模拟卷08（2024新题型）-【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（新题型地区专用）

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2、锻炼同学的考试心理，训练学生快速进入考试状态。高考的最佳心理状态是紧张中有乐观，压力下有自信，平静中有兴奋。
3、训练同学掌握一定的应试技巧，积累考试经验。模拟考试可以训练答题时间和速度。高考不仅是知识和水平的竞争，也是时间和速度的竞争，可以说每分每秒都是成绩。
4、帮助同学正确评估自己。高考是一种选拨性考试，目的是排序和择优，起决定作用的是自己在整体中的相对位置。因此，模拟考试以后，同学们要想法了解自己的成绩在整体中的位置。
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（新题型地区专用）
黄金卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．已知为虚数单位.，则（ ）
A．1B．C．2D．4
3．已知实数满足，设，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知正三棱台的上､下底面的边长分别为2和4，且棱台的侧面与底面所成的二面角为，则此三棱台的表面积为（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数的图象过原点，且关于点对称，若函数在上单调，则图象的相邻两条对称轴之间的距离为（ ）
A．B．C．D．
6．已知为抛物线上一点，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知，求（ ）
A．B．C．D．
8．如图所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，如此继续.设初始正方形的边长为，依次构造出的小正方形（含初始正方形）的边长构成数列，若的前n项和为，令，其中表示x，y中的较大值.若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分，如图所示．若某勒洛四面体内的四面体的高为，则（ ）

A．B．外接圆的半径为2
C．四面体的体积为D．该勒洛四面体的表面积为
10．若函数的定义域为，且，，则（ ）
A．B．为偶函数
C．的图象关于点对称D．
11．已知长轴长、短轴长和焦距分别为、和的椭圆，点是椭圆与其长轴的一个交点，点是椭圆与其短轴的一个交点，点和为其焦点，．点在椭圆上，若，则（ ）
A．，，成等差数列
B．，，成等比数列
C．椭圆的离心率
D．的面积不小于的面积
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知点，，若圆上有且只有一点，使得，则实数的一个取值为 .（写出满足条件的一个即可）
13．展开式中的常数项为 .
14．若实数a，b，c满足条件：，则的最大值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知在中，角所对的边分别为，记其面积为，则有
(1)求；
(2)若，求的最小值．
16．（15分）
如图，在三棱台中，，，．
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
17．（15分）
已知函数．
(1)若的零点也是其的极值点，求；
(2)若的图像经过四个象限，求的取值范围．
18．（17分）
已知动点与定点的距离和到定直线的距离的比为常数．其中，且，记点的轨迹为曲线．
(1)求的方程，并说明轨迹的形状；
(2)设点，若曲线上两动点均在轴上方，，且与相交于点．
①当时，求证：的值及的周长均为定值；
②当时，记的面积为，其内切圆半径为，试探究是否存在常数，使得恒成立？若存在，求（用表示）；若不存在，请说明理由．
19．（17分）
在三维空间中，立方体的坐标可用三维坐标表示，其中．而在n维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的项点坐标可表示为n维坐标，其中．现有如下定义：在n维空间中两点间的曼哈顿距离为两点与坐标差的绝对值之和，即为．回答下列问题：
(1)求出n维“立方体”的顶点数；
(2)在n维“立方体”中任取两个不同顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离
①求出X的分布列与期望；
②证明：在n足够大时，随机变量X的方差小于．
（已知对于正态分布，P随X变化关系可表示为）