四川省成都市第七中学2020届高三上学期期中考试数学（理）试题（解析版）

这是一份四川省成都市第七中学2020届高三上学期期中考试数学（理）试题（解析版），共11页。
考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.设集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知i为虚数单位，若复数,则（）
A. 1B. 2C. D.
3.若，则下列不等式恒成立的是（ ）
A. B. C. D.
4.已知点，则向量在方向上的投影为（ ）
A. B. C. D.
5.成都七中星期一至星期五每天上午共安排五节课，每节课的时间为40分钟，第一节课上课的时间为7：55~8：35，课间休息10分钟.某同学请假后返校，若他在8：55~9：35之间随机到达教室，则他听第二节课的时间不少于20分钟的概率为（ ）
A. B. C. D.
6.已知数列{an}的前n项和为Sn，则“{an}是等差数列”是“是等差数列”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
7.已知，是奇函数，直线与函数的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，则（ ）
A. 在上单调递减B. 在上单调递减
C. 在上单调递增D. 在上单调递增
8.已知等比数列的各项均为正数，且，，成等差数列，则（ ）
A. 9B. 6C. D. 1
9.椭圆与双曲线的焦点相同，当这两条曲线的离心率之积为1时，双曲线的渐近线斜率是（ ）
A. B. C. D.
10.已知函数为一次函数，若对，有，当时，函数的最大值与最小值之和是（ ）
A. 10B. 8C. 7D. 6
11.在中，点满足，过点的直线与，所在的直线分别交于点，，若，，则的最小值为（ ）[中^国教育~@出*版网#]
A. B. C. D.
12.函数是定义在R上的函数,且满足,当时,,则方程在的根的个数为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.命题“”的否定是___________________________________.
14.国庆阅兵式上举行升旗仪式，如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排的距离为10米，则旗杆的高度为______米.
15.在棱长为1的正方体中，平面与正方体每条棱所成的角均相等，则平面截正方体所形成的三角形截面中，截面面积的最大值为_____________.
16.已知函数有极值，且导函数的极值点是的零点，给出命题：①；②若，则存在，使得；③与所有极值之和一定小于0；④若，且是曲线的一条切线，则的取值范围是.则以上命题正确的是_____________（填序号）.
三、解答题（本大题共7小题，17-21题各12分，22或23题10分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.已知函数.
（1）用“五点作图法”作出在一个周期内的图象；
（2）在中，若函数在角处取得最大值，且，求周长的最大值.
18.图①是由矩形，Rt和Rt 组成的一个平面图形，其中，，将其沿折起使得重合，连接,如图②.[来源:*%中国教育出~版网&#]
（1）证明：平面平面；[中%&国教*^育出版~网]
（2）若为线段的中点，求直线与平面所成角的正切值.
19.电商“双十一”大战即将开始.某电商为了尽快占领市场，抢占今年“双十一”的先机，对成都地区年龄在15到75岁的人群“是否网上购物”的情况进行了调查，随机抽取了100人，其年龄频率分布表和使用网上购物的人数如下所示：（年龄单位：岁）
（1）若以45岁为分界点，根据以上统计数据填写下面的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“网上购物”与年龄有关；
（2）若从年龄在，的样本中各随机选取2人进行座谈，记选中的4人中“使用网上购物”的人数为，求随机变量的分布列和数学期望.
参考数据：
[来源:zzst*@ep.%^c~m]
参考公式：.[中&国教育#*~出%版网]
20.已知抛物线过点，直线经过抛物线焦点与抛物线交于两点.[来源%:z#~z&s@tep.cm]
（1）若直线的方程为，求的面积；
（2）若直线的斜率为，且，求直线的方程.
21.已知函数，其中为实数，e为自然对数的底数.
（1）求函数的单调区间；
（2）是否存在实数，使得对任意给定的，在区间上总存在三个不同的，使得成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.[来源%:^中教网~#&]
请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分.请考生用2B铅笔将答题卡上所做题目的题号涂黑.
22.在直角坐标系中，曲线的方程为，直线恒过定点，倾斜角为.
（1）求曲线和直线的参数方程；
（2）当时，若直线交椭圆于两点，求的值.
23.已知函数.
（1）若不等式对恒成立，求实数的取值范围；
（2）当时，求不等式的解集.
年龄段
频率
0.1
0.32
0.28
0.22
0.05
0.03
购物人数
8
28
24
12
2
1
年龄低于45岁
年龄不低于45岁
总计
使用网上购物
不使用网上购物
总计
0.025
0.010
0.005
0001
3.841
6.635
7.879
10.828