山东省临沂市兰陵县2023-2024学年七年级下学期4月期中数学试题（原卷版+解析版）

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第I卷（选择题，共30分）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列在具体情境中不能确定平面内位置的是（ ）
A. 东经，北纬B. 电影院某放映厅7排3号
C. 益阳大道D. 万达广场北偏东方向，2千米处
【答案】C
【解析】
【分析】根据确定平面内位置的方法进行判断即可．
【详解】解：A．东经，北纬能确定平面内位置，故选项不符合题意；
B．电影院某放映厅7排3号在具体情境中能确定平面内位置，故选项不符合题意；
C．益阳大道不能确定平面内位置，故选项符合题意；
D．万达广场北偏东方向，2千米处在具体情境中能确定平面内位置，故选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查了平面内位置的确定，熟练掌握平面内位置的确定是解题的关键．
2. 下列各式中，正确的是（ ）
A. ＝4B. ＝﹣2C. ＝±4D. ±＝2
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次根式的性质化简，分别化简四个选项判断正误即可得到答案．
【详解】解：A、=4，正确，该选项符合题意；
B、没有意义，该选项不符合题意；
C、=4，原计算错误，该选项不符合题意；
D、±=±2，原计算错误，该选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
3. 若点在轴上，则点在（ ）
A 第四象限B. 第三象限C. 第二象限D. 第一象限
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了直角坐标系内点的坐标特征，正确理解坐标轴上点的坐标特征是解答本题的关键．根据点A在x上，求出m的值，得到点B的坐标，即可判断．
【详解】解：点在轴上，
，
，即，
点在第三象限，
故选：B．
4. 如图，，，则当时，（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是掌握平行线的性质．
由垂直可得，从而可求得，再利用平行线的性质即可求的度数．
【详解】解：，
，
，
，
∵，
，
．
故选：B．
5. 下列命题中，是真命题的是（ ）
A. 同位角相等B. 垂直于同一直线的两直线平行
C. 相等的角是对顶角D. 平行于同一直线的两直线平行
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：由同位角定义可知，同位角不一定相等；垂直于同一直线两直线平行必须有个前提，就是在同一平面内；相等的角除了对顶角外，还其他；平行于同一直线的两直线平行是真命题.
考点：同位角、垂直、角相等和平行.
6. 如图，已知于点O，，则的度数（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据邻补角的意义，可得关于x的方程，根据余角的性质的性质，可得答案．
【详解】解：∵，
设，．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴，
∴
，
故选：D．
【点睛】本题考查了垂线，利用邻补角的意义得出的度数是解题关键．
7. 如图，在下列给出的条件中，不能判定的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
根据平行线的判定定理判断求解即可．
【详解】解：A、∵，∴，故此选项符合题意；
B、∵，∴，故此选项不符合题意；
C、∵，∴，故此选项不符合题意；
D、∵，∴，故此选项不符合题意；
故选：A．
8. 比较2，，的大小，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查的是实数的比较大小，先分别求出这三个数的六次方，然后比较它们的六次方的大小，即可比较这三个数的大小．
【详解】解：，，，而，
，
．
故选：A．
9. 如图是老北京城一些地点的分布示意图，在图中，分别以正东，正北方向为轴，轴的正方向建立平面直角坐标系．如果表示东直门的点的坐标为（3.5，4），表示宣武门的点的坐标为（－2，－1），那么坐标原点所在的位置是（ ）
A. 天安门B. 正阳门C. 西直门D. 阜成门
【答案】A
【解析】
【分析】由东直门的坐标和宣武门的坐标，可以确定出每格表示的长度，再进一步确定坐标原点位置．
【详解】解：根据东直门的坐标和宣武门的坐标，可以确定出每格的长度为1，
将宣武门的坐标向右平移两格，向上平移一格，即为原点坐标的位置，
根据图可知为：天安门，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了确定出原点、轴，轴的位置，解题的关键是：由东直门的坐标和宣武门的坐标，确定出每格的长度．
10. 抖空竹是我国的传统体育，也是国家级非物质文化遗产之一、明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间流行的历史至少在600年以上．如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：，，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，延长交于点，先利用平行线的性质可得，然后利用三角形的外角性质进行计算，即可解答．根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
【详解】解：延长交于点，
∵，
∴，
∵是的一个外角，
∴，
故选：A．
第II卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本题共6个小题，每小题3分，共18分．
11. 如果，那么约等于_______．
【答案】13.33
【解析】
【分析】根据立方根的性质，即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：13.33．
【点睛】本题考查了立方根，解决本题的关键是熟记立方根的性质．
12. 光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面与水杯下沿平行，光线变成，点在射线上，，则______．

【答案】25
【解析】
【分析】根据平行线的性质知，结合图形求得的度数．
【详解】解：，
．
，
．
故答案为：25．
【点睛】本题考查了平行线的性质，属于基础题，熟练掌握平行线的性质是解决本类题的关键．
13. 在平面直角坐标系中，点A的坐标是，若轴，且，则点B的坐标是________．
【答案】或
【解析】
【分析】由题意，设点B的坐标为(-2，y)，则由AB=9可得，解方程即可求得y的值，从而可得点B的坐标．
【详解】∵轴
∴设点B的坐标为(-2，y)
∵AB=9
∴
解得：y=8或y=－10
∴点B的坐标为或
故答案为：或
【点睛】本题考查了平面直角坐标系求点的坐标，解含绝对值方程，关键是抓住平行于坐标轴的线段长度只与两点的横坐标或纵坐标有关，易错点则是考虑不周，忽略其中一种情况．
14. 一个正数的两个平方根分别是和，则这个数为_____________．
【答案】4
【解析】
【分析】根据平方根的性质即可得到结果；
【详解】解：根据题意得，a-1+a+3=0，
解得，a=-1，
∴原数为22=4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查平方根的性质，熟练掌握平方根的性质是解题的关键．
15. 在平面直角坐标系中，点A1（1，0），A2（2，3），A3（3，8），A4（4，15），…，用你发现的规律确定点An的坐标为__________．
【答案】（n，n2﹣1）．
【解析】
【分析】这些点的横坐标是连续的正整数，纵坐标加上1就是它横坐标的平方．
【详解】∵点A1（1，0），A2（2，3），A3（3，8），A4（4，15），…，
∴横坐标是连续的正整数，纵坐标为：12﹣1=0，22﹣1=3，32﹣1=8，…
∴点An的坐标为：（n，n2﹣1）．
故答案：为（n，n2﹣1）．
【点睛】本题考查了探究点的坐标规律，发现“纵坐标加上1就是它横坐标的平方”是解题的关键．
16. 数轴是一个非常重要的数学工具，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．如图所示，面积为5的正方形的顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，若点在数轴上（点在点A左侧），且，则点所表示的数为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数与数轴，理解数轴上表示的点的方法是解答本题的关键．
根据正方形的面积为5得到，再结合，点表示的数为1，点E在点A的左侧，然后确定点E表示的数即可．
【详解】解：∵正方形的面积为5，
∴，
∵，
∴，
∵点A表示的数为1，若点在数轴上（点在点A左侧），
∴点E所表示的数为：．
故答案为：．
三、解答题（本题共8个小题，共72分，解答时应写出必要的文字说明、证明步骤或演算步骤．）
17. 计算：
（1）
（2）；
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查实数混合运算．熟练掌握实数运算法则是解题的关键．
（1）先去括号，再计算加减即可；
（2）先计算开方，去值符号，再计算加减即可．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
．
18. 已知，如图，，，试说明的道理，以下是说明道理的过程，请将其填写完整，并在括号内填出所得结论的理由解：
（已知）

（ ）
∴（ ）


即
∴（ ）
【答案】对顶角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；已知；等式的基本性质；内错角相等，两直线平行
【解析】
【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．
利用对顶角相等得出，再利用平行线的判定定理和性质定理可得，易得，利用内错角相等，两直线平行可得结论
【详解】解：（已知），
（对顶角相等），
（等量代换），
∴ （同位角相等，两直线平行），
（两直线平行，内错角相等），
（已知）
（等式的基本性质），
即
∴ （内错角相等，两直线平行）．
故答案为：对顶角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；已知；等式的基本性质；内错角相等，两直线平行．
19. 如图，由相同的小正方形组成的网格线的交点叫格点，格点P是的边上的一点（请利用网格作图，保留作图痕迹）．
（1）过点P画的垂线m，交于点C；过点B画的平行线，交直线m于点D；过点P画的平行线．
（2）线段______的长度是点O到的距离；
（3） 的理由是______．
（4）______（位置关系），理由是______．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）垂线段最短 （4），平行于同一直线的两直线平行
【解析】
【分析】（1）取格点M，过点P、M作直线m；利用格线互相平行，作直线、即可；
（2）根据点到直线的距离定义解答；
（3）根据垂线段最短解答；
（4）根据平行公理的推论解答．
【小问1详解】
解：如图所示，直线m、、，点C即为所求，
【小问2详解】
解：∵于P，
∴线段的长度是点O到的距离；
【小问3详解】
解：根据垂线段最短得，
∴的理由是垂线段最短；
【小问4详解】
解：∵，，
∴．
根据平行公理的推论：平行于同一直线的两直线平行．
【点睛】本题考查利用网格作图，点到直线的距离，平行公理的推论，垂线段最短，解题的关键是掌握点到直线的距离定义：从直线外一点作直线的垂线，这点与垂足间的线段长度叫到点直线的距离，垂线段最短，平行公理的推论．
20. 阅读材料，解答问题：
材料：，
∴，即，
∴的整数部分是2，小数部分为．
问题：已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分．
（1）求的小数部分；
（2）求的平方根．
【答案】（1）小数部分
（2）
【解析】
【分析】本题考查了无理数的估算、立方根、算术平方根、平方根，熟练掌握以上知识点，准确进行计算是解此题的关键．
（1）先估算出的范围，得出的整数部分，即可得到小数部分；
（2）先根据立方根、算术平方根的定义、无理数的估算求出的值，从而求出的值，再根据平方根的定义得出答案．
【小问1详解】
解：，
，
∴整数部分为3 ，小数部分；
【小问2详解】
解：的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分，
，，，
，，，
，
平方根为：．
21. 如图，．
（1）若是的角平分线，，求的度数；
（2）若，求证：．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了角平分线，平行线的判定与性质．熟练掌握角平分线，平行线的判定与性质是解题的关键．
（1）由题意知，，由，可得，然后作答即可．
（2）由，可得，则，进而可证．
【小问1详解】
解：∵是的角平分线，，
∴，
又∵，
∴．
【小问2详解】
证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
22. 如图，直角坐标系中，三角形的顶点都在网格点上，其中，C点坐标为，
（1）写出点A、B的坐标：A_____、B_____；
（2）将三角形先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到三角形，画出三角形，并写出三点坐标；
（3）求三角形的面积．
【答案】（1），
（2）图见解析，，，
（3）5
【解析】
【分析】（1）根据点的位置直接得到点的坐标；
（2）根据平移规律作图及确定点坐标即可；
（3）根据所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，列式计算即可得解．
【小问1详解】
解：由题意知，，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：如图，即为所求，，，；
；
【小问3详解】
解：．
【点睛】此题考查了平移作图，确定点的坐标，割补法求几何图形的面积，正确掌握平移的性质作出平移的图形是解题的关键．
23. 在平面直角坐标系中，给出如下定义： 点P到X轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”， 点Q到x轴、y轴的距离相等时， 称点Q为“完美点”．
（1）点的“长距”为 ；
（2）若点是“完美点”， 求a 的值；
（3）若点的长距为4，且点C 在第二象限内，点D的坐标为，试说明： 点 D 是“完美点”．
【答案】（1）3 （2）或
（3）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系的知识，属于阅读理解类型题目，关键是要读懂题目里定义的“长距”与“完美点”．
（1）根据“长距”的定义解答即可；
（2）根据“完美点”的定义解答即可；
（3）由“长距”的定义求出b的值，然后根据“完美点”的定义求解即可．
【小问1详解】
解：根据题意，得点到轴的距离为3，到轴的距离为1，
∴点A的“长距”为3．
故答案为：3；
【小问2详解】
解：∵点是“完美点”，
∴，
∴或，
解得或；
【小问3详解】
解：∵点的长距为4，且点C 在第二象限内，
∴，
解得，
∴，
∴点D坐标为，
∴点D到x轴、y轴的距离都是5，
∴点 D 是“完美点”．
24. 实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图①，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m，反射光线n与平面镜a所夹的锐角．
（1）如图②，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射．若被b反射出的光线n与光线m平行，且，则______，______．
（2）在（1）中，若，则______；若，则______．
（3）由（1），（2），请你猜想：当两平面镜a，b的夹角______时，可以使任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a，b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行．请说明理由．
【答案】（1）；
（2）；
（3），理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定与性质以及三角形内角和定理，银题关键是掌握同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．
（1）根据平面镜反射光线的规律得，再利用平角的定义得，然后利用平行线的性质计算出，则，再利用三角形内角和定理计算；
（2）运用同样的方法进行解答即可；
（3）当时，根据三角形内角和定理得，则，利用平角的定义得到，然后根据平行线的判定得到．
【小问1详解】
解： ，
，
∵，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：同样的方法，可得当，；
当，；
【小问3详解】
解：当时，．
理由如下：
，
，
，
，
∴．