专题03函数（4大易错点分析）备战2024年中考数学考试易错题（安徽专用）

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专题03 函数 易错点一：平面直角坐标系相关问题1．平面直角坐标系的概念及点的坐标特征： (1)各象限内点的坐标特征如图所示．(2)点到坐标轴或坐标原点的距离：点P(x，y)到x轴的距离为 ，到y轴的距离为 ，到坐标原点的距离为 ．(3)特殊点的坐标特征：点P(x，y)在x轴上为 ，在y轴上为 ．若在第一、三象限的角平分线上，则 ；若在第二、四象限的角平分线上，则 ．(4)坐标系内点的对称及平移：将点P(x，y)向左(或右)平移a(a＞0)个单位，得对应点为( ，y)或( ，y)．向上(或下)平移b(b＞0)个单位，得对应点为(x， )或(x， )．(5)平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征：①平行于x轴的直线上，所有点的 坐标相等．②平行于y轴的直线上，所有点的 坐标相等．易错提醒：（1）明确点的横纵坐标分别对应点到y轴、x轴的距离，以此来确定坐标的绝对值；（2）明确点所在的象限，以此来确定坐标的符号；（3）平移时要分清是点的平移还是坐标系的平移，点的平移是左减右加.例1.（2023·安徽芜湖·校考一模）若点在第四象限，则a的取值范围是 ． 例2.（2023·安徽合肥·校考一模）如图，若将（点C与点O重合）绕点O顺时针旋转度后得到，则点A的对应点的坐标是 ． 例3.（2022·安徽·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，为格点三角形（三角形的顶点都在网格线的交点上）．(1)将向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，请画出；(2)在图中用无刻度的直尺画一条能将的周长与面积同时二等分的直线． 例4.（2022·安徽·模拟预测）将一个图形先沿一条射线方向平移一定的距离得到图形，再作图形关于射线对称的图形，把由图形到图形的变换叫做滑动反射变换，简称滑动反射．如图，在菱形中，，点，点在轴正半轴上，且与点的横坐标相同，将菱形沿轴正方向作一次滑动反射得到菱形，作两次滑动反射得到菱形每次变换中平移的距离等于的长．(1)点的坐标为_______；(2)点的横坐标为_______；(3)菱形（为正整数）的对称中心的纵坐标为_______．（用含的代数式表示） 1.（2023·安徽蚌埠·校联考二模）如果点在第一象限，则点在第 象限．2.（2023·安徽安庆·安庆市第二中学校考三模）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点、均在格点上．  (1)画出向左平移5个单位后的图形，则点的坐标为 ．(2)画出绕顺时针旋转后的图形，则点的坐标为 ．(3)在（2）的条件下，扫过的面积为__________． 3．（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考模拟预测）如图，的顶点坐标分别为，，．将绕原点O逆时针旋转90°的图形得到．(1)画出的图形，并写出的坐标．(2)若点在边上，直接写出点P旋转后对应点的坐标． 4.（2022·安徽·校联考模拟预测）如图所示，在台球桌面ABCD上建立平面直角坐标系，点P从出发沿图中箭头方向运动，碰到边界（粗线）会发生反弹（反射角等于入射角）．若点P的运动速度为每秒个单位长度，则第2022秒时点P的坐标为（　　）  A． B． C． D． 易错点二：一次函数的相关问题一、一次函数和正比例函数1．定义：如果y=kx+b（k≠0），那么y叫x的一次函数，当b=0时，一次函数y=kx也叫正比例函数．正比例函数是一次函数的特例，具有一次函数的性质．2．一次函数与正比例函数的关系一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是过点（0，b）与直线y=kx平行的一条直线。它可以由直线y=kx平移得到．它与x轴的交点为，与y轴的交点为（0，b）．一次函数图象与性质二、一次函数的图象与性质函数的概念根据函数的概念，对于每一个自变量的值，都有唯一确定的y值与之对应，否则就不是函数关系。易错提醒：（1）如果y=kx+b（k≠0），当b=0时，一次函数y=kx就叫正比例函数；（2）正比例函数是一次函数的特例，具有一次函数的性质，正比例函数是特殊的一次函数，但一次函数不一定是正比例函数；（3）一次函数图象与性质要熟练掌握.例1.（2023·安徽·统考中考真题）下列函数中，的值随值的增大而减小的是（   ）A． B． C． D．例2.（2022·安徽·统考中考真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图像可能是（    ）A． B．C． D． 例3.（2019·安徽亳州·校联考一模）一次函数与为常数，在同一平面直角坐标系中的图象应该是（    ）A． B．  C．   D．   1（2021·安徽·统考中考真题）某品牌鞋子的长度ycm与鞋子的“码”数x之间满足一次函数关系．若22码鞋子的长度为16cm，44码鞋子的长度为27cm，则38码鞋子的长度为（    ）A．23cm B．24cm C．25cm D．26cm 2．（2020·安徽·统考中考真题）已知一次函数的图象经过点，且随的增大而减小，则点的坐标可以是（  ）A． B． C． D． 3．（2023·安徽·模拟预测）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象分别为直线和直线．下列结论正确的是（    ）A． B． C． D． 4．（2023·安徽合肥·校联考三模）直线和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ）A．B．  C．  D．   5．（2023·安徽宿州·统考三模）甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面20m高的楼顶起飞，甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（单位：m）与无人机上升的时间x（单位：s）之间的关系如图所示，当无人机上升时间为10s时，两架无人机的高度差为(   )  A． B． C． D． 6．（2023·安徽合肥·统考三模）下图是甲乙丙三位同学在一次长跑练习中所用时间与路程之间的函数图像，其中最先到达终点和平均速度最快的分别是（    ）  A．甲和乙 B．甲和丙 C．丙和甲 D．丙和乙 易错点三：反比例函数的相关问题1．反比例函数的概念一般地，形如y= （k为常数，k≠0）的函数，叫做反比例函数．反比例函数还有其他两种形式：①y=kx-1（k为常数，k≠0）；②xy=k（k为常数，k≠0）．2．反比例函数的图象与性质3．反比例函数系数k的几何意义易错提醒：（1） 错把反比例函数的一般形式写成；在反比例函数中，自变量要写在分母的位置上；（2）对反比例函数图像的性质理解错误，当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，y值随x值的增大而减小；当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，y值随x值的增大而增大；双曲线的两个部分是不连续的，解题时不能忽略在每一个象限内这一条.例1．（2023·安徽·统考中考真题）已知反比例函数在第一象限内的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（   ）            B．  C．   D．       例2.（2021·安徽·统考中考真题）已知正比例函数与反比例函数的图象都经过点A（m，2）．（1）求k，m的值；（2）在图中画出正比例函数的图象，并根据图象，写出正比例函数值大于反比例函数值时x的取值范围． 例3.（2023·安徽·统考中考真题）如图，是坐标原点，的直角顶点在轴的正半轴上，，反比例函数的图象经过斜边的中点．  （1） ；（2）为该反比例函数图象上的一点，若，则的值为 ． 例4.（2022·安徽·统考中考真题）如图，平行四边形OABC的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B，C在第一象限，反比例函数的图象经过点C，的图象经过点B．若，则 ． 1.（2019·安徽·统考中考真题）已知点A（1，-3）关于x轴的对称点在反比例函数的图像上，则实数k的值为（     ）A．3 B． C．-3 D．2．（2023·安徽·模拟预测）如图，的顶点在轴上，顶点分别在反比例函数和的图象上．若的面积等于8，则的值为（     ）A．3 B．6 C． D．3.（2020·安徽·统考中考真题）如图，一次函数的图象与轴和轴分别交于点和点与反比例函数上的图象在第一象限内交于点轴，轴，垂足分别为点，当矩形与的面积相等时，的值为 ．   4．（2022·安徽·模拟预测）如图，点在双曲线上，过点作轴于点是轴负半轴上的一个动点，则的面积为 ． 5．（2023·安徽·模拟预测）如图，的两个顶点分别在反比例函数和的图象上，顶点在轴上．已知平行于轴，且的面积等于7，则的值为 ． 6.（2022·安徽·模拟预测）如图，一次函数和反比例函数的图象相交于两点，过点作轴的垂线，垂足分别为，四边形的面积为8．(1)求这两个函数的表达式；(2)直接写出不等式的解集． 易错点四：二次函数的相关问题1．二次函数的概念一般地，形如（a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数．其中x是自变量，a，b，c分别表示函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项2．二次函数的解析式（1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）；（2）顶点式：（a，b，c是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标；（3）交点式： （a≠0，是抛物线与x轴两交点的坐标，即一元二次方程的两个根）．3．二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质易错提醒：（1）二次函数y=ax2+bx+c中a≠0时，才能称为二次函数）；（2）二次函数的增减性由抛物线的开口方向，对称轴、点的位置等确定，增减性以对称轴为分界，左右两边有不同的增减性；（3）二次函数的最值有多种类型。如果自变量的取值范围是某个闭区间，那么其最值有可能在端点处，也有可能在顶点处.例1．（2020·安徽·统考中考真题）如图和都是边长为的等边三角形，它们的边在同一条直线上，点，重合，现将沿着直线向右移动，直至点与重合时停止移动．在此过程中，设点移动的距离为，两个三角形重叠部分的面积为，则随变化的函数图像大致为（  ）A． B． C． D． 例2．（2021·安徽·统考中考真题）设抛物线，其中a为实数．（1）若抛物线经过点，则 ；（2）将抛物线向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是 ． 例3．（2023·安徽·统考中考真题）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线经过点，对称轴为直线．(1)求的值；(2)已知点在抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为．过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点．（ⅰ）当时，求与的面积之和；（ⅱ）在抛物线对称轴右侧，是否存在点，使得以为顶点的四边形的面积为？若存在，请求出点的横坐标的值；若不存在，请说明理由． 例4．（2022·安徽·统考中考真题）如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点．(1)求此抛物线对应的函数表达式；(2)在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点，在x轴上，MN与矩形的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段，，，MN长度之和．请解决以下问题：（ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点，在抛物线AED上．设点的横坐标为，求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值；（ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的修建“”型或“”型栅型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形面积的最大值，及取最大值时点的横坐标的取值范围（在右侧）． 1.（2023·安徽·模拟预测）已知抛物线．（1）该抛物线的顶点坐标为 ；（2）若当时，该拋物线的最小值为，则的值为 或 ．2.（2023·安徽·模拟预测）已知拋物线与直线相交于点（点在点右侧），且．（1）的值是 ．（2）直线与抛物线相交于点，与直线相交于点，．若随的增大而增大，则的取值范围是 ．3.（2023·安徽·模拟预测）如图，为等腰直角三角形，，正方形的边长为1，且与在同一条直线上，从点与点重合开始，沿直线向右平移，直至点与点完全重合时停止．设的长为与正方形重合部分（图中阴影部分）的面积为，则与之间的函数图像大致是（    ）B．C． D．4.（2021·安徽·统考中考真题）已知抛物线的对称轴为直线．（1）求a的值；（2）若点M（x1，y1），N（x2，y2）都在此抛物线上，且，．比较y1与y2的大小，并说明理由；（3）设直线与抛物线交于点A、B，与抛物线交于点C，D，求线段AB与线段CD的长度之比．5．（2020·安徽·统考中考真题）在平面直角坐标系中，已知点，直线经过点．抛物线恰好经过三点中的两点．判断点是否在直线上．并说明理由；求的值；平移抛物线，使其顶点仍在直线上，求平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值． 6．（2023·安徽·模拟预测）某蔬菜基地调洒水车来浇灌菜地，已知洒水的剖面是由、两条拋物线和地面组成，建立如图的平面直角坐标系．拋物线的函数表达式为，拋物线上点的坐标为，其最高点离地面的高度是米，且恰好在点的正上方．(1)如图1，当时，求抛物线与轴正半轴的交点坐标．  (2)如图2，若大棚的一边是防风墙，防风墙距离点有11米，墙高米，要想所洒的水既能到墙边又不会洒到墙外，求的取值范围．  (3)如图3，在（2）抛物线正好经过墙角的条件下，为了防止强光灼伤蔬菜，菜农将遮阴网（用线段表示，与拋物线相交于点）两端固定在两处，点距点正好2米．若是线段上一动点，过点作轴交拋物线于点，求长度的最大值．   7．（2022·安徽·模拟预测）如图，已知抛物线与轴正半轴交于点A，与轴负半轴交于点，且，与直线交于两点．(1)求点的坐标；(2)当时，求的面积；(3)取何值时的面积最小？最小面积是多少？ 8．（2023·安徽·模拟预测）如图，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，且．(1)求该拋物线的表达式；(2)连接是该抛物线上的一个动点，且位于线段的下方，相交于点，求的最大值．点P(x，y)关于x轴对称关于y轴对称关于原点对称对称点的坐标   函数系数取值大致图象经过的象限函数性质y=kx（k≠0）k>0一、三y随x增大而增大k0b>0一、二、三y随x增大而增大k>0b0k0）y=ax2+bx+c（a时，y随x的增大而增大；x时，y随x的增大而减小；x