四川省成都市第七中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含解析

www.ks5u.com成都七中2019—2020学年度下期高2022届半期考试

高一数学试卷

考试时间：120分钟    满分：150分

一、选择题

1.的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据两角和的正弦公式计算即可.

【详解】

,

,

故选：B

【点睛】本题主要考查了两角和的正弦公式，特殊角的三角函数值，属于容易题.

2.已知等差数列中，，，则公差的值为（    ）

A.  B. 1 C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据等差数列的通项公式计算即可求解.

【详解】因为等差数列中，，，

所以，

解得，

故选：C

【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，考查了运算能力，属于容易题.

3.已知，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

将条件等式两边平方，利用，结合二倍角公式，即可求解.

【详解】因为，

所以，

所以．

故选：C.

【点睛】本题考查应用同角间的三角函数关系、三角恒等变换求值，属于基础题．

4.若，则下列结论不正确的是（ ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【详解】试题分析：因为，所以，所以：

(A)正确；

(B) 因为，所以在两边同时乘以b，得，正确‘

(C) 因为，，所以，正确；

(D) 当时，，故错误．

故选D.

5.在中，内角，，的对边分别为，，，且，，，则边的大小是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据正弦定理直接计算即可求解.

【详解】因为，，，

所以,

即,

故选：D

【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于容易题.

6.等差数列中，，那么的值是（    ）

A 60 B. 24 C. 36 D. 48

【答案】D

【解析】

【分析】

根据等差数列的性质及求和公式即可求解.

【详解】因为等差数列中，,

所以，

故选：D

【点睛】本题主要考查了等差数列的求和公式，等差数列的性质，属于中档题.

7.设为等比数列的前项和，，则的值为（    ）

A.  B. 9 C. 9或 D. 或

【答案】D

【解析】

【分析】

根据等比数列的通项公式及求和公式即可求解.

【详解】因为，

所以，

即，

解得或

而或，

故选：D

【点睛】本题主要考查了等比数列的求和公式，通项公式，属于中档题.

8.化简的结果为（    ）

A. 1 B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据正弦余弦的二倍角公式及诱导公式化简即可求值.

【详解】,

故选：C

【点睛】本题主要考查了三角恒等变形，二倍角公式，诱导公式，属于中档题.

9.在，，，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据两角和正切公式的变形可求出.

【详解】因为,

所以,

即，

故选：B

【点睛】本题主要考查了两角和的正切公式，诱导公式，属于中档题.

10.已知数列为各项均为正数的等比数列，是它的前项和，若，且，则的值为（    ）

A. 64 B. 62 C. 60 D. 58

【答案】B

【解析】

【分析】

根据条件，联立方程组，求出首项和公比，代入求和公式即可求解.

【详解】因为数列为各项均为正数的等比数列且，

所以，

又，

所以，

由，解得：，

所以，

故选：B

【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，求和公式，属于中档题.

11.有一块半径为2，圆心角为45°的扇形钢板，从这个扇形中切割下一个矩形（矩形的各个顶点都在扇形的半径或弧上，且矩形的一边在扇形的半径上），则这个内接矩形的面积最大值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

如图先用所给角将矩形的面积表示出来，建立三角函数模型，再根据所建立的模型利用三角函数的性质求最值.

【详解】如图：

在中，设，

则，

在中，，所以，

，

设矩形A BCD的面积为S，

则

，

由于，

所以当时，，

故选：C

【点睛】本题主要考查了在实际问题中建立三角函数模型,求解问题的关键是根据图形建立起三角模型,将三角模型用所学的恒等式变换公式进行化简，属于中档题.

12.实数，，满足且，则下列关系成立的是（    ）

A  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据等式可变形为，利用完全平方可得大小，由得，做差，配方法比较大小.

【详解】由可得，利用完全平方可得

所以，

由可得，

，

，

综上，

故选：D

【点睛】本题主要考查了做差法比较两个数的大小，考查了推理与运算能力，属于难题.

二、填空题

13.已知直线斜率的取值范围是，则的倾斜角的取值范围是______．

【答案】

【解析】

【分析】

根据斜率与倾斜角关系即可求解.

【详解】因为直线斜率的取值范围是，

所以当斜率时，倾斜角，

当斜率时，倾斜角，

综上倾斜角的取值范围，

故答案为：

【点睛】本题主要考查了直线的斜率，直线的倾斜角，属于中档题.

14.已知，则______．

【答案】

【解析】

【分析】

根据诱导公式化简可得，利用两角差的正切求解即可.

【详解】,

,

即，

，

故答案为：

【点睛】本题主要考查了诱导公式，两角差的正切公式，同角三角函数基本关系，属于中档题.

15.不等式的解集是______．

【答案】或

【解析】

【分析】

由，可知，转化为不等式组求解即可.

【详解】因为，

所以或，

即或或或

解得或，

故答案为：或

【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，一次不等式的解法，属于中档题.

16.已知正数，满足，若恒成立，则实数的取值范围是______．

【答案】

【解析】

【分析】

将变形为，利用均值不等式求的最小值即可求解.

【详解】因为，

所以

，

而，

当且仅当，即时等号成立，

所以，

故知，

故答案为：

【点睛】本题主要考查了式子的变形化简，均值不等式，“1”的技巧，属于难题.

三、解答题

17.解关于的不等式.

【答案】答案见解析

【解析】

【分析】

先利用判别式讨论是否有解进行分类讨论,再利用求根公式求出方程的解,进一步解得不等式

【详解】对于方程,其判别式,

①当时,即或时,方程的两根为 ,

原不等式的解集为

②当时,即,当时,方程有两个相等实根,,原不等式的解集为；当时,方程有两个相等实根,, 原不等式的解集为

③当时,即时,方程无实根,原不等式的解集为

综上,当或时原不等式的解集为；

当时,原不等式的解集为；当时,原不等式的解集为；当时原不等式的解集为

【点睛】本题考查分类讨论思想解不等式,考查含参不等式的解法,属于中档题

18.在，角，，所对的边分别为，，，且.

（1）求角的值；

（2）若的面积为，，求的值.

【答案】（1）（2）7

【解析】

试题分析：

（1）由正弦定理把已知等式化为角的关系，再利用两角和与差的正弦公式及诱导公式求得，从而得；

（2）由三角形面积公式及已知可得，再利用余弦定理可求得.

试题解析：

（1）∵.

∴由正弦定理，得.

∴.

.

又，∴.

又∵，.又，.

（2）据（1）求解知，∴.①

又，∴，②

又，∴据①②解，得.

19.在等差数列中，，．

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列是首项为1，公比为的等比数列，求的前项和．

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

（1）根据等差数列条件列方程组，即可求通项公式；

（2）先由等比数列通项公式求出，解得，分组求和即可.

【详解】（1）设等差数列的公差是，

由已知，，

，得，

数列的通项公式为．

（2）由数列是首项为1，公比为的等比数列，

，，

．

当时，．

当时，．

【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，等比数列的通项公式，等差、等比数列的求和公式，属于中档题.

20.已知函数的周期为．

（1）求函数的单调递增区间和最值；

（2）当时，函数恰有两个不同的零点，求实数的取值范围．

【答案】（1）．．．（2）

【解析】

【分析】

（1）由二倍角公式及降幂公式化简函数，根据函数周期求出，写出函数单调增区间、最值即可；

（2）根据，求出函数的值域，并结合图象， 根据与图象有2个交点，即可求解.

【详解】（1）

又因为周期为，

所以，，

，

令,

解得

故其单调递增区间为．

当时，．

当时，．

（2）时，

．

令，

则，

由函数恰有两个不同的零点，

得函数的图像与直线恰有两个不同的交点，

如图：

结合图像可知，即，

综上，实数的取值范围是．

【点睛】本题主要考查了三角函数的恒等变形，正弦型函数的图象与性质，零点与函数图象交点的转化，属于中档题.

21.已知数列满足，（为常数）．

（1）试探究数列是否为等比数列，并求；

（2）当时，求数列的前项和．

【答案】（1）数列是以为首项，3为公比等比数列．．（2）

【解析】

【分析】

(1)根据数列的递推公式可得数列是以为首项，3为公比的等比数列，即可求出通项公式；

(2)由（1）计算出数列的通项公式，然后根据错位相减法即可求出前n项和Tn.

【详解】（1），，

又，所以当时，，数列不是等比数列．

此时，即；

当时，，所以．

所以数列是以为首项，3为公比的等比数列．

此时，即．

（2）由(1)知，所以，

①，

②，

得：

所以．

【点睛】本题主要考查了数列的递推公式，考查数列的求和方法:错位相减法，考查运算能力，属于中档题.

22.设数列的前项和为，且，

（1）求的通项公式；

（2）求证：．

【答案】（1），．（2）见解析

【解析】

【分析】

（1）由数列前n项和与通项关系可证明数列为等比数列，写出通项公式即可；

（2）根据等比数列前n项和公式化简，利用放缩法证明不等式即可.

【详解】（1）当时，，解得；

当时，，；

两式相减得，即，

所以数列是公比为4，首项为3的等比数列

，．

（2）由1知

故

又因为

那么

所以

．

【点睛】本题主要考查了由递推关系证明数列为等比数列，等比数列的通项公式，放缩法证明数列不等式，属于难题.