的纵坐标相等；平行于x轴的直线上的两点间的距离等于这两个点的横坐标差的绝对值．
13. 如图，直线，与直线分别相交于点N，M，且，、分别平分和．如果，则的度数为________．
【答案】##130度
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质及角平分线的性质，根据角平分线的性质求得，进而可求得，，再根据角平分线的性质求得即可求解，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
【详解】解：是的角平分线，，
，
，
，，
是的角平分线，
，
，
故答案为：．
14. 如图，将周长为8的沿BC边向右平移2个单位，得到，则四边形的周长为________．

【答案】12
【解析】
【分析】先根据平移的性质可得，再根据三角形的周长公式可得，然后根据等量代换即可得．
【详解】由平移的性质得：，
的周长为8，
，
则四边形ABFD的周长为，
，
，
．
故答案为：12．
【点睛】本题考查了平移的性质等知识点，掌握理解平移的性质是解题关键．
15. 某市为方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图1 是某共享单车放在水平地面上的实物图，其示意图如图2所示，都与地面l平行，与平行．已知，则__________________ ．

【答案】##50度
【解析】
【分析】利用两直线平行，内错角相等求得的度数，再证明，利用两直线平行，同旁内角互补即可求解．
【详解】解：∵与平行，
∴，
∵，
∴，
∵都与地面l平行，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. （1）计算：；
（2）求x的值：．
【答案】（1）；（2）或
【解析】
【分析】本题考查了有理数的乘方、算术平方根及立方根、利用平方根求方程：
（1）先求出算术平方根及立方根、乘方，再进行合并即可；
（2）等式两边同除以2，再根据平方根的运算法则即可求解；
熟练掌握其运算法则是解题的关键．
【详解】解：（1）原式
；
（2）等式两边同除以2，得．
开平方，得或，
解得或．
17. 如图，已知，，三直线相交于点，且，，平分，求的度数．

【答案】
【解析】
【分析】根据垂直的定义，得，结合已知条件及对顶角相等，可知，根据角平分线的性质即可求得的度数．
【详解】解：，
，
，
．
平分，
．
【点睛】本题考查了垂直的定义，对顶角相等，角平分线的性质，掌握以上知识是解题的关键．
18. 如图，经过平移后，使点A与点重合．
（1）画出平移后的；
（2）求出的面积；
（3）若三角形内有一点，经过平移后的对应点的坐标为________；
（4）若连接，，则这两条线段之间的关系是______________________________．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
（4）平行且相等
【解析】
【分析】本题考查了作图——平移、平移的性质、坐标与图形变换、平行四边形的判定及性质：
（1）根据点的坐标找出规律：向左平移3个单位，向下平移2个单位，按此规律画出；
（2）利用正方形面积与三个直角三角形面积的差求的面积；
（3）由（1）可知：横坐标，纵坐标，得出的坐标；
（4）根据平移的性质得平行四边形，由平行四边形的性质得出结论；
熟练掌握平移的性质是解题的关键．
【小问1详解】
解：根据平移的性质得：
如图所示，即为所求：
【小问2详解】
．
【小问3详解】
对应点，
得平移规律：横坐标，纵坐标，
所以点的坐标为，
故答案为：．
【小问4详解】
根据平移的性质得：
，，
故答案为：平行且相等．
19. 如图，，，平分，，，求的度数．
解：（已知），
________（_________________________）．
（已知），
（等量代换）．
________．
（已知），
________（等量代换）．
，（已知），
________（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．
________（________________________________）．
平分（已知），
________（角平分线的定义）．
________（等量代换）．
【答案】；两直线平行，同旁内角互补；70；50；；；两直线平行，内错角相等；25 ；25
【解析】
【分析】本题考查平行性的性质与判定，与角平分线有关的计算等知识．先根据求出，进而求出，再证明，得到，根据角平分线的定义得到，即可求出．
【详解】解：（已知），
（两直线平行，同旁内角互补）．
（已知），
（等量代换）．
．
（已知），
（等量代换）．
，（已知），
（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．
（两直线平行，内错角相等）．
平分（已知），
（角平分线的定义）．
（等量代换）．
故答案为：；两直线平行，同旁内角互补；70；50；；；两直线平行，内错角相等；25 ；25
20. 已知某正数的两个平方根分别是和，的立方根为．
（1）求的值．
（2）求的立方根．
【答案】（1）
（2）4
【解析】
【分析】（1）根据平方根和立方根的定义求出a，b的值即可得出答案；
（2）求出代数式的值，再求它的立方根即可．
【小问1详解】
解：∵某正数的两个平方根分别是和，
∴，
∴，
∵的立方根为，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
当时，
，
∴的立方根为4．
【点睛】本题考查了平方根和立方根，掌握一个正数的平方根有2个，它们互为相反数是解题的关键．
21. 阅读下列材料，解决相关任务：
2021年5月7日，《科学》杂志发布了我国成功研制出可编程超导量子计算机“祖冲之”号的相关研究成果．祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家，他是第一个将圆周率π精确到小数点后第七位的人，他给出π的两个分数形式：（约率）和（密率），同时期数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和（即有，其中a、b、c、d为正整数），则是x的更为精确的近似值．
例如：已知，则利用一次“调日法”后可得到π的一个更为精确的近似分数为：；
由于，再由，可以再次使用“调日法”得到π的更为精确的近似分数．
任务：
（1）请判断：约率是（ ）
A. 无限不循环小数 B. 有限小数 C. 整数 D. 有理数
（2）已知，请使用两次“调日法”，求的近似分数．
【答案】（1）D （2）
【解析】
【分析】根据“调日法”的定义，第一次结果为：，近似值大于 ，所以，根据第二次“调日法”进行计算即可．
【小问1详解】
分数是有理数，故选D．
【小问2详解】
∵，
∴首次利用“调日法”后得的一个更为精确的近似分数为：，
∵且，
∴，
∴再次使用“调日法”得到的更为精确的近似分数为：．
【点睛】本题考查无理数的估算，根据定义，严格按照例题步骤解题是关键．
22. 课上教师呈现了一个问题．
甲、乙、丙三位同学用不同的方法添加辅助线解决问题，如图：
甲同学辅助线的做法和分析思路如下：
（1）请你根据乙同学所画的图形，描述辅助线的做法，并写出相应的分析思路．
辅助线：过点P作交于点N．
分析思路：
（2）请你根据丙同学所画的图形，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质：
（1）过点P作交于点N．欲求的度数，由辅助线作图可知，，因此，只需转化为求的度数；欲求的度数，由图可知只需转化为求和的度数；再求出的度数；可得；根据平行线的性质可得，即可；
（2）过点O作交于点N．可得，再由，可得，从而得到，即可求解．
【小问1详解】
解：根据乙同学所画的图形：
辅助线：过点P作交于点N．
分析思路：（1）欲求的度数，由辅助线作图可知，，
因此，只需转化为求的度数；
（2）欲求的度数，由图可知只需转化为求和的度数；
（3）又已知的度数，所以只需求出的度数；
（4）由已知，可得；
（5）由，可推出；由可推出，由此可推，所以可得的度数；
（6）从而可以求出的度数．
【小问2详解】
解：选择丙同学所画的图形：
过点O作交于点N．
，，
．
，
．
又，
，
．
，
．
23. 如图①，在平面直角坐标系中，已知点，，，连接，交轴于点，且，．
（1）求的面积；
（2）求点的坐标；
（3）如图②，轴上是否存在一点，使得的面积与的面积相等？若存在，求点的坐标，若不存在请说明理由
【答案】（1）；（2）；（3）存在，或
【解析】
【分析】（1）由立方根及算术平方根的定义求出a，b的值，得出A，B两点的坐标，结合点C的坐标，即可求出面积；
（2）连接OC，设OD=x，根据三角形AOC的面积可求出x的值，则答案可求出；
（3）求出三角形ABC的面积为35，设点P的坐标为（0，y），根据S△ACP=S△ADP+S△CDP，可求出y的值，则点P的坐标可求出；
【详解】解：（1）∵，．
∴，，
∵A（a，0），B（b，0），
∴A（5，0），B（5，0），
∴OA=OB=5．
∴的面积为：；
（2）如图1，连接OC，设OD=x，
∵
∵S△AOC=S△AOD+S△COD，
∴，
∴x=5，
∴点D的坐标为（0，5）；
（3）如图2，
∵A（5，0），B（5，0），C（2，7），
∴S△ABC=×（5+5）×7=35，
∵点Py轴上，
∴设点P的坐标为（0，y），
∵S△ACP=S△ADP+S△CDP，D（0，5），
∴5×|5y|×+2×|5y|×=35，
解得：y=5或15，
∴点P的坐标为（0，5）或（0，15）；
【点睛】本题是三角形综合题，考查了立方根及算术平方根，三角形的面积，坐标与图形的性质，正确进行分类讨论是解题的关键．
①将含角的三角尺的最长边与直线a重合，另一块三角尺最长边与含角的三角尺的最短边紧贴；
②将含角的三角尺沿贴合边平移一段距离，画出最长边所在直线b，则．
①将含角三角尺的最长边与直线a重合，用虚线作出一条最短边所在直线；
②再次将含角三角尺最短边与虚线重合，画出最长边所在直线b，则．
已知：如图，，于点O，交于点P，当时，求度数．

辅助线：过点F作．
分析思路：（1）欲求的度数，由图可知只需转化为求和的度数；
（2）由辅助线作图可知，，又由已知的度数可得的度数；
（3）由，推出，由此可推出；
（4）由已知，可得，所以可得的度数；
（5）从而可求的度数．