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重难点2-1 指对幂比较大小（8题型+满分技巧+限时检测）-2024年高考数学【热点·重点·难点】专练（新高考专用）
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这是一份重难点2-1 指对幂比较大小（8题型+满分技巧+限时检测）-2024年高考数学【热点·重点·难点】专练（新高考专用），文件包含重难点2-1指对幂比较大小8题型+满分技巧+限时检测原卷版docx、重难点2-1指对幂比较大小8题型+满分技巧+限时检测解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共34页， 欢迎下载使用。
一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
重难点2-1 指对幂比较大小8大题型
函数“比大小”是非常经典的题型，难度不定，方法无常，很受命题者的青睐。每年高考基本都会出现，难度逐年上升。高考命题中，常常在选择题中出现，往往将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起，进行排序。这类问题的解法可以从代数和几何方面加以探寻，即利用函数的性质与图象解答。
【题型1 直接利用单调性比较大小】
【例1】（2023·内蒙古鄂尔多斯·高三期末）已知则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由于是上的减函数，则，所以，
由于是上的增函数，则，所以，
由于是上的增函数，则，所以，
所以，故选：A.
【变式1-1】（2024·广东湛江·高三统考期末）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，，，所以.故选：A
【变式1-2】（2024·天津·高三统考期末）设，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，，易知函数在R上是增函数，
又，所以，
又易知在上是减函数，所以，
综上，，故选：B.
【变式1-3】（2024·四川攀枝花·统考二模）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】易知在上单调递增，则，即，
而由单调递增，得，即，
又单调递增，故则，故选：A
【题型2 作差作商法比较大小】
【例2】（2023·四川成都·校联考一模）若，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，，
令，
而，即，所以，
又因为，所以.故选：D
【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）若，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为函数在R上单调递增，所以．
又，所以．
因为，故在上单调递减，
所以，所以，
所以实数的大小关系为，故选：B．
【变式2-2】（2023·山东青岛·高三莱西市第一中学校联考期中）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，，
因为当时，，所以，则，
，
因为，所以，即，，
综上，，故选：B.
【变式2-3】（2022·全国·高三统考阶段练习）已知，则正数的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，得，由，得
，
因此，即；
由，得，于是，
所以正数的大小关系为，故选:A.
【题型3 中间值/估值法比较大小】
【例3】（2024·天津红桥·高三统考期末）设，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意，，，，
所以，故选：C
【变式3-1】（2023·河北石家庄·高三校联考期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，故．故选：D.
【变式3-2】（2023·山西吕梁·高三校联考阶段练习）设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
因为，所以，
又因为，所以，所以．故选：B
【变式3-3】（2024·广东肇庆·统考模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】幂函数在上单调递增，故，
又，所以，故选：A.
【题型4 含变量式子比较大小】
【例4】（2023·安徽淮南·高三校考阶段练习）设，，，其中，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令，，
因为，所以，所以，，，
虽然是单调递增函数，但是，无法比较大小，
所以a，b的大小无法确定，排除AB，
，（因为，所以取不到等号），故D正确．故选：D．
【变式4-1】（2023·河南·模拟预测）（多选）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】对于A，由，得，又单调递增，
所以，故A正确；
对于B，由于在上不单调，
所以与的大小关系无法确定，故B错误；
对于C，由，得，
又单调递增，所以，故C正确；
对于D，由，得，
又单调递增，所以，故D错误．故选：AC．
【变式4-2】（2023·辽宁·高三辽宁实验中学校考阶段练习）（多选）已知，，则下列说法正确的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】A选项，因为，所以，
令，，
则，
因为，所以恒成立，
故在上单调递减，故，
则，故A错误；
B选项，由A选项可知，
，故B正确；
CD选项，由AB选项可知，，C正确，D错误.故选：BC
【变式4-3】（2023·江苏镇江·高三统考期中）已知，，，.则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，∴，，
令，，，
∴在单调递减，所以，∴，∴.
，
令，，
，在单调递减，，∴，
∴，∴，故选：A.
【题型5 构造函数比较大小】
【例5】（2023·陕西·高三校联考阶段练习）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，，所以，则，
因为，，
令，则，
令，得；令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，则，所以，则．故选：A.
【变式5-1】（2023·福建泉州·高三福建省德化第一中学校联考阶段练习）设，，则下列说法中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，则，
因为在R上单调递增，故在R上单调递减，
所以，即，A错误，
因为在R上单调递减，故，B正确；
由于，即，故，C错误；
，当且仅当时取等号，但，故，D错误，故选：B
【变式5-2】（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，得，令函数，求导得，
则函数在上单调递减，，因此，
由，得，有，令函数，
求导得，当且仅当时取等号，即函数在单调递增，
，即，因此，所以.故选：A
【变式5-3】（2023·全国·高三课时练习）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，，，
令，，则，
令，，则，
令，，则在上恒成立，
故在上单调递增，
又，故在上恒成立，
将中换为可得，，
即，故在上恒成立，
所以在上单调递增，
由复合函数单调性可知在上单调递增，
故，即，故选：D
【题型6 数形结合比较大小】
【例6】（2024·全国·模拟预测）已知，则实数的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令，其在R上单调递减，
又，
由零点存在性定理得，则在上单调递减，
画出与的函数图象，
可以得到，
又在R上单调递减，画出与的函数图象，
可以看出，
因为，故，故，
因为，故，
由得，．
综上，．故选：D．
【变式6-1】（2023·福建·高三校联考阶段练习）已知正实数，，满足，则以下结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令，可知在单调递增，
由，得所以，
由题，，，
令则，所以有，
在平面直角坐标系中分别作出，，，，
由图像可得，则A错误；
对于B，则，即，
由图像可知，所以，B错误；
对于C，，即，因为，
所以，则，故C正确；
对于D，因为，
即且，所以，D错误；故选：C
【变式6-2】（2023·江苏徐州·高三校考阶段练习）已知函数，，的零点分别为，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令，即，解得，则，
令，即，令，即，
根据指数函数与对数函数的图象关于对称，
所以它们分别与交点的横坐标互为相反数，且，
所以，故A错误，，所以B错误；
所以，故C错误，
因为，所以，故D正确，故选：D.
【变式6-3】（2022·内蒙古呼和浩特·统考二模）若，，，则x、y、z由小到大的顺序是 .
【答案】
【解析】依题意，，，，，
因此，成立的x值是函数与的图象交点的横坐标，
成立的y值是函数与的图象交点的横坐标，
成立的z值是函数与的图象交点的横坐标，
在同一坐标系内作出函数，的图象，如图，
观察图象得：，即，所以x、y、z由小到大的顺序是.
【题型7 放缩法比较大小】
【例7】（2024·全国·模拟预测）设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】显然，且，
令，则对任意恒成立，
则在内单调递增，可得，即；
所以，且，可知；
令，则对任意恒成立，
则在内单调递增，可得，即；
所以，可知；
又因为，所以，故选：C．
【变式7-1】（2023·云南大理高三模拟）若，，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，，，
，，，
，，
，故选：．
【变式7-2】设，则的大小关系为___________．（从小到大顺序排）
【答案】
【解析】，
由函数切线放缩得，因此．
【变式7-3】（2023·全国·高三专题练习）在必修第一册教材“8.2.1几个函数模型的比较”一节的例2中，我们得到如下结论：当或时，；当时，，请比较，，的大小关系
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，，所以，
对于，令，则故
当或时，，所以，即
所以，
将两边同时取底数为4的指数得
因为，所以，故选：B.
【题型8 泰勒展开式比较大小】
【例8】（2023·江苏连云港·高三海州高级中学校考阶段练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】法一、根据题意，构造函数，
则.
由泰勒展开式，，，
所以
，
而，
所以，即；
法二、因为，
所以.
令，则，所以函数在上单调递增，
所以当时，，即有成立，
所以，得，所以；
因为，所以令，
则，
所以函数在定义域内单调递增，
所以当时，，即有成立，
所以，即，所以，又，所以.
综上，，故选：D
【变式8-1】已知，则（ ）
【答案】A
【解析】设，则，，
，计算得，故选A．
【变式8-2】（2023·广东广州·高三华南师大附中校考），，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得，，
因为，所以，
由泰勒展开得，
，
所以，
故，综上所述a，b，c的大小关系是.故选：C
【变式8-3】（2023·云南昆明·高三校考阶段练习）设，，，这三个数的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，
∵，而在上单调递增，∴
且时，，以下是证明过程：
令，，
，令，
故，令，
故，令，
则，令，
故，令，
故在上恒成立，
故在上单调递增，
所以，故在上单调递增，
所以，故在上单调递增，
所以，故在上单调递增，
所以，故在上单调递增，
∴，
∴，∴，故选：C．
（建议用时：60分钟）
1．（2023·陕西西安·高三校联考阶段练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由可得，
因此可得，故，故选：D
2．（2023·吉林·统考一模）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由单调递减可知：，即；
由单调递增可知：，即所以.故选：D.
3．（2023·安徽铜陵·高三统考阶段练习）设 ，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由指数函数在定义域上为单调递增函数，所以，
又由对数函数 在上为单调递减函数，所以，
所以，即，故选：D.
4．（2023·江苏连云港·高三统考期中）若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，，，故最小，
又，
因为，所以，
则有，∴，故选：C.
5．（2023·浙江·模拟预测）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意，，，即，
而，所以.故选：C
6．（2023·四川遂宁·统考模拟预测）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，则，所以；
由，且，则，所以；
由，且，则，所以；
由，且，根据函数在上单调递增，则；
综上可得，所以，故选：D.
7．（2023·广东·校联考二模）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以.，
因为，且，
所以，所以，所以.故，故选：A
8．（2023·山东泰安·高三新泰市第一中学校考阶段练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，
因为，， 所以，
又，，
易知，所以，即，所以．故选：C．
9．（2023·天津滨海新·高三塘沽二中校考阶段练习）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，，即，
因为，，所以，则，
所以，即，所以.故选：C
10．（2023·广东·高三茂名市第一中学校联考阶段练习）已知正数a，b，c满足，下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
，
,故A错误；
，，故BC错误，D正确．故选：D.
11．（2023·江西·统考模拟预测）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，，，所以．故选：C．
12．（2023·全国·模拟预测）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，．
取，则，，．
设，则，
所以在上单调递增，则，即，所以．
令，则，
所以在上单调递增，则，
所以，即，所以．故选：A
13．（2023·四川·高三南江中学校联考阶段练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意知，是函数的零点，
因为，
由，则，且，
由零点存在性定理知，；
由题意知，是函数的零点，
因为，
且，
由零点存在性定理知，，故，
由，得，
作出函数的大致图象，
如图所示，数形结合由图可知．
综上，.故选：A.
14．（2023·广东汕头·高三金山中学校考阶段练习）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，
所以．
令，则，所以函数在上单调递增，
所以当时，，即有成立，
所以，得，所以.
因为，所以令，
则，所以函数在上单调递增，
所以当时，，即有成立，
所以，即，所以，即.
综上：，故选：A.
15．（2024·江苏南通·高三统考期末）已知函数及其导函数的定义域均为，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】方法一：∵，∴,
设则在单调递减，所以，
， 即，故C正确．
方法二：设又，C正确．故选：C
16．（2022·黑龙江双鸭山·高三校考期末）设，其中是自然对数的底数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】记，则，
当时，，单调递增，
又，且，
所以，即.故选：A
17．（2023·海南·高三校联考阶段练习）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，，，
设函数，则，
当时，，单调递减，
因为，所以，所以.故选：A
18．（2023·云南大理·统考一模）已知，，，则a，b，c的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令，则，，有.
故函数在单调递增，故，
即，所以，即，
令，则，，有.
故函数在单调递减，故，即，
所以，即.
综上：.故选：D
19．（2024·湖南邵阳·统考一模）已知，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，
两边取对数得：，
令，
则，
令，则，
可知在上单调递增，
因为，则，可知恒成立，
则，即，可得，
则在上单调递增，可得，
可得，即，
又因为在上单调递增，所以.故选：D.
20．（2023·全国·校联考模拟预测）设，，，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】先来证明当时，.
令，，则，
所以函数在上单调递增，可得，即得；
令，，则，
所以函数在上单调递增，可得，即得；
所以当时，.
因为，
由，因为，所以，则，所以，
又，所以，
所以.故选：D.满分技巧
当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较
（1）底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性；
（2）指数相同，底数不同，如和，利用幂函数的单调性；
（3）底数相同，真数不同，如和，利用指数函数的单调性；
（4）除了指对幂函数，其他函数（如三角函数、对勾函数等）也都可以利用单调性比较大小。
满分技巧
（1）一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小；
（2）作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法
满分技巧
中间值法或1/0比较法：比较多个数的大小时，先利用“0”“1”作为分界点，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小；
估值法：（1）估算要比较大小的两个值所在的大致区间；
（2）可以对区间使用二分法（或利用指对转化）寻找合适的中间值；
满分技巧
当比较的几个数都含参数时，可尝试把参数取一个具体的实数，通过估算来比较大小。也可通过函数的单调性，结合图象进行比较。
满分技巧
构造函数，运用函数的单调性比较：
构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同构”规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数规律
（1）对于抽象函数，可以借助中心对称、轴对称、周期等性质来“去除f( )外衣”比较大小；
（2）有解析式函数，可以通过函数性质或者求导等，寻找函数的单调性、对称性，比较大小。
满分技巧
当比较的几个数都可转化为两个函数的零点时，可数形结合，通过函数图象的交点来比较大小。
满分技巧
1、放缩法的解题思路：
（1）对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数；
（2）指数和幂函数结合来放缩；
（3）利用均值不等式的不等关系进行放缩；
（4）“数值逼近”是指一些无从下手的数据，如果分析会发现非常接近某些整数（主要是整数多一些），那么可以用该“整数”为变量，构造四舍五入函数关系。
2、常见放缩不等式
（1）；
（2）；；
（3）
满分技巧
常见函数的麦克劳林展开式：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
重难点2-1 指对幂比较大小8大题型
函数“比大小”是非常经典的题型，难度不定，方法无常，很受命题者的青睐。每年高考基本都会出现，难度逐年上升。高考命题中，常常在选择题中出现，往往将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起，进行排序。这类问题的解法可以从代数和几何方面加以探寻，即利用函数的性质与图象解答。
【题型1 直接利用单调性比较大小】
【例1】（2023·内蒙古鄂尔多斯·高三期末）已知则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由于是上的减函数，则，所以，
由于是上的增函数，则，所以，
由于是上的增函数，则，所以，
所以，故选：A.
【变式1-1】（2024·广东湛江·高三统考期末）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，，，所以.故选：A
【变式1-2】（2024·天津·高三统考期末）设，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，，易知函数在R上是增函数，
又，所以，
又易知在上是减函数，所以，
综上，，故选：B.
【变式1-3】（2024·四川攀枝花·统考二模）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】易知在上单调递增，则，即，
而由单调递增，得，即，
又单调递增，故则，故选：A
【题型2 作差作商法比较大小】
【例2】（2023·四川成都·校联考一模）若，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，，
令，
而，即，所以，
又因为，所以.故选：D
【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）若，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为函数在R上单调递增，所以．
又，所以．
因为，故在上单调递减，
所以，所以，
所以实数的大小关系为，故选：B．
【变式2-2】（2023·山东青岛·高三莱西市第一中学校联考期中）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，，
因为当时，，所以，则，
，
因为，所以，即，，
综上，，故选：B.
【变式2-3】（2022·全国·高三统考阶段练习）已知，则正数的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，得，由，得
，
因此，即；
由，得，于是，
所以正数的大小关系为，故选:A.
【题型3 中间值/估值法比较大小】
【例3】（2024·天津红桥·高三统考期末）设，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意，，，，
所以，故选：C
【变式3-1】（2023·河北石家庄·高三校联考期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，故．故选：D.
【变式3-2】（2023·山西吕梁·高三校联考阶段练习）设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
因为，所以，
又因为，所以，所以．故选：B
【变式3-3】（2024·广东肇庆·统考模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】幂函数在上单调递增，故，
又，所以，故选：A.
【题型4 含变量式子比较大小】
【例4】（2023·安徽淮南·高三校考阶段练习）设，，，其中，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令，，
因为，所以，所以，，，
虽然是单调递增函数，但是，无法比较大小，
所以a，b的大小无法确定，排除AB，
，（因为，所以取不到等号），故D正确．故选：D．
【变式4-1】（2023·河南·模拟预测）（多选）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】对于A，由，得，又单调递增，
所以，故A正确；
对于B，由于在上不单调，
所以与的大小关系无法确定，故B错误；
对于C，由，得，
又单调递增，所以，故C正确；
对于D，由，得，
又单调递增，所以，故D错误．故选：AC．
【变式4-2】（2023·辽宁·高三辽宁实验中学校考阶段练习）（多选）已知，，则下列说法正确的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】A选项，因为，所以，
令，，
则，
因为，所以恒成立，
故在上单调递减，故，
则，故A错误；
B选项，由A选项可知，
，故B正确；
CD选项，由AB选项可知，，C正确，D错误.故选：BC
【变式4-3】（2023·江苏镇江·高三统考期中）已知，，，.则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，∴，，
令，，，
∴在单调递减，所以，∴，∴.
，
令，，
，在单调递减，，∴，
∴，∴，故选：A.
【题型5 构造函数比较大小】
【例5】（2023·陕西·高三校联考阶段练习）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，，所以，则，
因为，，
令，则，
令，得；令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，则，所以，则．故选：A.
【变式5-1】（2023·福建泉州·高三福建省德化第一中学校联考阶段练习）设，，则下列说法中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，则，
因为在R上单调递增，故在R上单调递减，
所以，即，A错误，
因为在R上单调递减，故，B正确；
由于，即，故，C错误；
，当且仅当时取等号，但，故，D错误，故选：B
【变式5-2】（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，得，令函数，求导得，
则函数在上单调递减，，因此，
由，得，有，令函数，
求导得，当且仅当时取等号，即函数在单调递增，
，即，因此，所以.故选：A
【变式5-3】（2023·全国·高三课时练习）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，，，
令，，则，
令，，则，
令，，则在上恒成立，
故在上单调递增，
又，故在上恒成立，
将中换为可得，，
即，故在上恒成立，
所以在上单调递增，
由复合函数单调性可知在上单调递增，
故，即，故选：D
【题型6 数形结合比较大小】
【例6】（2024·全国·模拟预测）已知，则实数的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令，其在R上单调递减，
又，
由零点存在性定理得，则在上单调递减，
画出与的函数图象，
可以得到，
又在R上单调递减，画出与的函数图象，
可以看出，
因为，故，故，
因为，故，
由得，．
综上，．故选：D．
【变式6-1】（2023·福建·高三校联考阶段练习）已知正实数，，满足，则以下结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令，可知在单调递增，
由，得所以，
由题，，，
令则，所以有，
在平面直角坐标系中分别作出，，，，
由图像可得，则A错误；
对于B，则，即，
由图像可知，所以，B错误；
对于C，，即，因为，
所以，则，故C正确；
对于D，因为，
即且，所以，D错误；故选：C
【变式6-2】（2023·江苏徐州·高三校考阶段练习）已知函数，，的零点分别为，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令，即，解得，则，
令，即，令，即，
根据指数函数与对数函数的图象关于对称，
所以它们分别与交点的横坐标互为相反数，且，
所以，故A错误，，所以B错误；
所以，故C错误，
因为，所以，故D正确，故选：D.
【变式6-3】（2022·内蒙古呼和浩特·统考二模）若，，，则x、y、z由小到大的顺序是 .
【答案】
【解析】依题意，，，，，
因此，成立的x值是函数与的图象交点的横坐标，
成立的y值是函数与的图象交点的横坐标，
成立的z值是函数与的图象交点的横坐标，
在同一坐标系内作出函数，的图象，如图，
观察图象得：，即，所以x、y、z由小到大的顺序是.
【题型7 放缩法比较大小】
【例7】（2024·全国·模拟预测）设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】显然，且，
令，则对任意恒成立，
则在内单调递增，可得，即；
所以，且，可知；
令，则对任意恒成立，
则在内单调递增，可得，即；
所以，可知；
又因为，所以，故选：C．
【变式7-1】（2023·云南大理高三模拟）若，，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，，，
，，，
，，
，故选：．
【变式7-2】设，则的大小关系为___________．（从小到大顺序排）
【答案】
【解析】，
由函数切线放缩得，因此．
【变式7-3】（2023·全国·高三专题练习）在必修第一册教材“8.2.1几个函数模型的比较”一节的例2中，我们得到如下结论：当或时，；当时，，请比较，，的大小关系
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，，所以，
对于，令，则故
当或时，，所以，即
所以，
将两边同时取底数为4的指数得
因为，所以，故选：B.
【题型8 泰勒展开式比较大小】
【例8】（2023·江苏连云港·高三海州高级中学校考阶段练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】法一、根据题意，构造函数，
则.
由泰勒展开式，，，
所以
，
而，
所以，即；
法二、因为，
所以.
令，则，所以函数在上单调递增，
所以当时，，即有成立，
所以，得，所以；
因为，所以令，
则，
所以函数在定义域内单调递增，
所以当时，，即有成立，
所以，即，所以，又，所以.
综上，，故选：D
【变式8-1】已知，则（ ）
【答案】A
【解析】设，则，，
，计算得，故选A．
【变式8-2】（2023·广东广州·高三华南师大附中校考），，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得，，
因为，所以，
由泰勒展开得，
，
所以，
故，综上所述a，b，c的大小关系是.故选：C
【变式8-3】（2023·云南昆明·高三校考阶段练习）设，，，这三个数的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，
∵，而在上单调递增，∴
且时，，以下是证明过程：
令，，
，令，
故，令，
故，令，
则，令，
故，令，
故在上恒成立，
故在上单调递增，
所以，故在上单调递增，
所以，故在上单调递增，
所以，故在上单调递增，
所以，故在上单调递增，
∴，
∴，∴，故选：C．
（建议用时：60分钟）
1．（2023·陕西西安·高三校联考阶段练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由可得，
因此可得，故，故选：D
2．（2023·吉林·统考一模）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由单调递减可知：，即；
由单调递增可知：，即所以.故选：D.
3．（2023·安徽铜陵·高三统考阶段练习）设 ，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由指数函数在定义域上为单调递增函数，所以，
又由对数函数 在上为单调递减函数，所以，
所以，即，故选：D.
4．（2023·江苏连云港·高三统考期中）若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，，，故最小，
又，
因为，所以，
则有，∴，故选：C.
5．（2023·浙江·模拟预测）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意，，，即，
而，所以.故选：C
6．（2023·四川遂宁·统考模拟预测）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，则，所以；
由，且，则，所以；
由，且，则，所以；
由，且，根据函数在上单调递增，则；
综上可得，所以，故选：D.
7．（2023·广东·校联考二模）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以.，
因为，且，
所以，所以，所以.故，故选：A
8．（2023·山东泰安·高三新泰市第一中学校考阶段练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，
因为，， 所以，
又，，
易知，所以，即，所以．故选：C．
9．（2023·天津滨海新·高三塘沽二中校考阶段练习）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，，即，
因为，，所以，则，
所以，即，所以.故选：C
10．（2023·广东·高三茂名市第一中学校联考阶段练习）已知正数a，b，c满足，下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
，
,故A错误；
，，故BC错误，D正确．故选：D.
11．（2023·江西·统考模拟预测）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，，，所以．故选：C．
12．（2023·全国·模拟预测）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，．
取，则，，．
设，则，
所以在上单调递增，则，即，所以．
令，则，
所以在上单调递增，则，
所以，即，所以．故选：A
13．（2023·四川·高三南江中学校联考阶段练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意知，是函数的零点，
因为，
由，则，且，
由零点存在性定理知，；
由题意知，是函数的零点，
因为，
且，
由零点存在性定理知，，故，
由，得，
作出函数的大致图象，
如图所示，数形结合由图可知．
综上，.故选：A.
14．（2023·广东汕头·高三金山中学校考阶段练习）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，
所以．
令，则，所以函数在上单调递增，
所以当时，，即有成立，
所以，得，所以.
因为，所以令，
则，所以函数在上单调递增，
所以当时，，即有成立，
所以，即，所以，即.
综上：，故选：A.
15．（2024·江苏南通·高三统考期末）已知函数及其导函数的定义域均为，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】方法一：∵，∴,
设则在单调递减，所以，
， 即，故C正确．
方法二：设又，C正确．故选：C
16．（2022·黑龙江双鸭山·高三校考期末）设，其中是自然对数的底数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】记，则，
当时，，单调递增，
又，且，
所以，即.故选：A
17．（2023·海南·高三校联考阶段练习）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，，，
设函数，则，
当时，，单调递减，
因为，所以，所以.故选：A
18．（2023·云南大理·统考一模）已知，，，则a，b，c的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令，则，，有.
故函数在单调递增，故，
即，所以，即，
令，则，，有.
故函数在单调递减，故，即，
所以，即.
综上：.故选：D
19．（2024·湖南邵阳·统考一模）已知，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，
两边取对数得：，
令，
则，
令，则，
可知在上单调递增，
因为，则，可知恒成立，
则，即，可得，
则在上单调递增，可得，
可得，即，
又因为在上单调递增，所以.故选：D.
20．（2023·全国·校联考模拟预测）设，，，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】先来证明当时，.
令，，则，
所以函数在上单调递增，可得，即得；
令，，则，
所以函数在上单调递增，可得，即得；
所以当时，.
因为，
由，因为，所以，则，所以，
又，所以，
所以.故选：D.满分技巧
当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较
（1）底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性；
（2）指数相同，底数不同，如和，利用幂函数的单调性；
（3）底数相同，真数不同，如和，利用指数函数的单调性；
（4）除了指对幂函数，其他函数（如三角函数、对勾函数等）也都可以利用单调性比较大小。
满分技巧
（1）一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小；
（2）作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法
满分技巧
中间值法或1/0比较法：比较多个数的大小时，先利用“0”“1”作为分界点，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小；
估值法：（1）估算要比较大小的两个值所在的大致区间；
（2）可以对区间使用二分法（或利用指对转化）寻找合适的中间值；
满分技巧
当比较的几个数都含参数时，可尝试把参数取一个具体的实数，通过估算来比较大小。也可通过函数的单调性，结合图象进行比较。
满分技巧
构造函数，运用函数的单调性比较：
构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同构”规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数规律
（1）对于抽象函数，可以借助中心对称、轴对称、周期等性质来“去除f( )外衣”比较大小；
（2）有解析式函数，可以通过函数性质或者求导等，寻找函数的单调性、对称性，比较大小。
满分技巧
当比较的几个数都可转化为两个函数的零点时，可数形结合，通过函数图象的交点来比较大小。
满分技巧
1、放缩法的解题思路：
（1）对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数；
（2）指数和幂函数结合来放缩；
（3）利用均值不等式的不等关系进行放缩；
（4）“数值逼近”是指一些无从下手的数据，如果分析会发现非常接近某些整数（主要是整数多一些），那么可以用该“整数”为变量，构造四舍五入函数关系。
2、常见放缩不等式
（1）；
（2）；；
（3）
满分技巧
常见函数的麦克劳林展开式：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
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