【二轮复习】高考数学考点5-2 立体几何解答题中与旋转体有关的问题（考点精练）.zip

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考点一：求直线和平面所成的角
如图，设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有．（易错点）
考点二：求二面角
如图，若于于，平面交于，则为二面角的平面角，.
若分别为面的法向量，，则二面角的平面角或，即二面角等于它的两个面的法向量的夹角或夹角的补角．
①当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于的夹角的大小．
②当法向量的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于的夹角的补角的大小．
③已知和分别是二面角的半平面的法向量，记二面角的大小为，若半平面，半平面（），则当与同号时，二面角的大小等于的夹角的大小．当与异号时，二面角的大小等于的夹角的补角的大小．
【精选例题】
【例1】如图，四边形是圆柱的轴截面，圆柱的侧面积为，点在圆柱的底面圆周上，且是边长为的等边三角形，点是的中点.

(1)求证：平面；
(2)求二面角的正弦值.
【例2】如右图，已知 Rt△ABC 的直角边 AB=6 ，BC=4 ，点 F1,F2 是 BC 从左到右的四等分点（非中点）．已知椭圆 Γ 所在的平面⊥平面 ABC ，且其左右顶点为 B,C ，左右焦点为 F1,F2 ，点 P 在 Γ 上．
（1）求三棱锥 A−F1F2P 体积的最大值；
（2）证明：二面角 F1−AP−F2 不小于60°．
取 BC 中点 O ，在 AC 上取一点 Q 使得 OQ⊥BC ，
【例3】如图所示，圆台的上、下底面圆半径分别为和，为圆台的两条不同的母线.
(1)求证：；
(2)截面与下底面所成的夹角大小为，且截面截得圆台上底面圆的劣弧的长度为，求截面的面积.
【例4】已知椭圆C：（，）的左、右焦点分别为、，离心率为，经过点且倾斜角为（）的直线l与椭圆交于A、B两点（其中点A在x轴上方），的周长为8．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)如图，将平面xOy沿x轴折叠，使y轴正半轴和x轴所确定的半平面（平面）与y轴负半轴和x轴所确定的半平面（平面）互相垂直．
①若，求三棱锥的体积，
②若，异面直线和所成角的余弦值；
③是否存在（），使得折叠后的周长为与折叠前的周长之比为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
【例5】如图，在圆锥中，是圆的直径，且是边长为4的等边三角形，为圆弧的两个三等分点，是的中点.
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
【例6】如图，AB是半球O的直径，，依次是底面上的两个三等分点，P是半球面上一点，且．
(1)证明：；
(2)若点在底面圆上的射影为中点，求直线与平面所成的角的正弦值．
【跟踪训练】
1．如图所示，用平面 表示圆柱的轴截面，是圆柱底面的直径，为底面圆心，为母线 的中点，已知 为一条母线，且 ．

(1)求证：平面 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值．
2．如图，四边形是圆柱的轴截面，圆柱的侧面积为，点在圆柱的底面圆周上，且是边长为的等边三角形，点是的中点.

(1)求证：平面；
(2)求二面角的正弦值.
3．如图所示的几何体是由一个直三棱柱和半个圆柱拼接而成.其中，，点为弧的中点，且四点共面.
(1)证明：四点共面；
(2)若平面与平面夹角的余弦值为，求长.
4．如图，矩形是圆柱的一个轴截面，、分别为上下底面的圆心，为的中点，，．

(1)当点为弧的中点时，求证：平面；
(2)若点为弧的靠近点的三等分点，求直线与平面所成角的正弦值．
5．如图所示，圆台的上､下底面圆半径分别为和为圆台的两条不同的母线.分别为圆台的上､下底面圆的圆心，且为等边三角形.
(1)求证：；
(2)截面与下底面所成的夹角大小为，求异面直线与所成角的余弦值.
6．如图，线段是圆柱的母线，BC是圆柱下底面圆的直径．
(1)弦AB上是否存在点，使得平面，请说明理由；
(2)若，，，求二面角的余弦值．
7．如图，圆台的轴截面为等腰梯形为底面圆周上异于的点
(1)若是线段的中点，求证：平面
(2)若，设直线为平面与平面的交线，点与平面所成角为，求的最大值.