2024年辽东十一所重点高中联合教研体高考数学适应性试卷（含详细答案解析）

这是一份2024年辽东十一所重点高中联合教研体高考数学适应性试卷（含详细答案解析），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合S={s|s=2n+1,n∈Z}，T={t|t=4n+1,n∈Z}，则S∩T=( )
A. ⌀B. SC. TD. Z
2.已知复数z满足|z|=1且有z5+z+1=0，则z=( )
A. −12± 32iB. 12± 32iC. 22± 22iD. 32±12i
3.已知α，β均为锐角，且cs(α+β)=sinαsinβ，则tanα的最大值是( )
A. 4B. 2C. 24D. 25
4.为了激发同学们学习数学的热情，某学校开展利用数学知识设计LOGO的比赛，其中某位同学利用函数图像的一部分设计了如图的LOGO，那么该同学所选的函数最有可能是( )
A. f(x)=x−sinx
B. f(x)=sinx−xcsx
C. f(x)=x2−1x2
D. f(x)=sinx+x3
5.如图是古筝鸣箱俯视图，鸣箱有多根弦，每根弦下有一只弦码，弦码又叫雁柱，用于调节音高和传振．图2是根据图1绘制的古筝弦及其弦码简易直观图．在直观图中，每根弦都垂直于x轴，左边第一根弦在y轴上，相邻两根弦间的距离为1，弦码所在的曲线(又称为雁柱曲线)方程为y=1.1x，第n(n∈N,第0根弦表示与y轴重合的弦)根弦分别与雁柱曲线和直线l：y=x+1交于点An(xn,yn)和Bn(x′n,y′n)，则n=020yny′n=( )
参考数据：1.122=8.14.
A. 814B. 900C. 914D. 1000
6.表面积为4π的球内切于圆锥，则该圆锥的表面积的最小值为( )
A. 4πB. 8πC. 12πD. 16π
7.已知定点P(m,0)，动点Q在圆O：x2+y2=16上，PQ的垂直平分线交直线OQ于M点，若动点M的轨迹是双曲线，则m的值可以是( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
8.设a=cs0.1，b=10sin0.1，c=110tan0.1，则( )
A. a0，m(x)在( e,2 e)上单调递增，x> e时，可得m(x)>m( e)=0，h′(x)=m(x)x2(2 e−x)2，可知m(x)与h′(x)同号，
所以h′(x)>0，h(x)在( e,2 e)上单调递增． h(x)>h( e)=t( e)−t( e)=0，t(x)−t(2 e−x)>0，t(x3)>t(2 e−x3)，
又由①可知t(x2)=t(x3)，
所以t(x2)>t(2 e−x3),x2∈(0, e)，2 e−x3∈(0, e)x∈(0, e)，t′(x)>0，t(x)是单调递增的，
所以x2>2 e−x3,x2+x3>2 e⑤，
由①②⑤可知x1+3x2+x3>2e+1 e.
【解析】(1)先求g(x)的导函数，再分类讨论即可．
(2)①根据f(x)存在三个零点x1，x2，x3，转化为两个函数有三个交点，再根据最值可求．
②根据三个零点所在区间，把要证明的式子分解为三个部分，分别求解后可得．
本题考查利用导数证明不等式，解决问题的关键点是极值点偏移问题，属于难题．
19.【答案】解：(Ⅰ)1∘当直线l的斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称，
所以x1=x2，y1=−y2，
∵P(x1,y1)在椭圆上，
∴x123+y122=1 ①
又∵S△OPQ= 62，
∴|x1||y1|= 62 ②
由①②得|x1|= 62，|y1|=1.此时x12+x22=3，y12+y22=2；
2∘当直线l的斜率存在时，是直线l的方程为y=kx+m(m≠0)，将其代入x23+y22=1得
(3k2+2)x2+6kmx+3(m2−2)=0，△=36k2m2−12(3k2+2)(m2−2)>0
即3k2+2>m2，
又x1+x2=−6km3k2+2，x1⋅x2=3(m2−2)3k2+2，
∴|PQ|= 1+k2 (x1+x2)2−4x1x2= 1+k22 6 3k2+2−m23k2+2，
∵点O到直线l的距离为d=|m| 1+k2，
∴S△OPQ=12 1+k22 6 3k2+2−m23k2+2⋅|m| 1+k2= 6 3k2+2−m2|m|3k2+2，
又S△OPQ= 62，
整理得3k2+2=2m2，此时x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=(−6km3k2+2)2−23(m2−2)3k2+2=3，
y12+y22=23(3−x12)+23(3−x22)=4−23(x12+x22)=2；
综上所述x12+x22=3，y12+y22=2.结论成立．
(Ⅱ)1∘当直线l的斜率不存在时，由(Ⅰ)知
|OM|=|x1|= 62，|PQ|=2|y1|=2，
因此|OM|⋅|PQ|= 6.
2∘当直线l的斜率存在时，由(Ⅰ)知 x1+x22=−3k2m，y1+y22=kx1+x22+m=−3k2+2m22m=1m
|OM|2=(x1+x22)2+(y1+y22)2=9k24m2+1m2=6m2−24m2=12(3−1m2)，
|PQ|2=(1+k2)24(3k2+2−m2)(2+3k2)2=2(2m2−1)m2=2(2+1m2)，
所以|OM|2|PQ|2=12(3−1m2)×2×(2+1m2)=(3−1m2)(2+1m2)
≤(3−1m2+2+1m22)2=254.
|OM|⋅|PQ|≤52.当且仅当3−1m2=2+1m2，
即m=± 2时，等号成立．
综合1∘2∘得|OM|⋅|PQ|的最大值为52；
(Ⅲ)椭圆C上不存在三点D，E，G，使得S△ODE=S△ODG=S△OEG= 62，
证明：假设存在D(u,v)，E(x1,y1)，G(x2,y2)，使得S△ODE=S△ODG=S△OEG= 62
由(Ⅰ)得
u2+x12=3，u2+x22=3，x12+x22=3；v2+y12=2，v2+y22=2，y12+y22=2
解得u2=x12=x22=32；v2=y12=y22=1.
因此u，x1，x2只能从± 62中选取，
v，y1，y2只能从±1中选取，
因此点D，E，G，只能在(± 62,±1)这四点中选取三个不同点，
而这三点的两两连线中必有一条过原点，与S△ODE=S△ODG=S△OEG= 62矛盾．
所以椭圆C上不存在满足条件的三点D，E，G.
【解析】(Ⅰ)根据已知设出直线l的方程，利用弦长公式求出|PQ|的长，利用点到直线的距离公式求点O到直线l的距离，根据三角形面积公式，即可求得x12+x22和y12+y22均为定值；
(Ⅱ)由(I)可求线段PQ的中点为M，代入|OM|⋅|PQ|并利用基本不等式求最值；(Ⅲ)假设存在D(u,v)，E(x1,y1)，G(x2,y2)，使得S△ODE=S△ODG=S△OEG= 62
由(Ⅰ)得u2+x12=3，u2+x22=3，x12+x22=3；v2+y12=2，v2+y22=2，y12+y22=2，从而求得点D，E，G，的坐标，可以求出直线DE、DG、EG的方程，从而得到结论．
此题是个难题．本题考查了直线与椭圆的位置关系，弦长公式和点到直线的距离公式，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力．其中问题(III)是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．第1周
第2周
第3周
第4周
第5周
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