广东省梅州市2024届高三下学期总复习质检（二模）数学试卷(含答案)

这是一份广东省梅州市2024届高三下学期总复习质检（二模）数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．常言道：“不经历风雨，怎么见彩虹”.就此话而言，“经历风雨”是“见彩虹”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
2．已知集合，，则( )
A.B.C.D.
3．三个函数，，的零点分别为a，b，c，则a，b，c之间的大小关系为( )
A.B.C.D.
4．如图，两根绳子把物体M吊在水平杆子AB上.已知物体M的重力大小为20牛，且，在下列角度中，当角取哪个值时，绳承受的拉力最小. ( )
A.B.C.D.
5．若把函数的图象向左平移个单位后得到的是一个偶函数，则( )
A.B.C.D.
6．根据一组样本数据，，…，，求得经验回归方程为，且平均数.现发现这组样本数据中有两个样本点和误差较大，去除后，重新求得的经验回归方程为，则( )
A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8
7．某学校为参加辩论比赛，选出8名学生，其中3名男生和5名女生，为了更好备赛和作进一步选拔，现将这8名学生随机地平均分成两队进行试赛，那么两队中均有男生的概率是( )
A.B.C.D.
8．已知点F为双曲线C：的右焦点，点N在x轴上（非双曲线顶点），若对于在双曲线C上（除顶点外）任一点P，恒是锐角，则点N的横坐标的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．设，是复数，则下列说法正确的是( )
A.若，则B.若，则
C.D.若，则
10．已知数列的通项公式为，，在中依次选取若干项（至少3项），，，…，，…，使成为一个等比数列，则下列说法正确的是( )
A.若取，，则
B.满足题意的也必是一个等比数列
C.在的前100项中，的可能项数最多是6
D.如果把中满足等比的项一直取下去，总是无穷数列
11．如图，平面，，M为线段AB的中点，直线MN与平面的所成角大小为，点P为平面内的动点，则( )
A.以N为球心，半径为2的球面在平面上的截痕长为
B.若P到点M和点N的距离相等，则点P的轨迹是一条直线
C.若P到直线MN的距离为1，则的最大值为
D.满足的点P的轨迹是椭圆
三、填空题
12．某中学1500名同学参加一分钟跳绳测试，经统计，成绩X近似服从正态分布，已知成绩大于170次的有300人，则可估计该校一分钟跳绳成绩X在130～150次之间的人数约为__________.
13．已知数列的通项公式（），则的最小值为__________.
14．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，定义、两点之间的“直角距离”为.已知两定点，，则满足的点M的轨迹所围成的图形面积为__________.
四、解答题
15．已知椭圆C：（）的离心率为，且经过点.
（1）求椭圆C的方程：
（2）求椭圆C上的点到直线l：的距离的最大值.
16．在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，，，
（1）求A的大小：
（2）点D在BC上，
①当，且时，求AC的长；
②当，且时，求的面积.
17．如图，在四棱锥中，平面平面，底面为直角梯形，为等边三角形，，，.
（1）求证：；
（2）点N在棱上运动，求面积的最小值；
（3）点M为的中点，在棱上找一点Q，使得平面，求的值.
18．已知函数，，（）.
（1）证明：当时，；
（2）讨论函数在上的零点个数.
19．已知是由正整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为，即；前n项的最小值记为，即，令（，2，3，…），并将数列称为的“生成数列”.
（1）若，求其生成数列的前n项和；
（2）设数列的“生成数列”为，求证：；
（3）若是等差数列，证明：存在正整数，当时，，，，…是等差数列.
参考答案
1．答案：B
解析：由题意，经历风雨不一定会见彩虹，但见彩虹一定是经历风雨，
所以“经历风雨”是“见彩虹”的必要不充分条件.
故选：B.
2．答案：D
解析：因为，
二次函数，当且仅当时取等号，
所以，
所以.
故选：D.
3．答案：B
解析：因为函数，，，都是增函数，
所以函数，，均为增函数，
因为，，
所以函数的零点在上，即，
因为，，
所以函数的零点在上，即，
因为，，
所以函数的零点在上，即，
综上，.
故选：B.
4．答案：C
解析：作出示意图，设与物体M平衡的力对应的向量为，则，
以为对角线作平行四边形，则，是绳承受的拉力大小，
由，得，所以，
中，由正弦定理得，即，
可得，
结合，可知当时，达到最小值10.
综上所述，当角时，绳承受的拉力最小.
故选：C.
5．答案：C
解析：把函数的图象向左平移个单位后得到，
，
则，
即，
即，该方程对任意恒成立，
则，解得.
故选：C.
6．答案：C
解析：因为原来的经验回归方程为，且平均数，
所以，
因为去除的两个样本点和，并且，，
所以去除两个样本点后，样本点的中心仍为，
代入重新求得的经验回归方程，可得，
解得.
故选：C.
7．答案：D
解析：根据题意，从8人中选出4人，有种选法，
分2种情况讨论：
①选出的4人中有2名男生和2名女生，有种选法，
②选出的4人中有1名男生和3名女生，有种选法，
则两队中均有男生的概率.
故选：D.
8．答案：C
解析：由题意可得，所以，
设，，
则，，
由恒是锐角，得，
又，，
不等式可化为：，
整理得：，
记，，
要使恒成立，由二次函数性质可知，
当，即时，
，解得；
当或，即或时，
，解得，
综上，.
又点N与双曲线顶点不重合，所以，
所以的取值范围为.
故选：C.
9．答案：ACD
解析：对于A，，则，解得，即，故A正确；
对于B，，，满足，但，故B错误；
对于C，，
，故C正确；
对于D，，则，即，即，故D正确.
故选：ACD.
10．答案：AB
解析：因为数列的通项公式为，
对于A，取，，则，，
由于为等比数列，则，则有，即，故A正确；
对于B，数列的通项公式为，则，
若为等比数列，即，，，…，，…是等比数列，
则，，，…，，…，是等比数列，
故满足题意的也必是一个等比数列，故B正确；
对于C，在的前100项中，可以取，，，，，，，
可以使成为一个等比数列，此时为7项，故C错误；
对于D，取，，则，，则，，
不是数列的项，
所以把中满足等比的项一直取下去，不总是无穷数列，故D错误.
故选：AB.
11．答案：BC
解析：对于A，由于MN与平面的所成角大小为30°，所以点N到平面的距离，
故半径为的球面在平面上截面圆的半径为，故截痕长为，A错误，
对于B，由于平面，所以以为y，在平面内过M作，平面内作，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
设，则，
化简得，故P到点M和点N的距离相等，则点P的轨迹是一条直线，B正确，
，，所以P到直线MN的距离为，化简可得，
所以点P的轨迹是平面内的椭圆上一点，如图，
当P在短轴的端点时，此时最大，由于，故，因此，C正确，
对于D，，，，
若，则，
化简得且，故满足的点P的轨迹是双曲线的一部分，D错误，
故选：BC.
12．答案：450
解析：由题意可知，，
又因为，
所以
所以跳绳成绩X在130～150次之间的人数约为.
故答案为：450.
13．答案：/
解析：由于当n为奇数时，，当n为偶数时，，
要求的最小值，只需要考虑出现奇数个奇数项时即可，
又，
且当时，，因此时，，
当，，
当，，
综上，最小值为.
故答案为：.
14．答案：6
解析：设，由题意，
可知，
故当，时，，
当时，，
当，，
当，时，，
当，时，，
轨迹方程的图形如图，
图形的面积为：.
故答案为：6.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）由椭圆的离心率为，可得，
可得，设椭圆的方程为：，，
又因为椭圆经过点，所以，
解得，
所以椭圆的方程为：.
（2）设与直线平行的直线的方程为，
联立，整理可得：，
，可得，则，
所以直线到直线的距离.
所以椭圆C上的点到直线的距离的最大值为.
16．答案：（1）
（2）；
解析：（1）因为，
所以由正弦定理可得，
又，
所以，
因为B为三角形内角，，
所以，可得，
因为，所以.
（2）①此时，，
所以，所以，，，
在中，由正弦定理可得；
②设，由，
可得，化简可得，
有，，
由于，所以，
所以，，
则.
17．答案：（1）证明见解析
（2）
（3）4
解析：（1）取的中点H，连接，，则且，又，
所以四边形为矩形，
所以，又为等边三角形，
所以，，，平面，
所以平面，
又平面，
所以.
（2）连接，由平面，
又平面，
所以，所以，
要使的面积最小，即要使最小，
当且仅当时取最小值，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又平面，所以，
在中，，，所以，
当时，
所以面积的最小值为.
（3）连接交于点G，连接交于点F，连接，
因为且，所以，
所以，
因为平面，又平面，
平面平面，
所以，
所以，
在中，过点M作，
则有，所以，所以，即，
18．答案：（1）证明见解析
（2）当时，在上没有零点：当时，在上有且仅有1个零点.
解析：（1）证明，令，
则，
记，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减：在上单调递增，
从而在上，，
所以在上单调递增，
因此在上，，即；
（2），，
，在上，，
所以，在上递增，，即函数在上无零点；
，记，
则，在上递增，
而，，
故存在，使，
当时，递减，时，递增，，
而，，
在上无零点，在上有唯一零点，
综上，当时，在上没有零点：
当时，在上有且仅有1个零点.
19．答案：（1）
（2）证明见解析
（3）证明见解析
解析：（1）因为关于n单调递增，
所以，
，
于是，
的前n项和.
（2）由题意可知，，
所以，
因此，即是单调递增数列，且，
由“生成数列”的定义可得.
（3）若是等差数列，证明：存在正整数，当时，，，，…是等差数列.
当是一个常数列，则其公差d必等于0，，
则，因此是常数列，也即为等差数列；
当是一个非常数的等差数列，则其公差d必大于0，，
所以要么，要么，
又因为是由正整数组成的数列，所以不可能一直递减，
记，则当时，有，
于是当时，，
故当时，，…，
因此存在正整数，当时，，，，…是等差数列.
综上，命题得证.