最新中考数学思想方法讲与练 【分类讨论】方程（组）和函数中的分类讨论

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一、复习方法
1.以专题复习为主。 2.重视方法思维的训练。
3.拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。
二、复习难点
1.专题的选择要准，安排时间要合理。 2.专项复习要以题带知识。
3.在复习的过程中要兼顾基础，在此基础上适当增加变式和难度，提高能力。
方程（组）和函数中的分类讨论
知识方法精讲
1．含绝对值符号的一元一次方程
解含绝对值符号的一元一次方程要根据绝对值的性质和绝对值符号内代数式的值分情况讨论，即去掉绝对值符号得到一般形式的一元一次方程，再求解．
例如：解方程|x|＝2
解：去掉绝对值符号 x＝2或﹣x＝2
方程的解为x1＝2或x2＝﹣2．
2．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率＝×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
3．一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
4．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
5．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
6．函数关系式
用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式．
注意：
①函数解析式是等式．
②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数．
③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y＝x+9时表示y是x的函数，若写成x＝﹣y+9就表示x是y的函数．
7．动点问题的函数图象
函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．
用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．
8．一次函数的定义
（1）一次函数的定义：
一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．
（2）注意：
①又一次函数的定义可知：函数为一次函数⇔其解析式为y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式．
②一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数．
③一般情况下自变量的取值范围是任意实数．
④若k＝0，则y＝b（b为常数），此时它不是一次函数．
9．一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
10．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
11．一次函数图象与几何变换
直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）
①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y＝kx+b，即y＝﹣kx﹣b；
（关于X轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数）
②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：y＝k（﹣x）+b，即y＝﹣kx+b；
（关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数）
③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：﹣y＝k（﹣x）+b，即y＝kx﹣b．
（关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数）
12．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
13．二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
14．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
15．坐标与图形变化-平移
（1）平移变换与坐标变化
①向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y）
①向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y）
①向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b）
①向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b）
（2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）
16.分类讨论思想
每个数学结论都有其成立的条件，每一种数学方法的使用也往往有其适用范围，在我们所遇到的数学问题中，有些问题的结论不是唯一确定的，有些问题的结论在解题中不能以统一的形式进行研究，还有些问题的已知量是用字母表示数的形式给出的，这样字母的取值不同也会影响问题的解决，由上述几类问题可知，就其解题方法及转化手段而言都是一致的，即把所有研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干类，转化成若干个小问题来解决，这种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思想，称之为分类讨论思想。
一．选择题（共5小题）
1．（2021秋•黔西南州期末）如图，数轴上的点和点表示的数分别是0和10，是线段上一动点．点沿以每秒2个单位长度的速度往返运动1次，是线段的中点，设点运动的时间为秒．在点运动的过程中，当时，则点运动的时间的值为
A．或B．3或7
C．或或或D．3或或7或
2．（2020秋•抚顺期末）关于的方程有实数根，则的取值范围是
A．B．C．D．
3．（2021秋•金安区期中）如图，在矩形中，，，点从点出发，以每秒1个单位的速度沿着运动，同时点从点出发，以每秒2个单位的速度沿着运动，其中一点到达终点，另一点也停止运动，设，时间为，则与之间的函数图象大致为
A．B．
C．D．
4．（2021春•江门期末）如图，等腰直角三角形的边和矩形的边在轴上，，，．将矩形沿轴正方向平移个单位，所得矩形与公共部分的面积记为．将看作的函数，当自变量在下列哪个范围取值时，是的一次函数
A．B．C．D．或
5．（2021秋•市中区期末）定义，图象与轴有两个交点的函数叫做关于直线的对称函数，它与轴负半轴交点记为，与轴正半轴交点记为．例如，如图：直线，关于直线的对称函数与该直线交于点，当直线与关于直线的对称函数有两个交点时，则的取值范围是
A．B．C．D．
二．填空题（共4小题）
6．（2021秋•昌江区校级期中）若关于的方程有唯一解，则的取值范围是 ．
7．（2021秋•利津县期中）已知函数是常数）的图象与轴只有一个交点，则 ．
8．（2020秋•江门期末）若函数的图象与轴有且只有一个交点，则的值为 ．
9．（2021•德州模拟）若函数的图象与轴只有一个交点，那么的值为 ．
三．解答题（共16小题）
10．（2021秋•梅里斯区期末）如图，在数轴上，点表示数，点表示数，、满足．
（1）点表示的数为 ．点表示的数为 ．
（2）数轴上有一个点，且，则点表示的点为 ．
（3）、都是数轴上的点，点从点出发以每秒1个单位长度的速度向右运动，点从点出发以每秒2个单位长度的速度向左运动，设点、同时出发，运动时间为秒．
①点、出发几秒后相遇？
②点、出发几秒后相距4个单位长度？
11．（2021秋•重庆期末）已知：如图1，点、、依次在直线上，现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点沿逆时针方向以每秒的速度旋转，如图2，设旋转时间为秒秒）．
（1）则 度， 度（用含的代数式表示）；
（2）在运动过程中，当达到时，求的值；
（3）在旋转过程中是否存在这样的，使得，如果存在，直接写出的值；如果不存在，请说明理由．
12．（2021秋•重庆期末）已知数轴上有，，三点，分别表示数，，，并且满足，与互为相反数，两只小蜗牛甲、乙分别从，两点同时沿数轴相向而行，甲的速度为2个单位长度秒，乙的速度为3个单位长度秒．
（1）求，，的值；
（2）运动多少秒时，甲、乙在数轴上相遇？设相遇点为点，请求出点所表示的数；
（3）设点在数轴上表示的数为，且点满足．若甲运动到点时（此时甲、乙还没有相遇）立即掉头返回，问甲、乙还能在数轴上相遇吗？若能，求出相遇点所表示的数；若不能，请说明理由．
13．（2020秋•巴中期末）如图，点、在数轴上表示的数分别是、，其中、满足，点与点之间的距离表示为．
（1） ；
（2）若点从点出发向右运动，在运动过程中，当、、三点中有一点是以另两点为端点的线段的中点时，点表示的数是 ；
（3）点、是数轴上两动点，点以每秒3个单位长度的速度从点出发，点以每秒2个单位长度的速度从点出发，若点、同时出发，运动时间为秒，当运动多少秒时，点、两点间的距离为12个单位长度．
14．（2021秋•济宁月考）为节约用水，某市居民生活用水实行按级收费，居民用水价格（含污水处理费）按用水量分为三级，如表是某市目前实行的水费收费标准：
（1）若某用户用水量为16立方米，则该用户需交水费 元；若用水量为27立方米，则该用户需交水费 元．
（2）若用水量为立方米，则请用含的代数式表示需交的水费．
（3）十月份，小王、小胡两家用水情况如下：
①小王家用水量比小胡家少；
②两家用水量达到的级别不同，小王家的用水量在第二级；
③两家用水量总共60立方米；
④水费共270.72元．请根据以上信息，算一算：小王、小胡两家用水量分别是多少立方米？
15．（2021秋•瑞安市月考）甲乙两家店，在双十一期间的优惠活动方案如下表：
（1）当天在甲乙两店分别购买标价300元的商品，问：共支付多少元？
（2）已知两次在乙店购买标价均为400元的商品，发现比在该店一次性购买这两件商品要多支付30元．
①求的值．
②若小明当天在甲乙两店各购买一件商品，两件商品总标价合计700元，且在甲店购买的商品标价小于乙店，实际共支付605元，问小明在甲乙两店购买的商品标价分别是多少？
16．（2021秋•黔西南州月考）甲、乙两地相距，一辆小轿车和一辆货车分别沿同一条路线从甲地出发驶往乙地．已知货车的速度为，小轿车的速度为，货车先出发后小轿车再出发．
（1）小轿车出发多长时间后追上货车？
（2）在两车的行驶过程中，小轿车行驶多长时间后与货车相距？
17．（2021秋•平阳县期中）2021年十一国庆期间，鳌江银泰商场打出促销广告，如下表所示：
用代数式表示（所填结果需化简）
（1）设一次性购买的物品原价为元，当原价超过200元，但不超过600元时，实际付款为 元；当原价超过600元时，实际付款为 元．
（2）若甲购物时一次性付款580元，则所需物品的原价是多少元？
（3）若乙分两次购物，两次所购物品的原价之和为1200元（第二次所购物品的原价高于第一次），两次实际付款共1068元，则乙两次购物时，所需物品的原价分别是多少元？
18．（2021秋•新洲区期中）已知数轴上、两点对应的数分别为、，且．
（1）求点、两点对应的有理数是 、 ；、两点之间的距离是 ．
（2）若点到点的距离刚好是6，求点所表示的数应该是多少？
（3）若点所表示的数为8，现有一只电子蚂蚁从点出发，以2个单位每秒的速度向左运动，经过多少秒时，到的距离刚好等于到的距离的2倍？
（4）若点所表示的数为8，现有一只电子蚂蚁从点出发，以2个单位每秒的速度向右运动，若运动的时间为秒，的值不随时间的变化而改变，求的值．
（2021秋•徐汇区校级月考）已知常数为实数，讨论关于的方程的实数根的个数情况．
20．（2021秋•秦都区月考）作为世界苹果最佳优生区，洛川苹果备受市场青睐！苹果产业已成为县城经济的发展和农民增收致富奔小康的主导产业．小李想在洛川县某果园购买一些苹果，经了解，该果园苹果的定价为5元斤，如果一次性购买10斤以上，超过10斤部分的苹果的价格打8折．
设小李在该果园购买苹果斤，付款金额为元，求出与之间的函数关系式；
若小李想在该果园购买130元的苹果送给朋友，请你算一算，小李一共能购买多少斤苹果？
21．（2021秋•铁西区月考）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点．
（1）求点的坐标；
（2）点是线段上的一个动点（点不与点，重合），过点作平行于轴的直线，分别交直线，于点，点，设点的横坐标为．
①求线段的长（用含的代数式表示）；
②当点，，三点中有一个点是另两个点构成线段的中点时，请直接写出的值；
过点作轴于点，点在线段上且不与点重合，点在线段上，，连接，，是否存在最小值？如果存在，请直接写出最小值；如果不存在，请说明理由．
22．（2021秋•洪洞县期中）如图，在平面直角坐标系中，直线和直线交于轴上的点，且分别交轴于点，．
（1）求的面积；
（2）判断的形状，并说明理由；
（3）已知点为射线上一动点，过点作于点，连结，如图．是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
23．（2021•定远县二模）已知关于的函数，点为抛物线顶点．
（1）当点最高时，求的值；
（2）在（1）的条件下，当时，函数有最小值为9，求的值．
24．（2021•钦州模拟）如图，抛物线过点和点，与轴交于点在轴上有一动点（其中为实数，，过动点作直线轴，交抛物线于点．
（1）求抛物线解析式及点的坐标；
（2）当时，在直线上是否存在第一象限内的点，使得是以为底角的等腰三角形，若存在，求点的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）连接并延长交轴于点，连接，若的面积等于面积的2倍，求的值．
25．（2021秋•大连期末）如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，，且线段的长是方程的根，过点作轴，垂足为，，动点以每秒1个单位长度的速度，从点出发，沿线段向点运动，到达点停止．过点作轴的垂线，垂足为，以为边作正方形，点在线段上，设正方形与重叠部分的面积为，点的运动时间为秒．
（1）求点的坐标；
（2）求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
级别
用水量（单位：立方米）
水价（含污水处理费）
第一级
不超过17立方米部分
3.4元立方米
第二级
超过17立方米至30立方米部分
5.32元立方米
第三极
超过30立方米部分
7元立方米
甲
乙
一次性购买不足200元
打标价的9折
无优惠
一次性购买满200元不满500元
打标价的8折
共减30元
一次性购买满500元不满1000元
打标价的7折
共减元
优惠
条件
一次性购物
不超过200元
一次性购物超过200
元，但不超过600元
一次性购物
超过600元
优惠
办法
没有
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其中600元扔按九折优惠，
超过600元部分按八折优惠